61 орта мектебінің математика пәнінің мұғалімі Теорема



жүктеу 33.16 Kb.
Дата26.04.2019
өлшемі33.16 Kb.

КОШИ-БУНЯКОВСКИЙ ТЕҢСІЗДІГІН ҚОЛДАНУ АРҚЫЛЫ РЕСПУБЛИКАЛЫҚ МАТЕМАТИКА ОЛИМПИАДА ЕСЕПТЕРІН ШЫҒАРУ
Батырбек Қайрат

Асатана қаласы, Сарыарқа ауданы

61 орта мектебінің математика пәнінің мұғалімі


Теорема: Кез келген нақты және сандары үшін

теңсіздігі орындалады. Бұл теңсіздікті Коши-Буняковский теңсіздігі деп атайды.


Дәлелдеуі: Берілген теңсіздіктен , деп белгілейік.

Кез келген нақты саны үшін



теңсіздігі орындалатыны белгілі. Ендеше, осы теңсіздікті қолданамыз:





Осыдан,


теңсіздігі алынады. Демек, теорема дәлелденді.

Мұнда, болғанда теңсіздік теңдікке айналады.

Коши-Буняковский теңсіздігін көптеген есептерде мына теңсіздік



түрінде қолдануға тура келеді.


1. Кез келген нақты сандары үшін

теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз.



Шешуі: Коши-Буняковский теңсіздігін қолдану арқылы теңсіздікті дәлелдейміз:

Мұнда, болғанда теңсіздік теңдікке айналады.


2. Кез келген нақты сандары үшін

теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз.



Шешуі: Берілген теңсіздіктің оң жаңын түрлендіріп, оған Коши-Буняковский теңсіздігін қолдану арқылы теңсіздікті дәлелдейміз:



Бұдан,


Мұнда, болғанда теңсіздік теңдікке айналады.


3. Кез келген оң сандары үшін

теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз.



Шешуі: Коши-Буняковскийдің мына

теңсіздігін қолданамыз.





болсын. Осы таңдап алған айнымалыларды Коши-Буняковский теңсіздігіне орналастырсақ, онда

Бұдан,


Енді, бұл теңсіздікті түрлендіріп, оған Коши теңсіздігін қолданамыз:





Демек, берілген теңсіздік дәлелденді.

4. (Математика Республикалық Олимпиада-2009. ІІ-кезең, 10-сынып) Кез келген оң нақты және сандары үшін

теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз.



Шешуі: Коши-Буняковский теңсіздігін қолданамыз:

Бұдан,


Соңғы теңсіздікті берілген теңсіздікке қолданамыз:



немесе


Осы теңсіздікке сәйкес қалған теңсіздіктерді жазамыз:







Бұл теңсіздіктерді берілген теңсіздікке орналастырып, оған Коши теңсіздігін пайдалансақ теңсіздік дәлелденеді.








5. (Математика Республикалық Олимпиада-2010. ІІ-кезең, 9-сынып) теңдігі орындалатын теріс емес және оң нақты сандары үшін

теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз.



Шешуі: Алдымен берілген теңсіздіктің екі жағын ге көбейтіп, мына теңсіздік

түрінде келтіреміз. Осы теңсіздіктің сол жағын түрлендіріп, оған Коши-Буняковский теңсіздігін қолданамыз:





Енді, бұған Коши-Буняковскийдің теңсіздігін қолданамыз:



Бұдан,


теңсіздігі алынады. Демек, теңсіздік дәлелденді.






Достарыңызбен бөлісу:


©kzref.org 2017
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет