Бір айнымалысы бар функцияларды зерттеу



жүктеу 0.74 Mb.
бет1/4
Дата26.11.2018
өлшемі0.74 Mb.
  1   2   3   4

          1. Қазақстан Республикасының білім және ғылым министрлігі

А. Байтұрсынов атындағы Қостанай мемлекеттік университеті


Информатика және математика кафедрасы

Р.С. Ысмагул


БІР АЙНЫМАЛЫСЫ БАР ФУНКЦИЯЛАРДЫ ЗЕРТТЕУ
Әдістемелік көмекші құрал


Қостанай, 2014

УДК 510 (075.8)

ББК22.1. Я 73

Ы 88


Автор:

Ысмағұл Роза Сапабекқызы - физика-математика ғылымдарының кандидаты, доцент


Рецензенттер:

Калаков Б.А.-физика-математика ғылымдарының кандидаты, доцент,ҚМПИ-нің физика - математикалық және жалпытехникалық пәндер кафедрасының меңгерушісі

Калжанов М.У.-физика-математика ғылымдарының кандидаты, А. Байтурсынов атындағы ҚМУ информатика және математика кафедрасының доценті

Доспулова У.К.- А. Байтурсынов атындағы ҚМУ информатика және математика кафедрасының аға оқытушысы

Ысмағұл Р.С.

Ы 88 Бір айнымалысы бар функцияларды зерттеу. - Қостанай: А. Байтұрсынов атындағы ҚМУ, 2014. – 52 б.

Әдістемелік көмекші құралда математикалық талдаудың негізгі бөлімдері - тізбектің, функцияның шегін есептеу, функцияның анықталу облысын, туындысын және интегралын табу қарастырылған. Бұларды табудағы негізгі қағидалар, ережелер, заңдылықтар қамтылған. Сонымен қатаресептерді шығарудың жолдары көрсетілген.

Әдістемелік көмекші құрал жоғарғы математика пәнін оқитын студенттерге арналған. Мұнда студенттердің өздік жұмыстарына, және де оқытушылардың практикалық сабақтарына қолдануына арналған есептер ұсынылған.

УДК 510 (075.8)

ББК22.1. Я 73

Ы 88

А. Байтурсынов атындағы Қостанай мемлекеттік университетінің Оқу -әдістемелік кеңесімен бекітілді, хаттама № ___ , __________ 2014 ж.



©А.Байтұрсынов атындағы Қостанай

мемлекеттік университеті, 2014


Мазмұны


Кіріспе….........…………………………...……………..……………….……….....4

1 Бір айнымалысы бар функциялардың дифференциалдық

есептеулері.............................................................................................................5

1.1 Сандық тізбектер. Тізбектің шегі……...…………….......…….…………......5

1.2 Функция. Шектік мән. Үзіліссіздік. ………………......……….…….............7

1.3 Функцияның анықталу облысын табу керек. …......…………………….....14

1.4 Туынды және дифференциал. ……………………….......……….…….…...16

2 Функцияларды туындылар арқылы зерттеу.................................................... .19

2.1. Функциялардың локальдік (төңіректік) экстремумдері............................19

2.2 Функциялардың кесіндідегі ең үлкен және ең кіші мәндері ......................22

2.3 Функцияның дөңестігі. Иілу нүктелері. Асимптоталар...............................23

2.4 Функцияны зерттеу және оның сүлбесін салу..............................................25

3 Бір айнымалысы бар функциялардың интегралдық есептеулері...................27

3.1 Анықталмаған интегралдың қасиеттері. Негізгі интегралдар кестесі......27

3.2 Интегралдаудың негізгі әдістері....................................................................28

3.3 Рационал және иррационал функцияларды интегралдау............................29

3.4 Тригонометриялық функцияларды интегралдау .........................................30

3.5 Анықталған интеграл, оның қасиеттері. Ньютон-Лейбниц формуласы....31

3.6 Меншіксіз интегралдар.................................................................................. 33

3.7 Анықталған интегралдың қолданылулары...................................................34

Есептер шығару үшін әдістемелік нұсқаулар.......................................................37

Бақылау жұмысының тапсырмалары...................................................................46

Қолданылған әдебиеттер тізімі………………….…….........……….............…...52


Кіріспе

Әдістемелік көмекші құралда математикалық талдаудың негізгі бөлімідері - тізбектің, функцияның шегін есептеу, функцияның анықталу облысын, туындысын және интегралын табу тақырыптары қарастырылған.

Бұл пәннің зерттеу объектілері болып алғашқы кезекте функциялар мен функциялық тәуелділіктер болып табылады. Олардың көмегімен табиғат заңдарымен қатар техника, экономика және тағы да басқа салалардағы алуан түрлі құбылыстар сипатталады. Сондықтан берілген тақырыптардың есептеулерінің негізгі қағидаларын, заңдылықтарын білу керек.

Әдістемелік нұсқауларда теориялық және практикалық материалдар мысалдармен өрнектелген. Есептердің нақты шығару жолдары көрсетілген. Бұл студенттердің теориялық материалдарды жақсы ұғынуға, өз бетінше есептер шығаруға көмектеседі.

Әдістемелік көмекші құрал жоғарғы математика пәнін оқитын студенттерге арналған. Мұнда студенттердің өздік жұмыстарына, және де оқытушылардың практикалық сабақтарына қолдануына арналған есептер ұсынылған.

1 Бір айнымалысы бар функциялардың дифференциалдық есептеулері

1.1 Сандық тізбектер. Тізбектің шегі.

Анықтама. Егер үшін, орындалса,онда а саны {an} тізбегінің шегі деп аталады Белгіленуі немесе an→ a, n → ∞.болғанда.. Шегі бар тізбек жинақталатын деп аталады.. Кері жағдайда жинақталмайтын тізбек│ an - а│< ε пара-пар а –ε < an < a+ε .

Егер , шектері бар болса, онда


  1. .

  2. ; .

  3. , .

  4. , = ==.

тізбегінің шегі бар және ол е2,17188882818284590 деп белгіленеді

Коши критериі: Егер және үшін теңсіздігі орындалса, {хn} тізбегі фундаменталды (іргелі) деп аталады.

Бұл анықтамалардың геометриялық мағынасы келесіде жатыр: егер {xn} тізбегі — фундаменталды болса, үшін нөмірі N-нен үлкен болатын тізбектің екі мүшесінің арасы ε-нан кіші болады.

Тізбек жинақталу үшін оның фундаменталы (іргелі) болуы қажетті және жеткілікті.

Егер xn =0 орындалса, онда { хn } ақырсыз кішкене тізбек деп аталады

Егер үшін : \хп\>А болса, онда {хn} ақырсыз үлкен тізбек деп аталады.

Егер ақырсыз үлкен тізбек болса, онда тізбегі ақырсыз кішкене тізбек немесе керісінше.

Мысалдар:

= болсын. Тізбек шегінің анықтамасы бойынша = көрсету керек. ; мәніне сәйкес N-ді көрсету керек.

Шешуі. =-=. Егер N-ді былай таңдап алсақ, болғанда , болғанда N, онда барлық n
=<5. N=5

N=50 делік.

1.2 тізбегі берілген. Тізбек шегінің анықтамасы бойынша =көрсету керек. ; ; . = тізбегінің шегін табу керек;

Шешімі:

====

= = 0 (себебі ,- ақырсыз кішкене тізбек).
= тізбегінің шегінің табу керек.

Шешімі:


====

==.
Өзіндік шығаруға арналған есептер

Тізбек шегінің анықтамасы бойынша = көрсету керек. ; мәніне сәйкес N-ді көрсету керек.



  1. =2+, а=2; 2 =2+, а=2;

3 =, а=; 4 =, а=2;

5 = 1-, а=; 6 = , а=1;

7. = , а=0; 8. =1+ , а=1;


  1. =, а=0; 10. =, а=0;


1.2 Функция. Шектік мән. Үзіліссіздік
х - сандық айнымалы, Х- оның өзгеру облысы болсын. Егер әрбір x санына қандай да бір у саны сәйкесінше қойылса, онда Х жиынында функция анықталады деп айтады да, y =f(x) деп жазады. Х жиынын – f(x) функциясының анықталу облысы, х – тәуелсіз айнымалы (немесе функция аргументі), ал х айнымалысының мәніне сейкес келетін у саны – функциядағы х нүктесіндегі дербес мәні деп аталады.Функцияның Y сәйкестігінің барлық дербес мәндер жиыны- f(x) функциясының мәндер жиыны деп аталады.

Егер >0 санына сәйкес >0 табылып, үшін шарттарын қанағаттандыратын теңсіздігі орындалса, онда b санын f(x) функциясының а нүктесіндегі ( ұмтылғанда) шегі деп аталады

Егер үшін оған тәуелді саны табылып, а< x < a+( а-< x < a) теңсіздігін қанағаттандыратын үшін теңсіздігі орындалса, онда b саны а нүктесіндегі f(x) функциясының оң (сол) жақты шегі деп аталады.

Келесі теңдіктерді қарастырайық:

1. =1; 2.=е; 3.=;

4.; 5..



болсын, ал болсын, сонда

1. [f(x)g(x)]=AB, f(x)g(x)=AB;

2. Егер а нүктесінің маңайында g(x)0 және В0 болса, онда

[ f(x)/ g(x)]=A/B;
Үзіліс нүктелерінің кластарға бөлінуі

f(x) функциясы х0 нүктесінің қандай да бір маңайында анықталсын (нүктесінде анықталмауы да мүмкін). Онда х0 нүктесі:

1) егер бар болып, f(x) функциясы х0 нүктесінде анықталмаса немесе f(х0)≠с (егер f(x0)=c деп алсақ, онда f(x) функциясы х0 нүктесінде үзіліссіз болады, яғни үзілістілік жөнделеді) болса, онда х0 нүктесі f(x) функциясының жөнделетін узіліс нүктесі деп аталады;

2) егер f(х0+0) немесе f(х0-0) бар болып, бірақ f(х0+0)≠f(х0-0) болса, онда х0 нүктесі f(x) функциясының I текті жөнделетін нүктесі деп аталады;

3) егер х0 нүктесінде f(x) функциясының ең болмағанда бір біржақты шегі болмаса, онда х0 нүктесі f(x) функциясының II текті жөнделетін нүктесі деп аталады.

Мысалдар:




    1. 1) шегін табу керек

Шешімі: х мәнінің орнына 1-ді қойсақ 0/0 болады. Алымы мен бөлімін (х-1)-ге бөлеміз
_ х3 -2х2+3х-2 х-1 х2-1 х-1

х3- х2 х2-х+2 х2-х х+1



2+3х+2 _ х-1

2+х х-1

_ 2х-2 0

2х-2


0

Сол себепті х3 -2х2+3х-2=(х-1)( х2-х+2), х2-1=(х-1)(х+1). Бұл теңдікті алдыңғы өрнекке қойсақ, мынаны аламыз: =.




    1. 2) шегін табу керек

Шешімі: 0/0 анықталмағандығына ие боламыз

====.

Сонымен қатар , .




    1. 3) шегін табу керек;

Шешімі: , екенін ескеріп, алымы мен бөлімін а2-қа бөлеміз

==.


    1. 4) шегін табу керек;

Шешімі: - анықталмағандығына ие боламыз. өрнекке көбейтіп, бөлеміз:

====.


    1. 5) шегін табу керек;

Шешімі: 0/0 анықталмағандығына ие боламыз
1-cos3x=(1-cosx)(1+cosx+cos2x)= ;

==*=

=/





    1. 6) шегін табу керек;

Шешімі: анықталмағандығына ие боламыз

==. Мынадай белгілеу енгізейік , егер болса онда , , . Сонда

====

=.


7) функциясы берілген.

[-1;3] аралығында үзіліссіздікке зерттеп, графигін салу керек.



Шешімі: а (1;3]болсын. Сонда , және егер а[-1;1) болса, онда . Яғни [-1;1) , (1;3] аралықта функция үзіліссіз. х=1 нүктесі күмән туғызады, f(1-0)= , f(1+0)= , f(1)=0, себебі f(1-0) f(1+0) f(1) функциясы 1 нүктесінде үзіледі.
Өзіндік шығаруға арналған есептер
I. Шекті табу керек

1. ; ;



; ;

2. ; ;



; ;

3. ; ;



; ;

4. ; ;



; ;

5. ; ;



; ;

6. ;



;

7. ; ;



; ;

8. ; ;



;

9. ; ;



; ;

10. ; ;



; .

II. Келесі функцияларды үзіліссіздікке зерттеп, графигін салу керек:

1. 2. 3.

4. 5. 6


7. 8. 9.

10.





Достарыңызбен бөлісу:
  1   2   3   4


©kzref.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет