5 Тарихи есептер Египет есептері 70 өгіз айдап бара жатқан бақташыдан былай деп сұраған: «Өгіз табының қанша бөлігін айдап бара жатырсың?»



жүктеу 0.75 Mb.
бет1/3
Дата22.10.2017
өлшемі0.75 Mb.
  1   2   3

5.1. Тарихи есептер
Египет есептері

  1. 70 өгіз айдап бара жатқан бақташыдан былай деп сұраған: «Өгіз табының қанша бөлігін айдап бара жатырсың?» Ол: «Барлық өгіздің 1/3 бөлігінің 2/3-ін айдап бара жатырмын.» деп жауап берген. Табында қанша өгіз болған?

  2. Біреуі копилкадан 1/13-ін алған, келесісі қалғанының 1/17-ін алған және копилкаға 150 салған болса, алғашқыда копилкада қанша болған?

  3. 1 өлшем астықтан қанша нан және кружка сыра алуға болады? Егер 15 өлшемнен 200 нан және 10 кружка сыра алынса . Сыраның бөлігі нанның 1/10 бөлігін құрайды.

  4. Біріншіге қарағанда екіншісі жемді 1/8 өлшемге артық, үшіншісі екіншіге қарағанда 1/8 өлшемге артық,..., оныншысы тоғызыншысына қарағанда 1/8 өлшемге артық алатындай етіп 10 өлшем жемді 10 адамға бөлу керек.

  5. Барлық үйіндінің 2/3-і, оның 1/2-і, оның 1/7-і 37-ні құрайды. Барлық үйіндіде қанша бар?

  6. Егіс ауданы 100м2-қа тең. Оны бір бөлігінің қабырғасының ұзындығы екінші бөліктің қабырғасының ұзындығының 3/4 –не тең болатындай етіп екі квадратқа бөлу керек.

  7. Жеті адамда 7 мысықтан бар; мысықтың әрқайсысы 7 тышқаннан жейді, ал тышқанның әрқайсысы 7 өлшем жем жейді. Осы қатардың мүшелері және қосындысы қандай?

Вавилон есептері

1. Екі сақина берілген. Бірінші сақинаның салмағының 1/7 бөлігі мен екінші сақинаның 1 бөлігінің қосындысы 1-ге тең. Бірінші сақинаның салмағының оның 1/7 бөлігін алғандағы мән, екінші сақинаның салмағынан оның 1 бөлігін алып тастағанға тең. Әр сақинаның салмағын анықтаңыз.

2. Теңдеулер жүйесін шешіңіз.

Қазіргі таңбалауды қолданып Вавилон математигінің шешу әдісін көрсетеміз. Екінші теңдеуді мүшелеп екіге бөлеміз, сонда бірінші теңдік бойынша алынған мәнді есептейміз. Нәтижесінде мынаны аламыз:



Сосын осы жүйені стандарт түрде жазамыз.



Айнымалылары арқылы жазып жаңа жүйе аламыз.



Осыдан Виет теоремасы бойынша квадрат теңдеуі шығады. Оны формула бойынша шешеміз. Олай болса, ( теріс сандар бізге белгісіз). Формулалар мен амалдар белгісі қолданылмағанын ескертеміз. Барлық жазулар сөзбен айтылады.

3. Екі квадраттың ауданының қосындысы кв.бір тең. Бірінші квадраттың қабырғасының ұзындығы екінші квадраттың қабырғасының ұзындығының 2/3 бөлігінен 58-ке артық.. Әрбір квадраттың қабырғасын табыңыз.

4. Тереңдігі қанша шынтақ болса ұзындығы сонша гар болатын ор қазылған(1гар -12 шынтақ), ал ені 0’’20гар. Котлованның табанының ауданы мен көлемінің қосындысы 1’’10-ға тең. Оның ұзындығын табыңдар. Котлованның ұзындығын, енін және тереңдігін сәйкесінше x, y, z деп белгілейік. Есепті шешу, мына жүйені шешуге келеді.



5. күмісті бес ағайындыға әр қайсысы өзінен кейінгі інісінің күмісінен 1/5-ге көп күміс алатындай етіп бөлу керек.

6. Бірлік квадратты 12 конгруэнтті үшбұрышқа және 4 конгруэнтті квадратқа бөліңдер. Үшбұрыштың ауданын, және квадраттың ауданын табыңдар.

7. Тік бұрышты АВС үшбұрышын DЕ║ВС болатын DЕ түзуімен ВСЕD трапециясына (ауданы S1 болатын) және АDЕ үшбұрышын (ауданы S2 болатын) бөлінген. Егер ВС-30,S1-S2=42,y2-y1=20 болса , ЕС=y1,AE=y2,DE=x,S1 және S2 есептеу керек.


Самостық Пифагор (571/570-497/996)

1. Бірден басталатын тақ сандар тізбегінің алғашқы мүшелерінің кез-келген қосындысы дәл квадрат.

2.Бірден өзге кез-келген тақ сан екі санның квадраты айырымы болады.

3. теңдеуінің шешімі болатындай сандарына сәйкес нүктелердің шексіз жиыны табылады.

4. Квадраттың қабырғасы мен диогоналы өлшемдес емес.
Атақты ежелгі үш есеп

1. Шеңбердің квадратурасы. Сызғыш пен циркуль көмегімен берілген дөңгелекке тең шамалы квадратты, саны шекті операцияны қолданып тұрғызу.

2. Делостық есеп ( кубты екі еселеу). Сызғыш пен циркуль көмегімен берілген кубтың көлемінен екі есе болатындай кубтың қырын, саны шекті операцияны қолданып тұрғызу.

3. Бұрыштың трисекциясы. Сызғыш пен циркуль көмегімен саны шекті операцияларды қолданып, кез- келген бұрышты өзара конгруэнтті үш бұрышқа бөлу керек.



Гиппократ Хиостық

1. Гиппократ орамжапырақ аудандарының қосындысы- ( Тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасы диаметрі болатындай, жарты дөңгелектің доғасы мен және осы үшбұрыш катеттері диаметрлері болатын жарты дөңгелектердің доғаларымен шектелген фигуралардың аудандарының қосындысы) берілген тікбұрышты үшбұрыштың ауданына тең шамалы.

2. яғни және ұзындықтарының орта пропарционалы болатындай етіп, х және у кесінділерін тұрғызу керек.Егер берілген кубтың қабырғасы деп алсақ, онда х- берілген кубтың көлемінен екі есе үлкен куб қабырғасы болады.

3. Дидонье есебі. Миф бойынша Тир патшасының дидонье атты қызы ( б.з.б 890ж) өзімен бірге асыл тастар салынған қобдишаны алып қашып кетеді. Африканың Шығыс жағалауын Кубий патшасы ярб оған жердің үлесін сатуға келісім береді және оған мынадай шарт қояды. Жер көлемі өгіз терісінің көлемінен аспау керек екенін айтады. Дидонье өгіз терісін алып, оны жұқа сақиналарға бөліп, бір- бірімен жалғастырып, осы жіп ұзындығымен жер көлемінің максималын шектейді. Сонда Дидонье қандай фигураны шектеді?

4. қашықтықты өту үшін, дене алдымен оның , сосын т.с.с бөлшектердің жүріп өтуі тиіс, яғни ол орнынан қозғалмайды, себебі оның жүріп өтетін соңғы кесіндісі табылмайды, сондықтан қозғалыс мүмкін емес.

5. Тасбақа мен ахилес. Егер тасбақа Ахилестен белгілі бір қашықтықта болса, онда оны желаяқ Ахилес қуып жете алмайды.



Эллидиялық Гиппит.

6. Квадратисаның негізгі қасиетін пайдалана отырып, кез-келген бұрыштың трисекциясын салу.

7. Гиерон патшасының алтын мен күмістен жасалған тәжі 10кг.Суда оның салмағытаза салмағының 99,55%-ін құрайды. 1 кг алтын суда 9/77кг, ал күміс өз салмағының %-ін жоғалтатынын біле отырып, шеңбердің және жасауына қанша алтын, қанша күміс кетіргенін есептеу керек.
Ератосфен Киренский ( б.э.д 276-194 ж )

1. егер 2,3,4,... натурал сандар қатарынан алғашқы 2,3,...Рr жай сандарға бөлінетіндерін сызсақ, онда сызылмаған 1-ші (ең кіші) сан жай болады.

2. Егер -ге дейінгі барлық жай сандарға бөлінетін барлық сандарды сызып тастасақ, яғни болатындай таңдасақ, онда қалған сандар теңсіздігін қанағаттандыратын сандар барлық жай сандар жиынын құрайды.

3. АВ және СД рейкаларының арасында біртекті материалдан жасалған 3 тең тікбұрышты үшбұрыш модельдері орналастырылған. Біріншісі- бекітілген, екіншісі және үшіншісі- жылжымалы, егер К-ВД-ның ортасы, ал екінші, үшінші үшбұрыштар қабырғаларының қиылысу нүктелері N және L АК түзуінде жататындай орналасқан, онда қыры ML болатын кубтың көлемі қыры ДК болатын кубтың көлемінен 2 есе үлкен. және AC=2KP қатынастарынан біз КД және КД кесінділер арасында 2 орта пропорционалды кесінділер механикалық түрде тұрғыздық, ал бұл классикалық емес шешулерінің бірі.


Аполлоний Пергский ( б.э.д 260-270ж өл)

1. 3 фигура берілген, оның әрқайсысы нүкте, түзу немесе шеңбер болуы мүмкін. Берілген әрбір нүктелер арқылы өтетін және берілген әрбір түзулерді немесе берілген әрбір шеңберлерді жанайтын шеңбер салу керек.

2. егер a,b,c үшбұрыш қабырғаларының ұзындығы, ал Р оның жарты периметрі болса, онда берілген үшбұрыш ауданы мынаған тең:

.

3. Егер С1А1 АВС үшбұрыш қабырғаларын қиса, немесе оның созындылары түзуді В111 нүктелерінде қиса, онда мына қатынас дұрыс болады:

4.Шеңберге іштей сызылған төртбұрыш диагональдарының көбейтіндісі қарама-қарсы қабырғаларының көбейтіндісінің қосындысына тең.

5. Ежелгі Рим есебі. Бір адам өлерінде былай деп өсет қалдырған: егер әйелім ұл тапса, оған мүлкімнің -сі, ал әйеліме қалған бөлігі берілсін, егер қыз туса, онда оған -і, ал әйеліме -сі берілсін. Егіз бала-қыз және ұл туды. Мүлкі қалай бөлінуі керек.



Диофант (ІІІғ)

1. 16- мысалда берілген квадратты екі квадратқа бөлу.

2. Екі теріс емес санды табу керек, сонда олардың айырмасы олардың квадраттарының айырмасынан 6 есе артық болатын болсын.

3. Үш санның және әрбір екі санның қосындысы кезкелген бір санның квадраты болатын үш санды табыңыз.

4. Диофант «Арифметикасындағы» мына теңбе- теңдікті тексеру керек:

5. Диафанттың қабіріндегі құлптаста былай деп жазылған: «Диафанттың балалық шағы- өмірінің -і, жастық шағы -і. Ал баласыз өткен ерлі- зайыпты өмірінің және тағы 5 жыл өткенде ұлды болды. Әкесінің жарты жасына келгенде ұлы дүние салды, бұдан кейін Диафант тек 4 жыл ғана өмір сүрді». Диафант неше жыл өмір сүрген?

6. Молда мен есек боранды күні жол бойында келе жатыр. Бір уақытта: «жүгім ауыр» деп есек жалынышты үн қатты. Сонда молда: «Егер сен маған бір мераңды берсең, мен сенен екі есе ауыр көтерер едім, егер сен менен бір мера алсаң, онда екеуміздің жүгіміздің ауырлығы теңесер еді»,- деді. О, геометр, осы екеуінің әрқайсысы қанша көтеріп еле жатқандығын есептеп бер.

7. Пифагор шәкірттері.

Пифагордан « үйіңіздегі шәкірттеріңіздің саны қанша?» деп сұрағанда, ол былай деп жауап берді: «Поликрат, мен саған шәкірттерімнің санын жасырмай айтайын. Олардың жартысы математикамен айналысып жатыр, -і табиғатты зерттеуде, і мәңгілік өмірдің құпиясын ашамыз деп ойланып отыр. Соларға 3 әйел қоссаң шәкіртімнің санын аларсың».
Индия

Апастамба (V-IV б.э.д)

1. Теңдікті дәлелдеңіз:

а)
б)

в)


2.( Бахшамит жазбаларынан). Төрт садақа берушінің екіншісі біріншісінен екі есе, үшіншісінен үш есе, ал төртіншісінен төрт есе артық садақа береді. Барлығы 132 болса, біріншісі қанша берді?
Ариапхата I

3.-ді есептеу ережесі.100-ге 4-қосып, оны 8-ге көбейт және соңғы нәтижеге 6200- ді қос. Алынған сан диаметрі 20000 болатын шеңбердің ұзындығының жуық мәні қандай дәлдікпен табылады?

4. Екі жарық бір – бірінен қашықтықта орналасқан және бір – бірінен жылдамдықтарымен қозғап келеді. Олар қанша уақыттан соң кездеседі?
Магавира

1. Әтештердің төбелесі кезінде көрерменнің бірі әтештің қожайынымен келісті. Біріншісіне ол: «Егер сенің әтешің жеңсе, ұтысты маған бересің, егер жеңілсе, онда мен ұтыстың 2/3 бөлігін саған беремін» Екінші қатысушыға: «Егер сенің әтешің жеңсе, ұтыс менікі болады, егер жеңілсе, онда мен ұтыстың ¾ бөлігін саған беремін.» Екі жағдайда да көрермен 12 тиын ұтады. Әрбір қожайын жеңісте қанша ақша алады?

2. Анар, манго және орман алмасының сәйкесінше үшеуі 2 тиынға, бесеуі 3 тиынға, жетеуі 5 тиынға сатылды. Орман алмасынан манго жемісі 3 есе, анар жемісі 6 есе артық болса, 76 тиынға қанша жеміс алуға болады?

3. Түйе үйірінің ¼ бөлігін орманда, 15-ін өзен жағасында, ал барлық түйе санының екі еселенген квадрат түбірі болатындай қалғандары тау етегінде жайылып жүр. Барлығы қанша түйе бар?


Бхаскара П (1114-1185)

1. Ормандағы маймылдар екі топқа бөлініп, олардың санының квадратының сегізден бір бөлігі қуанып секірді. 12-сі күн жылуынан қызықтап қарсы алды. Ал, жас жігіт, сен айтшы, орманда неше маймыл болды?


2. Теңдікті дәлелде:

а)

б)

в)

3. Элементар әдістер арқылы теңдеуді шеш:


Нарайана (XIVғ)

1. Сиыр әр жыл сайын бұзаулайды. Әр бұзау өзі дүниеге келгеннен кейін төртінші жылдың басында өзі де бұзаулайды. 20 жылдан кейін сиырлар мен бұзаулардың саны қанша болды?


Рамануджан Сринизава Айенгар (22.12.1887-26.04.1920)

1. Дәлелде:

а)

б)



Қытай.

Есептер. «Алты өлшемді» трактатынан.

1. Пифагор теоремасының дәлелі: тікбұрышты үшбұрыштың а және в катеттерінің қосындысына салынған квадрат, басқа кейбір фигуралардың аудандарының қосындысы ретінде қарастырылып, сызбадағыша дәлелденеді.



1-сурет

онда , бұдан шығады

2. Қонақ күніне 300м жол жүреді. Ол өзінің болған үйінде киімін ұмытым кетеді. Үй иесі 1/3 күннен соң, қонақтың киімін тауып алып, қонақты қуып жетуге шығады. Иесіне киімін берісімен аттың басын кері бұрады. ¾ күннен кейін ол үйінде болады. Ол сағат нешіде үйінде болады? Ол атпен күніне қанша жол жүреді?

3. Бірнеше адам бір уақытта қой сатып алды. Егер әрбір адам 5 монеттен жинаса, онда қойдың бағасына 45 монет жетпейді. Егер 7 монеттен қосса, онда 3 монет жетпейді. Неше адам және қойдың бағасы қанша?

4. Бес канавалы су қоймасы бар. Егер олардың біріншісін ашса, қойма 1/3 күнде толады. Егер барлық канаваларды ашса, қойма неше күнде толады?

5. Жылқы мен бие Чананы мен Цы патшалығына жүріп келеді. Олардың ара қашықтығы 3000 метр. Бірінші күні жылқы 193 мер шауып өтті, ал келесі әрбір күні 13-ке артық шауып өтті. Бие алғашқы күні 97 мер шауып өтті де, әр келесі әрбір күні ½ -ге кем жүрді. Жылқы Цы патшалығына бірінші болып жетті. Кері қайтып келе жатқанда белгілі бір арақашықтықта биені кездестірді. Қанша күннен кейін олар кездесті және осы кезге дейін олар қанша жер жүріп өтті?

6. Бес жанұяның ортақ құдығы бар. Суды жоғары көтеру үшін, А жанұясының 2 арқанын Б жанұясының 1 арқанын, Б жанұясының қанша арқанын және В жанұясының 1 арқанын; В жанұясының 4 арқанын және Г жанұясының 1 арқаның; Г жанұясының 5 арқанын және Д жанұясының 1 арқанын; Д жанұясының 6 арқанын және А жанұясының 1 арқанын қолдану керек. Құдықтың тереңдігі қандай, және әрбір жанұяның арқанының ұзындығы қанша?

7. А және Б екі адамында қандай да бір мөлшерде монеталар бар. Оларды А-ның монетасына Б-ның монетасының жарты мөлшерін қосқанда, ал Б-ның монетасын А-ның монетасын 2/3-ге толықтырғанда олардың жалпы мөлшері 48 монет болатындай етіп, бөлу керек. Әрбір адам қанша монеттан алады?

8. 3-ке бөлгенде 2 қалдық қалатын, 5-ке бөлгенде 3 қалдық қалатын санды табу керек

9. Қораз 5 монет тұрады. Бір тауық 3 монет, үш балапан 1 монет тұрады. 100 монетке жүз құс сатып алынды. Қанша қораз, қанша тауық және балапандар бөлек сатып алынды?

Абу Али – Ибн – Сина (Авиценна) (980-18.06.1037)

1. Егер санды 9-ға бөлгенде қалдығы 1 немесе 8 болса, онда бұл санның квадратын 9-ға бөлгенде қалдығы 4 болады.

Егер санды 9-ға бөлгенде қалдығы 2 не 7 болса, онда бұл санның квадратын 9-ға бөлгенде қалдығы 4 болады.

Егер санды 9-ға бөлгенде қалдықтары 1, 4 не 7 болса, онда ол санның кубын 9-ға бөлгенде қалдығы 1 болады.



Абу Бахр Мухамед ибн Ал – Хасан Ал – Караджи (X-XIст)

1. теңдеуін шеш.

2. теңдеулер жүйесін шеш.

3. теңдеуін шеш.



Джемшид Ибн-Мамуд-Каши ( 1430ж өл)

1. Бақшада бірінші адам – бір анар ( гранат), екінші адам екі анар, ал келесілері олардан бір анарға артық жұлып алады. Одан кейін анар жинағандар өзара тең бөлісіп алғанда әрбіреуіне алты анардан келген. Қанша адам анар жинайды?

2. Екі жаяу адам бір уақытта дөңгелек көлдің жағасынан бір нүктеден қарама- қарсы бағытта шықты. Біріншісі күніне 10 мильден жүрді, ал екіншісі бір күнде 1 миль, ал қалған әрбір келесі күнде 1 мильге артық жүрді. Екеуі кездескенде біріншісі шеңбердің -ін, ал екіншісі -ін жүріп өткені белгілі болды. Көлдің жағасының ұзындығы қанша және жаяулар жолда қанша уақыт болды?

3. Онды бірінші бөлігінің квадраты мен екінші бөлігінің қосындысы дәл квадрат болатын екі санға бөлу керек.

4. Егер санға -ді қосса немесе азайтса, онда пайда болған қосынды мен азайтынды дәл квадраттар болады. Сол санды табу керек.

5. Суда вертикаль тұрған таяқша судан үш шынтақ шығып тұрды. Жел соққанда таяқ төбесі су бетінде, ал табаны өз орнында қалып көлбеді. Егер таяқтың төбесінің бастапқы орны мен су бетіндегі оның ара қашықтығы бес шынтақ болса, таяқтың ұзындығын табу керек.

Жауабы:

Ал-Хорезми-Абу-Абдаллах-Мұхамед ибн Мұса (783-850ж)

1. Теңдеулердің алты түрі:



2. Кез келген тікбұрышты үшбұрыштың әрбір қысқа қабырғасын өзіне көбейтсе, онда көбейтінділердің қосындысы үлкен қабырғасының өз-өзіне көбейтіндісіне тең.

3. Егер дөңгелектің диаметрін өзіне көбейтіп, одан диаметрінің бөлігін, және осы бөліктің жартысын алып тастаса, оның ауданы шығады.

Орта ғасырдағы Европа.

Алкуни (735-804)

1. Ит өзінен 150 фут қашықтықтағы қоянды қуып келеді, және ит әрбір секіргенде 9 фут, ал қоян 7 фут қашықтықты алады. Ит қоянды қуып жету үшін неше рет секіреді?

2. 100 өлшем астықты 10 адамға әрбір ер адамға 3 өлшем, әйел адамға 2 өлшем, ал балаларға ½ өлшемнен берілген. Сонда қанша ер адам, әйел адам және балалар бар?

3. Бір адам базардан 30 монетаға 30 құс сатып алды. 3 торғайға 1 монета, ал 2 тауыққа да 1 монета және әрбір көгершінге 2 монетадан төлеген. Әрбір түрінен қанша құс сатып алынды?

4. Егер бір қояндар жұбы әрбір ай сайын 1 қояндар жұбын туса және әрбір туған жұп бір айдан кейін туатын болса, онда 1 жылда ешқандай қоян өлмейді деп есептеп, қанша қоян болады?

5. Егер 0,1,1,2,3,5,8,13,21,...6 Фибоначчи тізбегі берілсе, мұндағы және борлса, онда .

6. Квадраты өзіне тең болатын санның -ға тең болатын санды тап.

7. Теңдеуді шеш:

а)

б)

с)

8. Үш адамның қандай да бір мөлшерде ақшасы бар. Біріншісінің ақшасы барлық ақшаның жартысын, екіншісінің үштен бірін, ал үшіншісінікі алтыдан бірін құрайды. Ақшалардың бір бөлігін сақтау үшін әрбіреуі ақшадан мүмкіндігінше алады. Одан кейін біріншісі сақтауға алғанының жартысын, екіншісі- үштен бірін, үшіншісі алтыдан бірін береді.Кейбір уақыттан кейін олар сол ақшаларды алады, сонда әрбіреуінде сақталған барлық ақшаның 1/3-ін құрайды.Әрбіреуінде қанша ақшадан болады?

9. 0осындылары дәл квадрат болатындай сандарын тап.
Николь Орем (1323-1382

1. теңдігін дәлелдеңіз.

2. гармониялық қатарының жинақтылығын дәлелде.

3. Шексіз үшбұрыштар жиынынан құралған фигураның ауданын табу керек, егер тіктөртбұрыштың көлденең орналасқан қабырғаларының ұзындығы 4:1 қатынасында азайтса, ал тік қабырғаларының ұзындығы 1:2 қатынасында көбейтсе.



Лука Пачоли ( 1445-1514)

4. Теңдеуді элементар тәсілмен шығар:



5. Рационал бөлшек түріне келтір.



6. Үшбұрышқа іштей сызылған дөңгелектің радиусы 4 сызықтық бірлікке тең. Жанасу нүктесі үшбұрыштың бір қабырғасын ұзындықтары 6 және 8 бірлік болатын бөлшектерге бөледі. Үшбұрыштың басқа екі қабырғасын табыңыз.



Леонардо да-Винчи (1452-1519)

1. Егер екі конгруэнтті шеңберлер қилысса, онда қиылысу нүктелері арқылы өтетін түзу шеңбердің центрінен бірдей қашықтықта жатқан нүктелер жиыны болып табылады.



Меохаэль Штифель (1486-1567)

2. Теңсіздікті тексеріңіз.



3. Теңдеуді шешіңіз.



Бұл математика тарихындағы бірінші оң жағында нолі бар теңдеудің мысалы.



НиколоТарталья (1500-1557)

1. берілген кесіндіде сызғыш пен циркуль көмегімен, тең үшбұрышты тұрғызыңыз. тең емес.

2. Біреуде 24 фунт қымбат май бар. Ол адамды сонымен қатар сыйымдылығы 13,11 және 5 фунт болатын ыдыс бар. Осы ыдыстарды қолданып майды қалайша тең үш бөлікке бөлуге болады?
Джиралома Кардало (1501-1576)

1. Теңдеуді элементар тәсілмен шығар:





Рафаэль Бомбелли(1526-1573)

1. Мынаны дәлелдеу керек:



2. Теңдеуді шешіңіз:



3. Өрнекті ықшамдаңыз:





үшін Виет формуласын дәлелдеңіз.

4. Егер үшмүшелі теңдеу берілсе



,

Онда осы теңдеудің түбірлері болады, мына теңдеу үшін тексеріңіз.



5. Теңдеуді шешіңіз:





Жаңа дәуірдегі Европа.

Йоганн Кеплер (27.ХІІ.1571-15.ХІ.1630)

1. Теңдеуді шешіңіз:





Гаспар Клоуд Баше де Медриан (9.Х.1587-25.ІІ.1638)

1. Солдаттар ротасы өзеннің екінші жағына өту керек, бірақ көпір сынған ал брод жоқ. Өзен жағасында екі бала челн ойнап жүр екен. Бұл челнға бір үлкен адам немесе екі кішкентай бала сыяды. Осы челнның көмегімен рота екінші жағаға қалай өтеді?

2. Бір цифрдан тұратын төрт сан ойлаңыз. Бірінші санды екіге көбейтіп, бес қоыңыз. Қосындыны беске көбейтіп, онды және екінші санды қосыңыз.Шыққан қосындыны онға көбейтіп, төртінші санды қосыңыз да шыққан нәтижеден 3500-ді алыңыз. Сонда айырма ойланған сандармен жазылған төрт орынды сан болады.

Рене Декарт (31.ІІІ.1596-11.ІІ.1650)

1. Теңдеуді шешіңіз:

а)

б)



Пьер Ферма (1601-12.І1.1665)

1. Егер S- шексіз кемімелі геометриялық прогрессияның қосындысы болса, онда

2. АВС сүйір бұрышты үшбұрышында оның А,В және С төбелеріне дейінгі қашықтықтарының қосындысы минималь болатындай Р нүктесін табыңыз. Осы Р нүктесі Ферма-Торчелли нүктесі деп аталады.

3. үшін мына теңдік орындалады:




Джон Валлис (23. ХІ.1616-28.Х.1703).

1. белгілі, сондықтан Бұдан немесе



Блез Паскаль (19.ҮІ.1623-19.ҮІІІ.1662)

  1. Паскаль үшбұрышының әрбір жолдағы сандар қатарының қосындысын табу керек.

  2. Егер жұп орындағы сандарды минус таңбасымен алсақ, бұл қосынды нешеге тең болады.

3. 1,3,6,10,15,21;1,410,20,35,...т.с.с Паскал үшбұрышының сан қатарларын даңғыл делік. n даңғылындағы m мүшелерінің қосындысын қалай табады?

4. Паскаль үшбұрышындағы Фибонначчи сандар қатарын табу керек, яғни түріндегі (үшбұрышты) қатарды, түріндегі (пирамидальды) қатарды.


5.Кавалер де Мере сүйек ойынымен баюды көздеді. Ол ойын сүйегін 4 рет лақтырғанда ең болмағанда 1 рет 6 саны көрінеді деді. Егер олай болмаса
(6саны 4 рет лақтырғанда көрінбесе),оның қарсыласы жеңеді. Көзі жету үшін ол Паскальға жеңу ықтималдығын есептетті. Ықтималдық нешеге тең болды?
6.Екі бірдей ойыншы тең болатын жағдай жоқ ойын ойнайды. Олар тең ставка жасап, егер кім де кім 10 партияны бұрын жеңіп алса, сол жеңеді деп келісті, яғни барлық ақшаны алады деді. Ойын 9:8 есебімен аяқталады да, ойын жалғаспады. Олар ақшаны қалайша бөліп алды?
7.Барлық циркульмен орындалатын сызулар /ч/ =1 болатын шеңбер арқылы жүргізіледі.

(0,/0А/)шеңберін (мұнд /0А/=ч) және оған с нүктесінде жанама жүргіземіз. С нүктесі арқылы шеңбер Д нүктесінде қиятын доға саламыз.
Жан Озанам (1640-3.04.1717)

1. Жеті достар түскі тамақтануға жиналды, бірақ олар кім-кіммен отыру керек екендігін шеше алмады. Сол кезде біреуі оларға қалай болса да отыруды бұйырды, бірақ, келесі күні және тағы да басқа тамақтану кездерінде әртүрліше отырамыз деп келісілді. Осылайша барлық мүмкін жағдайлар аяқталғанша олар қанша рет бірге тамақтана алады?


Исаак Ньютон (4.01.1643 – 31.03.1727)

2. Бірдей қалыңдықтарда шөп өскен үш көгалдардың аудандары және 24 га. Бірінші көгалда 12 өгіз 4 күн, ал екіншісінде 24 өгіз 9 күн шамасында жайылады. Үшінші көгалдағы барлық шөпті 18 күнде жеп тауысу үшін қанша өгіз жіберуге болады?

3. Ара қашықтықтары 59 миль болатын екі жерден А және В пошташылары бір-біріне қарама-қарсы шықты. А поштасы 2 сағатта 7 миль, ал В А поштасынан 1 сағатқа кеш шығып, 3 сағатта 8 миль жүреді. А пошташысы В мен кездесу үшін қанша миль жүрді?
Тогфрид Вильгельм Лейбниц (1.07.1646 – 14.11.1716)

1. Лейбництің белгілі қатарынан үшін қатар алыңыз.

2. Дәлелдеңіз:

3. Лейбництің сандардан тұратын гормониялық үшбұрышының Паскаль үшбұрышы сияқты бірнеше қасиеттері бар.













Джованни Чева (1648 – 13.12.1734)

1. (X, Y, Z – үш нүкте берілген болсын).

АВС үшбұрышының қабырғасында жататын X, Y, Z – үш нүкте берілген болсын. (АX), (ВС), (CZ) бір нүктеде қиылысу үшін болуы қажетті және жеткілікті.

Гвидо Гранди (IX 1671 – 4.VII 1742)

1. болса, онда немесе болады. Бұдан шығатындай мүше қатарын группалау керек. Сондықтан . Бұдан



Лоран Патенот (1660 -01.08.1782).

1. және бұрыштары арқылы көрінетін немесе А,В,С үш нүктелері арқылы құралған және кесіндісінің нүктесін тап.


Жорж Аум-Леклерк Бюфан (7.IX.1707 -16.IV.1788)

1. Жазықтықта арақашықтығы шырпының ұзындығына тең, параллель түзулердің жүйесі жүргізілген жазықтыққа шырпының бумасын лақтырды. Шырпының бір параллель түзумен қиылысу ықтималдығы –ге тең.



Европа XIX-XXғ

Жозеф Лун Лагранж (25.01.1736-10.10.1813)

1. Теңдікті тексер:





Карл Фридрих Гаусс (30.04.1777-23.02.1855)

1. Егер төртбұрыштың ешбір қабырғасы параллель болмаса, онда қарсы жатқан қабырғалардың қиылысу нүктелерін қосатын кесіндінің ортасы, диагоналдарының орталарын қосатын түзуде жатыр.


Симеон Дени Пуассон (21.06.1781-25.04.1840)

1. Бір адамда 12 пинт вино бар. (I пунт-0,568л). Ол адамда сыйымдылығы 8 және 5 болатын ыдыстар бар. 6 пинт виноны сыйымдылығы 8 пинт болатын ыдысқа қалай құюға болады.


Огюстен Лун Коши (21.08.1789-23.05.1857)

1. Кез келген теріс емес сандары үшін



2.

3. Ұзындықтары жеткілікті жақты болатын екі бірдей қағазды алып және олардан бір жақты бетті Мебиус парағы моделін дайындаңыз. Модельдің біріне жолақтың ортасынан қарандашпен сызық жүргізіңіз, ал екіншісіне жолақты 3 бірдей бөліктерге бөлетіндей 2 сызық жүргіземіз. Бірінші модельдің жолағын ортаңғы сызығынан, ал екінші модельдің жолағын 2 жүргізілген сызықтар бойымен қиықсыз. Нәтижесінде не пайда болады ?
Якоб Штейнер (18.03.1796-01.04.1863)

Бір ғана сызғыштың көмегімен орындалатын салулар.

1. Түзудің бойында А,В,С үш нүктесі берілген. В нүктесі А және С нүктелерінің арасында жатыр. Кез келген К(К(АС)) нүктесі арқылы (АС) –ға параллель түзу жүргізу керек.

2. АС║ КҒ берілген. Осы кесінділерндің біреуін, мысалы кесіндісін тең бөлікке бөліңіз.

3. Екі параллель түзулер берілген. Берілген нүкте арқылы берілген түзулерге параллель болатын үшінші түзу жүргізу керек.

4. Көмекші шеңбер және осы шеңбердің центрі арқылы өтетін (АВ) түзуі берілген. Берілген М нүктесінен (АВ) түзуіне перпендикуляр жүргізу керек.

5. Көмекші шеңбер және кез келген АВ түзуі берілген. Берілген нүкте арқылы өтетін және (АВ) түзуіне параллель түзу жүргізу керек.

6. Егер екі тік бұрышты үшбұрыштардың әрқайсысының бір катеттері және екінші катеттерінің қосындысы белгілі болса, онда үшбұрыштар ұқсастығы жағдайында гипотенузалар қосындысы ең кіші болады.



Нильс Генрих Абель (5.08.1802-6.04.1829)

1. болсын. Мұндағы ;-2 сандар тізбегі. онда болады.

1.Қарандаштың бір сызығымен а фигурасын, содан соң в фигурасын сызу керек. Бұл екі есептің шешімдерінің нәтижелерін немен түсіндіруге болады? А үшін- жоқ, в үшін-ия. Бұл топологиялық тапсырмалардың мысалдары. Тополдогия терминін енгізген Листинг.

Жозеп Лун Бертран (2.03.1822-3.04.1900)

1. Бірде Непольда преподобный Галиани Базиликидің бір адамын көреді. Ол үшін ойын сүйегін шеңберге лақтырып тұрды, және үш алтылық түсіремін деп айтты, шынымен ол үшін алтылық түсірді. Базиликидің адамына бұл екінші ретте, содан соң үшінші ретте, төртінші ретте, және бесінші ретте де түсті, «Вапха қаны» деді преподобный, «Сүйектер қорғасын жалатылған»



Чарлз Людвид Дозжс (Льис Керролл)

(27.01.1832-14.01.1898)

1. Он тиын жазықтықта екі картаға орналастырылған екі қатарға орналастырылған. Бес әртүрлі түзуде 4 тиыннан болатындай жағдайларға 4 тиынды орналастыру керек.

2. Патша өзінің қазынасы азайғанын және қалған ақшасын үнемдеп жұмсау керектігін түсініп өзінің ақылшы кеңесшілерінің көпшілігін қуып жіберуді ұйғарды. Ақылшылар патшада өте көп болатын. Оларға қойылатын жалғыз кінә-қандай да бір сұрақтар бойынша патшаға берген кеңестерінің қарама-қайшылығы және патша үстелінің тамағына және ішімдіктеріне шексіз қызығушылық. Бірақ заң бойынша сарайда, араларында екі көзге бір көздері көрмейтін екі соқыр, бес екі көздері де көреген, он бір көзге көреген болатындай, сонша кеңесшілер болуы тиіс. Заңның талабын бұзбас үшін сарайда қанша ақылшы қалады?

3. Бір адам театрға барғысы келеді. Билет 1 шилинг 6 пенс тұрды, ал ол адамға тек қана 1 шилинг болды. Ойлана келіп ол өзінің 1 шилингісін лавочникке залогқа беруді ұйғарды. Лавочник тиынды мұқият қарап шығып, және оның жалған емес екеніне көзі жетіп, ол адамға закладқа 9 пенсо берді. Кошологінде 9 пенсомен және бір шилингке квитанциясы бар ол адам лавочниктен кетіп, көшеде досын кездестіреді. Досына квитанцияны 9 пенсоға сатып алуды ұсынды. Енді бұл адамда лавочниктен алған 9 пенсо және квитанциясы сатқаннан түскен 9 пенсо бар. Бұл сомма билетке жететін еді. Барлық операциялар нәтижесінде кім және қанша жойғаны сұралады.

4. Бір адщам 5 сағат қыдырды. Алдымен ол горизанталь жолмен жүріп өтіп, содан coң тауға көтерілді және ақырында бұрын жүріп өткен жолмен бастапқы пунктке қайта оралды. Оның горизонталь жол бойымен жүріп өткен жылдамдығы 4км/сағ, тауға шыққандағы жылдамдығы -3 км/сағ, таудан түскен уақыттағы жылдамдығы -6 км/сағ болса, жүрген жолды тап.

Геоде Кантор

1. Серпинский кілемінің варианты: бірлік квадраты 25 тең квадраттарға бөлеміз және тек ортаңғысын алып тастаймыз( оның ауданы 1/25 ). Алынып тасталған квадраттың қабырғалары болатын кесінділерін үлкен квадратқа дейін созамыз. Әрқайсысынан ( алынған квадраттардан олар төртеу ) және 4 тіктөртбұрыштан екі 1/25 болатын өзара перпендикуляры жолақтар саламыз. 4 квадрат және 4 тіктөртбұрыш қиылысатын жолақтардан 8 кв алып тастаймыз. Лынған квадраттардың ауданы 8/25 үшінші қадамға барлық ауданнан 64 квадрат алып тастайтындай осындай салу орындаймыз. Серпинск кілемі вариантының ауданы қандай?



Отандық математика.

2. Бірінші адамға және бірнеше адамдардың екеуіне бірдей тиетіндей, бір жарым дирхеманы бір адам және тағы бірнеше адамдар арасында бөлу керек. 1-ші адамнан басқа қанша адам болды.



Анания Ширакаци (VIIғ ортасы)

1. Бір көпес 3 қалада болып сауда жасағанда, ол 1-ші қалада мүлкінің жартысын және үшт ен бірін, 2-ші қалада ( қалған мүлкінің )жартысын және үштен бірін, 3-ші қалада тағы да ( қалында барының) жартысын және үштен бірін баж салығ,ы ретінде төлеген, сонда үйіне қайтып келгенде 11 ақшасы (ақша бірліктері) қалған. Сонымен, әуелде көпестің барлық ақшасы қанша еді, соны біл.

2. Афина қаласында хауыз (су қоймасы) болған еді және оған 3 құбыр жүргізілген болатын 1 –ші құбыр хауызды 1 сағат ішінде, 2-ші құбыр 2 сағат ішінде, 3-ші құбыр 3 сағат ішінде толтыра алатын. Барлық 3 құбырды қтарынан ашқанда олардың хауызды сағаттың қандай бөлігі ішінде толтыратынын біл.
П.Л. Чебышев (16.04.1821 – 6.12.1894)

1. Егер және болса, онда


Егер де , бірақ болса, онда



Бұл теңсіздік тек қана және болғанда ғана орындалады.

а)

б) болғанда Чебышев теңсіздігін тексеріңіз.



Лев Николаевич Толстой

1. Шапқыншылар артелі бірі екіншісінен екі есе үлкен болатын екі көгалды шаба алады. Күннің бірінші жартысында барлығы бірінші көгалды шапты. Түстен кейін артель екі бірдей группаға бөлінді. Бірінші группа үлкен көгалда қалып кешке дейін шапты. Екінші группа кешке дейін кіші көгалды шапты, бірақ бұл көгалда кішігірім бөлік қалды. Оны келесі күні бір шапқыншы шауып тастады. Артельде қанша шапқыншы болды.


2. Суда өсіп тұрған тал су бетінен бір аршынға шығып тұр. Талды өлшемей және тереңдікті не ескекпен, не басқа заттармен өлшемей, тал өсіп тұрған өзеннің тереңдігін табу керек.
3. Ұзындығы мен екі қандай да бір өлшем болатын бөлменің қарама – қарсы жақтарында шыбын мен өрмекші отыр. Шыбын еденнен 1,5 аршында, ал өрмекші төбеден 1,5 аршында отыр. Шыбын мен өрмекші араларының ең қысқа арақашықтығын табу керек.
Эйлер есебі.

1. Бір санның 4-ші дәрежесін сол санның жартысына бөлгенде және ге

арттырғанда 100-ге тең болу керек. Сол санды тап.

Жауабы: ;

2. Үш адам 24000 ливрға үй сатып алғысы келді. Олар былай келісті: біріншісі жарты ақшасын береді; екіншісі үштен бірін береді, ал үшіншісі қалған бөлігін береді. Әрқайсысы қанша бермек?

I-ші:

II-ші:

III-ші:

Жауабы:

3. Бір топ қаз ұшып барады, оларға бір қаз қарсы ұшып келе жатып: «Жүз қазға бір сәлем!» - депті. Топ қаз оған былай деп жауап беріпті: «Жоқ біз жүз емеспіз! Егер бізге тағы осынша қосылса, тағы соның жартысындай, тағы соның ширегіндей, оның үстіне сен қазым, бізге қосылсаң, біз тура жүз қаз боламыз» Олар қанша болған еді?

Шешуі: қаз саны – х

Жауабы: қаз.

4. Бехаэддин есебі.

Өзінің үштен екісіне және бірлікке арттырылған сан 10-ға тең. Сол санды табу керек.

Шешуі: Ізделінді сан – х

Жауабы:

5. «Үш адам ақша ұтып алған. I адамға осы соманың і, II адамға осы

соманың і, III адамға 17 флорин тиді. Ұтыстың шамасы қандай болған?»

Шешуі: Ұтыс шамасы – х

Жауабы: флорин.

6. «Бір адам жыл аяғына дейін киім және 10 флорин алмақшы болып жалданды. Бірақ 7 ай өткен соң жұмысты тоқтатты да, есеп айырысқанда киім және 2 флорин ақша алды. Киім қаншаға бағаланған?»

Шешуі: киім – х

1 жылда –

7 айда –



айға = 1,6

1,6 · 12 = 19,2 ( 1жылда)

х + 10 = 19,2

х = 9,2


Жауабы: 9,2.

7. «Тоғыз кітаптағы математикадан» есеп. Бірнеше адам бірлесіп тауық сатып алған. Егер әр адам 9-дан (ақша бірлігі) берсе, онда 11 қалады, ал егер әрқайсысы 6-дан берсе, 16-сы жетпей қалады. Адам саны мен тауықтың құнын табу керек».

Шешуі:

8. «Егер бір санды 20-ға қоссақ және сол санды 100-ден алсақ, сонда шыққан қосынды сонда шыққан айыпмадан 4 есе артық болады. Белгісізді табу керек.»



Жауабы: 60.

9. Акмим папирусынан (VI ғ. ) есеп: «Бір адам қазынаның - ін алды. Одан қалғанының - ін екінші біреу алды. Ол қазынада 150 қалдырды. Әуелде қазынада қанша болғанын білгіміз келеді?»

Барлығы – х


І - х

ІІ -


Қалды – 150

10. Диофанттың қабіріндегі құлпытаста былай деп жазылған: «Диофанттың балалық шағы - өмірінің алтыдан бірі, жастық шағы – он екіден бірі, ал баласыз өткен ерлі-зайыпты өмірінің жетіден бірі және тағы 5 жыл өткенде

ұлды болды. Әкесінің жарты жасына келгенде ұлы дүние салды, бұдан кейін Диофант тек 4 жыл ғана өмір сүрді. Диофант неше жыл сүрген еді?»

Шешуі: Өмірі – х

Балалық шағы - х

Баласыз - х

Жастық шағы - х

Ұлды - ;

Ұлы дүние салды - ;

Өзі дүние салды - ;


Жауабы: Диофант 84 жыл өмір сүрді.

11. «Көпестің жинақтаған азды-көпті ақшасы бар еді. Ол жыл сайын семьясының қажетіне 100 фунт ақша ұстап, қалған ақшасына оның үштен біріндей ақша қосып отыратын. Үш жыл өткеннен кейін ол қаражатының екі есе көбейгендігін байқады. Әуелде оның қанша ақшасы болған еді?»

Бар еді – х

Бір жылдан соң қолында қалды – х – 100

Үш жылдан соң болды - ;

Жинақталған ақшасы әуелгі ақшасынан екі есе артық болды.

Шешуі:

Жауабы: Әуелдегі ақшасы 1480 фунт.
12. «Бақташы 70 өгіз айдап келеді. Оған мынадай сұрақ берілген: Үлкен табынының бұл айдап келе жатқаның қанша?

Бақташы жауабы:

− Табындағы барлық малдың үштен бірінің үштен екісі.

Есептеп көр!»

(Бүкіл табында қанша өгіз болғандығын білу керек.)

Шешуі:


Жауабы: Бүкіл табында өгіз болған.

13. Ежелгі римдік есеп. ІІ ғ. «Бір адам өлерінде былай деп өсиет қалдырған: егер әйелім ұл тапса, онда оған имениемнің - сі, ал әйеліме қалған бөлігі берілсін. Егер қыз туса, онда оған - і, ал әйеліме - сі берілсін. Егіз бала – қыз және ұл туды. Имение қалай бөлінуі керек?»

Жауабы: Ұлы әйелінен екі есе көп үлесін, әйелі – қызынан екі есе көп үлесін алуы тиіс. Имениені ұлы, әйелі және қызына 4:2:1 сандарына тура пропорционал етіп бөліп берген жөн.

14. Бір адам өзінің досына: «Маған 100 рупий бер, сонда мен сенен екі есе бай боламын» - депті. Досы былай деп жауап береді: «Сен маған тек 10 рупий бер, сонда мен сенен 6 есе бай боламын». Әрқайсысында қанша болған?

Шешуі:


I адам – х

ІІ адам - у



Жауабы: және ;


15. «Екі санның айырмасы екіге тең, ал олардың қатынасы екіге кері санға тең. Осы сандарды табу керек».
Жауабы: 2; 6.
16. «Репетитор» деген әңгімесінде ұлы орыс жазушысы А.П.Чехов мынадай есеп келтіреді: «Көпес 138 кез қара және көк шұғаны 540 сомға сатып алды. Егер бір аршын көк шұға 5 сом, ал қара шұға 3 сом тұрса, әрқайсысынан неше кез мата алған?»



17. XVI ғасырдағы иран ғалымы Бехаэддиннің есебі: «10 санын айырмасы 5 болатын екі бөлікке бөлу керек».



18. «Екі санның қосындысы 10-ға, ал қатынасы 4-ке тең екенін біле отырып, сол сандарды табу керек».




19. Евклид бастамалық ІІ кітабында берілген теңбе-теңдікті тексеру.



20.



21.


22.

23.

24. Диофанттың «Арифметикасында» баяндалған бөлшектермен берілген мына амалдарды тексеру керек:

25.



26.
27.

28.


Штифельдің «Арифметикасында» берілген бөлшектерге қолданылған мына амалдарды орындаңдар:


29.
30.
31.
32.
33. Ньютонның «Жалпыға бірдей арифметикасынан» бөлшектерді қысқарту.

34.

1. Математика бастамалары.

  1. Математика және оның тарихы.

  2. Математика ұғымдарының қалыптасуы.

  3. Ежелгі шығыс ғалымы.

  4. Мысыр математикасы.

  5. Вавилон математигі.


1. Математика тарихының методологиялық негізгі диомктикалық материолизм болып табылыды. А.Н Кормогоровтың тарауы бойынша математика тарихын шартты түрде 4 дәірге бөлуге болады.

І–дәуір. Математиканың туу, математикалық білім дағдылардың мағлұматтардың жиналу және қорғалу дәуірі. Бұл жазба тарихқа дейінгі санаудан алғашқы қарқынмен басталып математика өзінің белгілі бір зерттеу пәні мақсаты әдістері бар дербес теориялық ғылым болы қалыптасқан грек математиктарына (б.з.д 6-5 ғасыр) дейін созылады. Бұл дәуірде математикалық негізгі ұғымтар сандар, фигуралар т.б-лар қалыптасады.

ІІ-дәуір. Элементарлық математика дәуірі б.з.д 6-5 ғасырлардан басталып б.з 16-ғасырмен аяқталады. Бұл кезенде математикада тұрақты шамалар қалыптастырылады. Математиканың алгебра, геометрия және тригонометрия деп аталған дербес салалары пайда болады.

ІІІ-дәуір. Айнымалы шамалар математиканың туу дәуірі бұл кезенде математиканың негізгі нысанасы, объектісі – процестерді, қозғалыстарды зерттеп білу игеру басталады. Бұл дәуір 17–ші ғасырдағы Декарт, Лейбниц, Нютонның алғашқы математикалық жазбаларынан басталып 19-шы ғасырдың 1-ші жартысын қамтиды. Бұл аралықта математиканың бұрынғы салаларына аналитикалық геометрия, диферинциалдық және интегралдық есептеулер, диференциялдық теңдеулер, ықтималдық теориясы сияқты физика математика техникалық тағы басқа салалары қосылды.

ІV–дәуір. Қазіргі математика дәуірі. Бұл 19–ғасырдың 1-ші ұлы математиктер Н.И Лабочевский, Эрност Гауус ашқан математикалық жетістіктен басталады. Мұнда математика қамтитын кеңістік пішіндері мен сандық қатынастар мейлінше кеңейді сандардан басқа вектор, тензор тәрізді және басқа тектес шама қарастырыла береді кеңістік туралы ұғымның шеңдері кеңеліп әртүрлі геометриялар (Евклидтік елос) ашылады. Алгебраның мазмұны біртіндеп озгеріске ұшырайды. Математиканың көптеген жаңа шамалары қалыптасады. Математиканың өзінің тарихы логикалық және философиялық тұрғыдан негіздеу мәселесі қолға алынды есептегіш машиналар жасалды.
2. Карл Гаусс (неміс) математиканың әртүрлі салаларын әртүрлі сарапқа сала келіп арифметикалық математика патшасы деп бағалаған, арифметикалық негізгі ұғымы - сан. Олай болса сол сан ұғымының қалай пайда болуын ашу, білу үғымы математиканың үлкен проблема. Арифметика өзі айрықша ғылым болып бертінше қалыптасқан мен оның басты ұғымы сан ұғымы өте ертеде адамзат жазу сызуды білмеген заманда пайда болды. Адам баласы ең бірінші қолдана білген математикасының амалы санау болды. Тіпті аз ғана сана білетін жабайы тайпа көп нәрсе турулы жиндарды санауға дейін әрекет жасағанда адам санан бұрын-ақ санауды түгелдеуді білген деуге болады. Осы санау түгелдеу әрекеттер негізінде сан ұғымы туады біртіндеп кеңейеді.

Сан ұғымы баяу дамыды, сандар шекарасы біртіндеп кеңейді, тор ел бұғазының жағалауын мекендеген австралиялық жабайы тайпалар адам дене мүшелері арқылы 33-ке дейін санды өрнектей алады екен. Егер саннан сан асып кетсе таяқша пайдаланған. Қоғамдық өндірісті өркендеуі, өндірістің өнімнің молайуы тайпалар, қауымдар арасындағы саяси шаруашылық қарым- қатынастың ұлғаюы санның оған әртүрлі амалдар қолданудың дамуына әсер етті. Сандардың жоғарғы шекарасы біртіндеп кеңейіп натурал сандар қатары түзілді. Бертін келе жай сандардың әрқайсысы белгілі бір жүйемен атау, таңбалау күн тәртібіне қойылды. Міне осылай түрліше санау жүйесі немесе номерлеу қалыптасты. Санау жүйелерінің ішінде тарихи жағынан ең алғашқы және ең қарапайымы екілік жүйе. Қазіргі қолданылып жүрген позициялық жүйесі, яғни 10 цифр 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 арқылы кез-келген сандық өрнек жүйесі бізге көне үнді жұртынан мирас болып қалған. Сан ұғымы қалыптасуымен қатар сандарға 4 амал қолдану әрекеті туып жетілді. Сан ұғымы негізгі бөлшектер бүтін оң сандар сияқты күнделікті тұрмыста қажеттілітен шықққан. Түрліше ұзындық, аудан, көлем, уақыт т.б. шамаларды өлшеу барысында пайдаланды. Олар есептеу практикасында қолдауын тапты. Қорыта келгенде, арифметиканың бастапқы да негізгі ұғымдарымен әдістері тікелей өмір талабынан туындаған. Теріс, иррационал, комплекс, гиперкомплекс сан ұғымдарының шығуы, сан ұғымының дамуының заңды жағдайы және оларды математиканың ішкі даму талабы туғызды.

Геометрия ғылымының негізгі ұғымы болып саналатын фигураның ұғымдарының қалыптасуының арифметика негіздерінің шығуы ұқсас. Геометрия ерекше «гео»-жер «метрейн» - өлшеу деген екі сөзден құралған осы атаудың өзінен-ақ геометрияның шығу тегі бірден байқалады. Әр түрлі өлшеу қажетіліктердің ұзындық,аудан, көлем сияты геометриялық шамалар жөніндегі ұғымдар қалыптасты. Адамдар бірте-бірте кейбір қарапайым заңдылықтарды ашатындай дәрежеге көтерілді. Қисық жолға түзу жолдың төте екенін аңғару қиын болмады. Осылайша алғашқы геометрияның теориялары дұниеге келді. Бірақ бұларды ешкім дәлелдемеді. Дәлелдеуді керекте етпеді. Өйткені бұл теориялар астарында күн сайын тұрмыста көбірет сыналатын шүба келтірмейтін шындық жатты.

Уақытты өлшеуді, түнде бағытты бағдарлау тәрізді әрекеттер аспан шырақтарының қозғалысын жүйелі түрде бақылауды қажет етті. Бұл әрекет бұрынғыларды өлшеудің аспан сферасында орын алатын саласын қалыптастырды. Фигураларды зертеп білудің бастамалары еді.



3. Ғылым мен мәденетті ң барлық саласында өшпес мұра қалдыратын ежелгі герек ғалымдары (б.з 2000-2500 жылдар бұрын өмір сүрген ) өздерін ежелгі шығыс ғұламаларының шәкіртері санаған, олар әсіресе Мысыр және Вавилон сияқты шығыстың көне елінде жасалған миростардан үлгі , тәлім алып отырған. Геректердің астрономиялық білімдерінің де бастамалары ежелгі Вавилон астрономиялық еңбектерінде жатыр. Геректердің ұлы астрономиялары Гиппарх, Птоломейдің өздері ескі Вавилонда дүргізген астрономияық бақлаудың нәтижесін есте алы отырған. Египет, Вавилон елдері мәдениеті өте ертеде дамыған тарихи жұрттар қатарына жатады. Мысырдың бізге ғылыми, тарихи және басқа жақтарын жазылған көптеген попирусты хаттар келді (өсімдіктен жасалған төзімді жазу құралы - папирус). Ал Вавилондықтардың бізге мыңдаған сына жазулар (гленопистер) қалды. Олар жазулар мен есептерді арнайы дайындаған балшық тақталарға сына арқылы жазып ұзақ сақталу үшін оларды отқа күйдірген. Мысыр бұдан 4 мың жылдай бұрын біріккен қуатты мемлекет болып түрды. Осы кезде құрылыс аса күшті қарқынмен жүреді. Жер үдей қажеттігі күшейді, теңізден жүзіп тарихи экономиканың саяси байланыс жасаудың қажеттігі туады. Осы айтылғандардың бәрі ғылыми білімдерді көптеп қажет етіп, ғылымның шығуына дамуына қалайды әсер етеді. Сондықтан да мысырлықтар жаратылыстану, математика жөніндегі білімдерді жинақтап меңгеруге көрнекті табыстарға жетеді. Мысалы сүмбіле жұлдызының орның батып тууын зерттей келіп олар 1 жылда 365 күн бар екенің аңғарады. Осы кезде Мысыр күн парағы жасалады, Мысырлықтан соғатын кейіннең су сағатын жасады. Олар математика фактілердің, әдістердің жиналып қалдыруына әсер етті. Осы кезде Мысырмен қатар шығыстың екінші бір жерінде Вавилон мәдениеті гүлденіп тұрды. Вавилон – эфпрат және тигр өзендері арасынан қоныс тепкен азияның өте ескі мемлекеттерінің бірі болатын. (шамамен қазіргі Ирак мемлекетінің териториясы) Мысыр мен Вавилон елдерінең қалған бай білім мен өнер дәстүрлері кейіннең батыс пен шығыс елдерінде ежелгі грециядағы ғылым тууына өркендеуіне игі әсер етті. Бастапқы ірге тас болып қаланды.
4. Ежелгі Мысырлықтардың математика білім дәрежесінің айқындауы білетіндей екі папирус сақталған. Олардың біріншісі Римдік папирус Лондонда британ музейінде, ал екіншісі Москва папирусы Москвада. А.С Пушкинде сақталған. Біріншісінің өлшемі 55м х 32см 85 есеп жазылған. Екіншісі 5,5м 8см 25 есеп жазылған.бұлардың жазылу кезі б.з. 2000 жылдай бұрын папирустарда келтірілетін есептер қысқа догмолық түрде берілген жоғарыда айтылған папарустарды мұқият зерттеу тек өткен ғасырлардан айтылған. Бұл тұрғыда математика тарихын зерттеушілер елеулі жұмыстар енгізді. Ежелгі мысырда қазіргі қолданылып жрген позициялық емес рим нөмерлеуіне ұқсас ироглифтік ондық жүйе қолданылған. Мысырлықтан бір таяқша онды П (кісен), жүзді – с (өлшеуіш жіп), мыңды - ÷ (гүл жапырақ) деп белгілеген. Мысалы 2344 саның былай жазған ÷ ÷ с с с П П П П 1 1 1 1. Мысырлықтар төрт амалды бүтін сандарға, бөлшек сандарға да қолдана білген. Мысырлықтың кейбір арифметикалық есептерін шешу жолын қарастыра келіп, матаматика тарихшылары олар бір белгіс бар теңдеулерді шеше білген деген қортындыға келіп отыр.

Үймек және оның төрттен бірі он бес деген есеп, қазіргі біздің жазуымыз бойынша түріндегі теңдеулер келеді.

Мысырлықтар геометрия саласында едәуір жетістікке жеткенін байқаймыз. Олар үшбұрыш, квадрат, трапеция ауданын дұрыс формулалар арқылы табады, дөңгелектердің ауданын жуық түрде диаметрінің тоғыздан сегізінің квадратына тең деп алады. Олай болса, шеңбер ұзындықтарының оның диаматріне қатынасын көрсететін π саны үшін мынадай жуық мән табылады. бұл өз уақытымен салыстырғанда үлкен жетістік еді. Мысырлықтар қабырғалары, 3, 4,5 өлшем болып келетін үшбұрыштың тікбұрышты екенін білген. Олар осы үшбұрыш арқылы жер бетінде тікбұрыш салатын болған. Олар кубтың, паралепипедтің, дөңгелек цилиндр көлемін таба білген.
5. Вававилон математикасы жөніндегі негізгі деректерді біз олардан мириас болып қалған сына жазуынан қалғанын білеміз. Өткен ғасырда ежелгі ассерия патшасы акниезбанипалдық кітапханасы табылды. Математика тарихшылары математика тарихы үшін аса маңызды құжаттарды аудырып, жарыққа шығарды.

Вавилондықтар санаудың алпыстық жүйесін қолданды. Бұл жүйе бойынша барлық бүтін сан және бөлшек сандар мына тәріздес екі саннан өрнектелген бір үшін- , ал он үш- таңбасы қолданылады. Мысалы 34 саны .

Санаудың алпыстық жүйесін грек оқымыстылары қабылдады, олар арқылы бізге жетті. Уақыт және бұрышты өлшеу проблемалары да атап айтқанда, бір градус – алпыс минут, бір минут – алпыс секунд деген сияқтыларды, біз күні бүгінге дейін сол Вавилондықтардан пайдаланып келеміз.

Вавилондықтар Мысырлықтар сияқты көбейтуді қосуға және екі еселеуге келтірмей-ақ бірден жүргізді. Мұнда 2х2ден 59х59 дейінгі сандардың көбейтіндісін жатқа білуге тиісті болған. Дайын кесте пайдаланған. Бізге белгілі 300 математикалық тақташалар 200-ге жуығы осындай кестелерге арналған. Вавилон математиктері санның жуық квадрат түбірін табу кезінде формуласына пара-пар ереже қолданды. Бұл айтылғандардан Вавилондықтардан есептеу техникасының едәуір кемелденгенін көреміз. Мұндай жетілген есептеу жүйесінің болуы орларда алгебралық бөлім дағдыларының пайда болуына, молайуына әкеліп соқты. Олар бір белгісі бар теңдеулерді, квадрат теңдеулері және олардың жүйелерін шеше білген. Вавилондықтардың квадрат теңдеуін шешу жолы қазіргі біз қолданып жүрген формуламен пара-пар, сонымен қатар , , формуланың және арифметикалық прогрессияның қосындысын табу ережесін білген.

1945 жылы Вавилондықтардан қалған тағы бір математикалық текстінің мазмұны анықталды. Мұнда қабырғалары рационал сандар болып келген тікбұрышты үшбұрыш болып келген тізім келтіріледі теңдеуін қанағаттандыратын Пифагор. Сондықтан табу жолдарын қарастырған.

Пифагордан көп бұрын Вавилон математиктеріне «пифагор теоремасы» белгілі болды. Вавилондықтар үшбұрыштардың тіктөртбұрыш, трапеция аудандарын, призма мен цилиндр көлемдерінің дәл табу тәсілдерін білген т.б.

Осы шолудан біздің жыл санауымыздан 3000-6000 жылдар бұрын-ақ Мысыр және Вавилон елдерінде әр-түрлі санау жүйелеріне арифметикалық амал қолдану римше 1 және 2 дәрежелі теңдеулерді олардың жүйе шешу, аудан, көлем есептеу т.б. есептер шығарудың әдістерін жасау сияқты көптеген нақты матаматикалық мазмұндардың білім дағдылардың жинақталғанын көреміз.



Каталог: uploads -> doc
doc -> Английские слова и выражения в оригинальном написании a horse! a horse! MY KINGDOM FOR a horse! англ букв. «Коня! Коня! Мое царство за коня!»
doc -> Викторина по пьесе В. Шекспира «Гамлет, принц Датский»
doc -> Тест сынып Ұлы Отан соғысы нұсқа
doc -> Пєн атауы: Математика
doc -> Сабаќтыњ тарихы: ХІХ ѓасырдыњ 60-70 жылдарындаѓы ќазаќ халќыныњ отарлыќ езгіге ќарсы азаттыќ к‰ресі
doc -> 1 -сынып, аптасына сағат, барлығы 34 сағат Кіріспе (1 сағат)
doc -> Сабақтың тақырыбы: XVIII ғасырдың бірінші ширегіндегі Қазақ хандығының ішкі және сыртқы жағдайы Сабақтың мақсаты
doc -> Сабақтың тақырыбы: XVIII ғасырдың бірінші ширегіндегі Қазақ хандығының ішкі және сыртқы жағдайы


Достарыңызбен бөлісу:
  1   2   3


©kzref.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет