7 Көп айнымалды функцияларды дифференциалдық қисаптау



жүктеу 0.8 Mb.
бет1/4
Дата02.12.2017
өлшемі0.8 Mb.
  1   2   3   4

  1. 7 Көп айнымалды функцияларды дифференциалдық қисаптау



7.1 Арифметикалық n өлшемді кеңістік

Реттелген нақты сандардан құралған жүйесі өлшемді «нүкте», ал сандары осы нүктенің координаттары деп аталады. Егер болса, демек жүйесі реттелген екі сандары арқылы берілсе, онда бұл жүйе жазықтықтағы нүктені (1-сурет), ал болса, онда жүйесі кеңістіктегі нүктені (2-сурет) анықтайды және, керісінше жазықтықтағы нүкте реттелген сандарын, ал кеңістіктегі нүкте реттелген сандарын анықтайды. Бұл жағдайда нүктенің бірінші координаты абсцисса, екінші координаты ордината, үшінші координаты z апликат деп аталады. болған жағдайда жүйесінің геометриялық бейнесін кескіндеу мүмкін емес.


у z

z Mxy

y M(x,y)

1 Mxz M(x,y,z)


0 1 x x y y

x Mxy

x
1-сурет 2-сурет
өлшемді және нүктелері арасындағы қашықтық
(7.1)
формуласы арқылы анықталады. Жазықтықпен кеңістікте бұл формула арқылы және нүктелерін жалғастыратын кесіндінің ұзындығы анықталады. Демек, жазықтықта және нүктелері берілсе, онда осы нүктелер арасындағы қашықтық


, (7.2)
ал кеңістікте және нүктелері арасындағы қашықтық

(7.3)
формулалары арқылы анықталады. Нүктелері арасындағы қашықтық (3.1) формуласы арқылы анықталатын өлшемді нүктелер жиыны арифметикалық өлшемді кеңістік деп аталады да, белгіленеді.

Ашық және тұйық жиындар. кеңістігінде нүктесі және саны берілсін.


жиыны - радиусы -ге тең, центрі нүктесінде жатқан ашық «шар». Жазықтықта бұл жиын центрі нүктесінде жатқан, радиусы -ге тең ашық дөңгелек (3-сурет):
,
кеңістікте-центрі нүктесінде жатқан, радиусы -ге тең ашық шар (4-сурет):

Анықтама 1 жиыны нүктесінің маңайы деп аталады. Бұл жиынды нүктесінің -маңайы деп те атайды.
y z

z0 M(x0,y0,z0)




  1. x

0 y0 y

x0 M(x0y0)


3-сурет 4-сурет
Сонымен, нүктенің -маңайы центрі осы нүктеде жатқан радиусы -ге тең ашық «шар» (жазықтықта-шеңберінсіз алынған дөңгелек, кеңістікте-сферасыз қарастырылған шар).

Анықтама 2 Егер кеңістігіндегі жиынына оның барлық нүктелері өзінің қандай да болмасын бір маңайынмен енсе, онда бұл жиын ашық деп аталады. Мұндай нүктелер жиынның ішкі нүктелері деп аталады. Демек, ашық жиын тек қана ішкі нүктелерден тұрады.

Анықтама 3 Егер кеңістігіндегі жиынының кез келген екі нүктесін осы жиында жататын сынық сызықпен жалғастыруға болса, онда бұл жиын байланысты жиын деп аталады.

Анықтама 4 Байланысты ашық жиын аймақ деп аталады.

Төмендегі суретте жазықтықтағы аймақтың мысалдары келтірілген (штрихталған жиындар).





Анықтама 5 Е арифметикалық кеңістігінің кез келген нүктелер жиыны болсын. Егер нүктесінің кез келген маңайында Е жиынның -ден өзгеше ең кемінде бір нүктесі болса, онда нүктесі Е жиынның шектік нүктесі деп аталады.

Егер осы нүктенің кез келген маңайында Е жиынның нүктелерімен бірге Е-де жоқ нүктелерде бар болса, онда нүктесі Е жиынның шекаралық нүктесі деп аталады.

Әлбетте, аймаққа енбейтін оның шектік нүктесі осы аймақтың шекаралық нүктесі болады.

Анықтама 6 Егер Е жиынның барлық шектік нүктелері өзінде жатса, онда Е тұйық жиын деп аталады.

Шекарасымен бірге қарастырылған аймақ тұйық жиын болады да, аймақтың тұйықталуы деп аталады. Осыған ұқсас, кейде аймақты ашық аймақ деп те атайды. Аймақтың ашықтығы оның анықтамасында екенін есте сақтаған жөн.


Өзін өзі тексеру сұрақтары
1. өлшемді “нүкте” дегеніміз не?

2. деп алып нүктенің геометриялық бейнесін ата. болса ше?

3. өлшемді екі нүктенің арасындағы қашықтық қалай анықталады?

4. және деп алып қашықтықтың геометриялық мағынасын анықта.

5. өлшемді арифметикалық кеңістік дегеніміз не?

6. Нүктенің маңайы деп нені айтамыз. Жазықтық пен кеңістіктегі нүкте маңайының геометриялық бейнесін ата.

7. Қандай нүкте жиынның шектік нүктесі деп аталады?

8. Қандай нүкте жиынның шекаралық нүктесі деп аталады?

9. Жиынның ішкі нүктесі деп нені айтамыз?

10. Қандай жиын байланысты деп аталады?

11. Қандай жиын ашық деп аталады?

12. Аймақ дегеніміз не?

13. Аймақ қандай нүктелерден тұрады?

14. Қандай жиын тұйық деп аталады?

15. Аймақтың тұйықталуы дегеніміз не?
Есептер

А.01

1) Аймақ түзулерімен шенелген шекарасыз параллелограмм. Осы аймақты теңсіздіктер арқылы жаз.

2) Аймақ және сызықтармен шенелген фигура (пішін). Осы аймақтың тұйықталуын теңсіздіктер арқылы жаз.

3) Бір төбесі координат басында жатқан, бір қабырғасы өсінің оң бағытында орналасқан, қабырғалары а-ға тең дұрыс үшбұрыш болатын аймақты (шекарасыз) теңсіздік арқылы жаз. (Аймақ бірінші квадрантта жатыр).

4) Аймақ центрі нүктесінде жатқан радиусы -ге тең шар. Осы аймақтың тұйықталуын теңсіздік арқылы жаз.

5) Жазықтықта теңсіздігі арқылы анықталған аймақты сипатта.

6) Жазықтықта теңсіздіктері арқылы берілген аймақты сипатта.

7) Жазықтықта және теңсіздіктері арқылы берілген аймақты сипатта.

8) Кеңістікте теңсіздіктері анықтайтын аймақты сипатта.

9) Кеңістікте теңсіздігі қандай аймақты анықтайды?

10) Кеңістікте теңсіздіктері анықтайтын аймақты сипатта.
7.2 Көп айнымалды функция

Анықтама 1 Егер белгілі бір ереже немесе заң бойынша М жиынындағы тәуелсіз , айнымалыларының әрбір қос мәніне Z жиынынан алынған z-тің тек қана бір мәні сәйкес келсе, онда z айнымалысы М жиынындағы , тәуелсіз айнымалыларының функциясы деп аталады да, немесе , немесе , т.с.с белгіленеді.

Нақты сандар пен -тің реттелген қос мәні декарт жазықтығының А нүктесіне сәйкес келетін болғандықтан, екі айнымалды функцияларды жазықтықтағы нүктенің функциясы түрінде жазуға болады, яғни, , немесе , т.с.с.

Жоғарыдағы анықтамада сөз болған М жиыны функцияның анықталу аймағы деп аталады.

Егер қос мәні М жиынынан алынса, онда функцияның және болғандағы дербес мәні болады.

Анықталу облыстары көрсетіліп, аналитикалық жолмен немесе формуламен берілген функциялардың бірнеше мысалдарын келтірейік. Мына формула барлық қос мәндері үшін функцияны анықтайды. Мына формула тек қана теңсіздігін қанағаттандыратын пен мәндерде функцияны анықтайды, ал мына және формулалар сәйкесінше және теңсіздіктерін қанағаттандыратын қос мәндерінде ғана функцияны анықтайды. Бұл мысалдардан, екі айнымалды функция үшін айнымалының өзгеру облысы есептің шартына қарай әртүрлі және күрделі болып келетінін көреміз.

Осы қарастырылған екі айнымалды функция ұғымын n айнымалды функцияға жалпылауға болады.



Анықтама 2 Егер белгілі заң немесе ереже бойынша айнымалыларының әрбір реттелген мәндеріне айнымалы -дың тек қана бір мәні сәйкестендірілсе, онда айнымалы -ды айнымалды функция деп атайды және былай белгілейді:

Ал нақты сандарынан құралған әрбір реттелген жүйесіне өлшемді кеңістікте бір нүктесі сәйкес келетін болғандықтан, айнымалды функцияны өлшемді арифметикалық кеңістіктегі нүктенің функциясы деп жазуға болады, яғни .

Егер функциясының айнымалыларының өлшемді кеңістіктегі М жиынының құрамынан шықпайтын нақты мәндерінде функциясының толық анықталған бір мәні сәйкес келсе, онда М жиыны берілген функциясының анықталу аймағы деп аталады.



Көп айнымалды функцияның шегі.

Бізге хОу жазықтығының Q аймағында анықталған функциясы берілсін және осы Q аймағының белгіленген нүктесі болсын.



Анықтама 3 Егер үшін Q аймағындағы нүктесіне жинақталатын кез келген нұктелер тізбегі осы нүктесіне ұмтылғанда оларға сәйкес функциясының мәндер тізбегі бір ғана А санына ұмтылатын болса, онда А саны функциясының -ге ұмтылғандағы шегі деп аталады да, былай белгіленеді
. (7.4)
Анықтама 4 Егер кез келген саны бойынша санын теңсіздігін қанағаттандыратын барлық М нүктелері үшін теңсіздігі орындалатындай етіп табуға болса, онда А саны функциясының нүктесіндегі шегі деп аталады және былай жазылады:
,
Бұл екі анықтама өзара эквивалентті. Бір айнымалды функциялардың шектері және оларды есептеу ережелерімен әдістері түгелдей көп айнымалды функцияларға да қолданылады.

Көп айнымалды функциясының үзіліссіздігі. Айталық, функциясы Q аймағында анықталған болсын және нүктесі Q жиынында жатқан осы жиынның шектік нүктесі болсын.

Анықтама 5 Егер функциясының нүктесі -ге ұмтылғандағы шегі оның нүктесіндегі мәніне тең, яғни
немесе
болса, (мұндағы және ), онда функциясы нүктесінде үзіліссіз деп аталады.

Функция шегінің анықтамасын еске алсақ, функцияның нүктесіндегі үзіліссіздігін мына түрде айтуға болады.



Анықтама 6 Егер кез келген санына сәйкес санын, теңсіздігін қанағаттандыратын барлық М нүктелері үшін теңсіздігі орындалатындай етіп табуға болса, онда функциясы нүктесінде үзіліссіз деп аталады.

Мына шамалардың әрқайсысы берілген функциясының және айнымалыларының сәйкес өсімшелері, ал айырым функцияның өсімшесі, яғни екенін ескерсек, функцияның нүктедегі үзіліссіздігінің жоғарыда берілген анықтамасын былай тұжырымдауға болады: егер айнымалылардың ақырсыз аз өсімшелеріне берілген функцияның ақырсыз аз өсімшесі сәйкес келсе, онда бұл функция нүктесінде үзіліссіз болады. Демек, егер функциясы нүктесінде үзіліссіз болуы үшін теңдігі орындалуы қажет.

Егер функциясы Q аймағының әрбір нүктесінде үзіліссіз болса, онда ол Q аймағында үзіліссіз функция болады.

хОу жазықтығындағы Q аймағының тұйықталуында үзіліссіз болатын функциясының қасиеттері кесіндіде үзіліссіз болатын бір айнымалды функцияның қасиеттеріне ұқсас.

1) Егер функциясы шенелген тұйық жиында үзіліссіз болса, онда ол осы жиында шенелген функция болады. Демек;
теңсіздігін қанағаттандыратын саны табылады.

2) Егер функциясы шенелген тұйық жиында үзіліссіз болса, онда ол осы жиында өзінің дәл төменгі және жоғарғы мәндерін қабылдайды.

3) Егер функциясы шенелген аймақтың тұйықталуында үзіліссіз болса, онда бұл функция осы жиында бірқалыпты үзіліссіз болады.
Өзін өзі тексеру сұрақтары
1. Екі айнымалды функцияның анықтамасын айт. Мысал келтір.

2. Екі айнымалды функцияның анықтамасын үш және айнымалды функциялар үшін жалпыла.

3. Функцияның анықталу және өзгеру аймақтары деп нені айтады?

4. Көп айнымалды функцияның шегі қалай анықталады?

5. Көп айнымалды функцияның үзіліссіздігі қалай анықталады?

6. Тұйық жиында үзіліссіз функцияның негізгі қасиеттерін айт.


Есептер
А.01 Конустың көлемі -ны оның жасаушысы пен биіктігі арқылы өрнекте.

А.02 Үшбұрыштың ауданын оның қабырғалары арқылы өрнекте.

А.03 Берілген функцияның көрсетілген нүктедегі мәндерін есепте:

1) , ;


2) ;
3) .
А.04 Функциялардың анықталу аймақтарын тап:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) .
А.05 Функцияның шегін тап:
1) ;
2) ;
3) .
А.06 Функцияның үзілісті нүктелерін тап
1) ;
2) ;

А.07 Функцияны нүктесінде үзіліссіздікке зертте
1) ;
2) ;
3) .
      1. А.08 Функцияның деңгей сызықтарын сал

1) , -тің -5 тен 5-ке дейінгі бүтін мәндерінде;

2) , -тің -5; және 5-ке тең мәндерінде;

3) , -тің -2 ден 2-ге дейінгі бүтін мәндерінде.


А.09 . Күрделі функциясын екі буынды тізбеден тұрақты жай функциялар композициясы ретінде жаз.

А.10 функциясын қималар әдісімен зертте. жазықтықтары осы функцияның графигін қандай сызықтар бойымен қиып өтеді.

А.11 функциясын қималар әдісімен зертте. жазықтықтары осы функцияның графигін қандай сызықтар бойымен қиып өтеді.

А.12 функциясын қималар әдісімен зертте. жазықтықтары осы функцияның графигін қандай сызықтар бойымен қиып өтеді.

Б.01 Функцияның үзіліс нүктелерін тап.
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) .
Б.02 Функцияны (0,0) нүктесінде үзіліссіздікке зертте:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
С.01 Шектерді тап
1) ; 2) ;
3) ; 4) .

7.3 Дербес туындылар мен дербес дифференциалдар


  1. Достарыңызбен бөлісу:
  1   2   3   4


©kzref.org 2017
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет