Диффузияның жартылай эмпирикалық теңдеуі бойынша қоспа концентрациясының сандық есептеулері



жүктеу 132.69 Kb.
Дата07.02.2019
өлшемі132.69 Kb.

ӘОЖ 502.53:556.1
ДИФФУЗИЯНЫҢ ЖАРТЫЛАЙ ЭМПИРИКАЛЫҚ ТЕҢДЕУІ БОЙЫНША ҚОСПА КОНЦЕНТРАЦИЯСЫНЫҢ САНДЫҚ ЕСЕПТЕУЛЕРІ.
Р.А.Бештаева

Н.М.Киялбеков


Бұл мақалада турбулентті қоспа диффузиясының жартылай эмпири- ка лық және есептеу теориясы таныстырылып, тығыз ортадағы диффузия процесінің тәжірибелік зерттеу әдістері жазылған.
Аналитикалық шешім бойынша әртүрлі факторлардың қоспа концентрациясына әсерін бақылауға болады және есептің шекаралық алғашқы шарттарының концентрация өрісінің кеңістік-уақыт бойынша өзгеруіндегі тигізетін ролін бағалауға болады. Сондықтан мүмкіндігінше диффузиялық есептің уақыттан және басқа айнымалылардан функционалды тәуелді аналитикалық шешімін анықтауға ұмтылу керек. Бірақ оны барлық кезде анықтай алмайсың. Қоспа диффузиясы байқалатын облыстың күрделі түрі үшін және мұхиттың қарастырылатын аймағындағы ағыс жылдамдығы өрісінің күрделі структурасы үшін аналитикалық шешімді табу өте қиын. Кей жағдайларда аналитикалық шешімді табу да алмасу коэффициенті координатадан және уақыттан тәуелді күрделі функция болып берілуі де шешімді табуды қиындатады. Бұл жағдайларда аналитикалық шешімді табуды ыңғайлы ету үшін есеп қойылуындағы кейбір жеңілдіктерге мүмкіндік беретіндей анализ жасау орынды, мысалы, күрделі шекарасы бар интегралдау облысын тіктөртбұрыш, дөңгелек және т.б. қарапайым облыстарға ауыстыру мүмкіндігі болуы мүмкін. Кей жағдайда ақырлы өлшемді облысты шексіз жазықтыққа немесе жартылай жазықтыққа ауыстыру есептің аналитикалық шешімін табуды оңайлатады. әрине, мұндай жеңілдіктерден кейін есеп нәтижесіне олар қандай қателіктер әкелетінін бағалау қажет. Мысалы, атмосферадан түсетін қоспаның вертикалды диффузиясы туралы есепте мұхит тереңдігін шексіз деп ұйғарып, қателікті бағалайық /1,2,3/.

Енді қандай да бір тереңдіктегі концентрациясын анықтаудағы салыстырмалы дәлдікті осы тереңдіктегі концентрация мәнінің мұхит бетіндегі қоспа концентрациясына қатынасы ретінде алайық, яғни


(1)

мұндағы – шешімнің беру дәлдігі.


Аналитикалық шешімге сәйкес және тереңдіктегі концентрациялардың қатынасы мынаған тең
(2)
мұндағы, .

Егер (1) және (2) формулалардың оң жағын теңестірсек, онда ізделінді дәл шешім болатын тереңдігін табуға болады және оны арттыру арқылы мұхитты шексіз терең деп есептеуге болады. Әрине, тереңдігі коэффициентінің сәнінен және диффузия уақыты -дан тәуелді. Мысалы, болғанда жуықтап мына формула арқылы өрнектеледі


. (3)
Диффузияның молекулярлы коэффициентімен диффузияның басталуы 10с кейін тереңдігі 23см-ден аспайды екен. Бірақ -тің 10 см2 мәнінде 19м-ге дейін өседі. Диффузия уақыты 10 тәулікке дейін артқанда және болғанда тереңдігі 100м-ге жақындайды. Диффузия уақыты өте көп болғанда қоспаның консервативті еместігін ескеру қажет және қоспаның тереңдікке енуін бағалау керек. Бұл жағдайда басқа формулалар арқылы шығару керек. Көп жағдайларда мұхитты шексіз терең деп есептеу есептің аналитикалық шешімін табуды едәуір жеңілдетеді.

Егер есепті аналитикалық шешімді табуға ыңғайлы түрге келтіре алмасақ, онда оның шешімін сандық әдістерді қолдану арқылы шешуге болады. Қазіргі есептеу машиналардың мүмкіндігі үлкен көлемдегі есептерді аз уақытта есептеуді жүзеге асыра алады. Диффузияның дифференциалдық теңдеуін сандық шешу үшін оны ақырлы айырыммен алмастырамыз. Бұл мақсатта интегралдау облысын көбінесе тіктөртбұрышты тор сызықты тор облысына ауыстырады. Қарастырылатын облыстың сыртқы қисық сызықты шекарасын беті сынық кесінділі жүйемен алмастырады. Бұларға облыстың алғашқы контурына қойылған шекаралық шарт қайта қойылады. Диффузияның стационарлы емес есептерінде сандық әдістермен шешу үшін диффузия уақыты -ны бір-бірінен уақыт аралығында жататын дискретті санау түрінде беріледі. Бірақ кей жағдайларда кеңістік координаталары және уақыт бойынша бірқалыпсыз қадамдағы тор қолданылады.

Егер индекстері арқылы сәйкесінше осьтері бойынша тордағы түйін нөмерін белгілесек, онда мысалы, диффузия теңдеуіндегі адвективті мүшесі айырым аппроксимациясында мына түрде жазылуы мүмкін /4,5,6/:
(4)
мұндағы -тордағы индексті түйіндегі жылдамдық компонентінің мәні.

және -тордағы сәйкес келетін түйіндегі қоспа концентрациясының мәні. осінің бойындағы тор қадамы.
Стационарлы емес жағдайда диффузия теңдеуі жалпы түрде былай жазылады /1,2,3/:

(5)

мұндағы -қандай да бір оператор, –қоспа көзінің функциясы.

Уақыт бойынша ақырлы айырым аппроксимациясында теңдеу (1.26) мына түрде
(6)
немесе мына түрде жазылады
(7)
мұндағы, индекстері алғашқы деп қабылданған мезеттен бастап уақыт мезетіндегі дискретті санаудың нөмірлерін білдіреді.

Жоғарыдағы формула (6) түріндегі ақырлы айырым аппроксимациясы анық аппроксимациясы деп аталады, ал (7) түріндегісі анық емес деп аталады. Егер (5) теңдеуі болғанда, болатын алғашқы шартымен шешілсе, онда аппроксимацияның екі түрінде де алғашқы шарт болады.

Егер (5) дифференциалдық теңдеу үшін алғашқы есептің шешімі тегіс болса, онда дифференциалдық теңдеуді ақырлы айырым аналогына ауыстырғанындағы аппроксимация дәлдігін ізделінді функцияны Тейлор қатарына жіктеу арқылы және (6) және (7) формуласына қатарды қою арқылы бағалауға болады. Осы әдістің көмегімен (4), (6), (7) формулаларының аппроксимациясының бірінші ретті дәлдікпен алынатынына көз жеткізуге болады. Егер (5) теңдеуін уақыт бойынша ақырлы айырым аппроксимациясын былай жазсақ /3/,
(8)
мұндағы

немесе
(9)


онда мұндай аппроксимация бойынша 2-ші ретті дәлдікпен алынады /3/:

Егер диффузия теңдеуінің қандай да бір параметрі, мысалы, диффузия коэффициенті нақты кеңістікті-уақыт зонасында өте тез өзгерсе, мұнда бұл зонада тордың үлкенірек бөлшек қадамынқолдану керек немесе аппроксимация дәлдігі сақталатындай басқа әдістерді қолдану керек. Дербес жағдайда, уақыттың алғашқы мезетіндегі көздің нүктесінде қоспа концентрациясы дельта – функциямен сипатталатын қоспаның лездік дәл көзі бар диффузия есебін сандық әдіспен шешу үшін тордың қадамдарын шексіз майдалау қажет. Бұл кезде диффузияны шексіз кеңістікте пайда болады деп ұйғарып диффузия көзінен өте аз ара қашықтығы және өте аз уақыты үшін есептің аналитикалық шешімін қолдануға болады. Қандай да бір облыстағы осылай жағылған қоспа көзін ары қарай концентрацияның алғашқы өрісі ретінде есепті сандық әдіспен шешуге қолдануға болады /6/.

Диффузиялық есепті сандық шешуде айырымдық схемасын орнықтылыққа және жинақтылыққа тексеру негізгі болып саналады.

Осындай қасиеттеріне тор қадамы мен есеп өлшемдері арасында белгілі ара-қатынас орындалған айырым схемалар ие. Мысалы, вертикаль диффузияның бір мүшесімен диффузияның стационарлы емес теңдеуінің әртүрлі нақты схемасы үшін келесі қатынас орындалуы қажет /5/:


(10)
мұндағы - диффузияның тұрақты тік коэффициенті.

х және z осі бойында адвекция мүшелерімен, сонымен тік диффузия мүшесімен диффузияның стационарлы теңдеуі жағдайында тұрақтылық пен үйлесімділік шарты мынандай түрде жазылады [7]:
(11)

мұндағы және - х және z осі бойы жылдамдықтың тұрақты бөлшектері.


Айырым схемаларының тұрақтылық пен үйлесімділік критерийлерінің толық талдауы, сонымен бірге шеткі әртүрлі теңдеулерін шешу әдістерінің де талдауы осы жұмыстың міндетіне кірмейді. Осы мәселе бойынша әдебиет жеткілікті және айтылған мәселемен толық танысқысы келген оқырман Г.И.Марчук монографиясын оқуына болады. Бұл жұмыста біз мұхитта қоспалардың диффузиясы туралы есептерді шешуге санды әдістерді қолданудың бірнеше нәтижелеріне тоқталамыз.

Алғашқы рет теңіздегі қоспалар диффузиясы есебінің санды әдісі /4/ қолданды. Бұл жұмыста суаттың салыстырмалы тереңдігіне байланысты коэффициенттерімен « 4/3 деңгейі» берілетін заңымен коэффициенттерімен, сонымен диффузия коэффициентінің тұрақты мәнімен қоспаның көлденең туралы есептеріжүйелі есептелді. Диффузия теңдеуінде қоспа ыдырауы мүмкіндігі ескерілді. Жұмыстың соңғы бөлімінде нақты схемасы бойынша сандық әдісімен стационарлы, бірақ, егістік кеңістігі бойынша өзгеретін ағыс жылдамдығының көлденең бөлшектері болғанда жағаның күрделі пішін үйлесімі мен біркелкі емес тереңдігі бар теңіздің жаға аймағында қоспаның тез таратылған көзінен қоспа диффузиясы есептелді. Жаға шетінде су-құрлық аймағы шекарасы арқылы қоспа кіре алмайтын шарты берілді. Осы есепте есептеу торының кеңістік қадамы 100 м тең етіп алынды, ал уақыт бойынша қадам- 1000 с. Есептеу қоспаның диффузияланған дақтарының 17 жүйелі орындары үшін орындалды. 1.4 суретінде теңіздің жағалау телімінің жобасы, концентрация изосызықтарының шеңберлі үйлестірумен қоспа дағының алдыңғы үйлестіруі және диффузия басынан 16000 с арқылы қоспа дағының түрі. Диффузияның жүйелі суретінің талдауында дақ алдымен симметриялы түрде диффунзияланады және ағыспен оңнан солға қарай ауыстырылатыны анықталды. Теңізге шығып тұрған мүйісіне жақындағанда дақ үйлесімі күрделенді, ол мүйіс қасынан келе жатқан ағысқа тақалды және ағысы бойы созылды. Дақ ортасы мүйісті айналып бір қалыпты қисық сызық бойынша ауысты, ал концентрацияның бірлік мәнді изосызықтар мүйістің жаға жағына теңіздің жаға телімінің ластану зонасын құрып «тақалды». Дақ мүйістен өтіп, мүйістің ар жағындағы шығанаққа қарай тарала бастады. Шығанақта сулардың тұйық айналым болғандықтан ластанудың тоқталған зонасы пайда болуы мүмкін.

Санды әдіспен шешілетін диффузия есебіндегі жүйелі күрделенуі қоспа концентрациясының өрісін қалыптасуда әртүрлі факторлар рөлін бағалауға ыңғай жасады. Есептеудің алғашқы кезеңінен бастап-ақ құбылыс масштабынан көлденең диффузия коэффициентінің тәуелділігін есептеу тұрақты KL есеп шешуімен салыстырғанда диффузияланған дақта концентрация таралуының айқын ерекшеліктеріне әкелді. 1.4 а суретінде көрсетілген қоспаның тез таралған көзінің 104 см2/сек тең диффузияның тұрақты коэффициентімен санды есептеу құбылыс масштабы бойынша KL тәуелділігін болжаудан есептеуіне қарағанда дақтың орталық 100-150 метрлік зонасында қоспа концентрациясының тез құлауын берді.



Сурет -1.4. Теңіздің жағалау зонасындағы қоспа дағының таралуының сандық есептелуі.

а- тереңдік изосызықтары мен ағыстар схемасы бар теңіздің жағалау телімінің жобасы;

б- диффузияланған дақтағы қоспа концентрациясының алғашқы таралуы мен сынық сызықпен жағалау шекарасын аппроксимациясы;

в- диффузия басталғаннан 8000 с өткеннен кейінгі қоспа дағының орны;

г- сол сияқты, бірақ диффузия басталғаннан 16 000 с кейін.
Ортадан алшақ зоналардағы дақтар екінші жағдай бойынша алынған концентрация тұрақты коэффициентпен диффузия теңдеуі бойынша есептелгенге қарағанда аз болып шықты. Диффузияланған қоспаның кертартпа еместігі бірнеше сағат бойы диффузия уақытында коцентрация таралуына әсерін тигізуі мүмкін еді, бірақ егер жартылай ыдырайтын өлшенетін уақытылы қоспа жағдайында теңіз түбі бедерінің әсері кейбір жағдайда маңызды болатын еді. 100м терең суаттағы қоспаның қарастырылған дақ диффузиясында дақ ортасындағы қоспа концентрациясының құлау жылдамдығы терең теңіздегі диффузиясындағына қарағанда өте жылдам болды. Көлденең диффузия коэффициентінің мәнін көбейткішіне көбейту қоспаның диффузияланған дағының өте тез өсуіне әкеледі. Диффузия басталғаннан 10000 с өткеннен кейін дақтың графикпен берілген -да 700 м және =1-да 600м радиусы болды.

Түзу сызықты жағалау қасында теңіздегі қоспа диффузиясының санды есептелуі орындалды. Есептелудің ерекшелігі болып келесі табылды: ағыс жылдамдығының өрісі берілген жоқ, ал теңіз бойы желдің өрісі бойынша есептелді. Желде, сондай-ақ ағыста орнатылған деп, уақыт бойынша өзгермейтін деп есептелді. Диффузияланған қоспа сулар қозғалысына әсерін тигізбейді деп болжағандай, диффузия теңдеуі бөлек динамикалық есепте көлденең (жағалау шекарасына- осіне перпендикуляр) және тік жылдамдық бөлшектерінің алынған мәндерін пайдаланып шешілді. жағалау шекарасына параллель бағыттағы қоспа диффузиясы осы жағдайда ескерілмеді. Қоспа диффузиясының процесі станционарлы емес деп есептелді, бастапқы шарт ретінде қарастырылған облысының с концентрациясының нөлге теңдігі қабылданды. Суаттың бос беті мен түбі арқылы қоспа ағысы жоқ болды, жағалау шекарасындағы коцентрация вертикаль координатасымен белгілі функциясы есептелді, ал жағалауынан 50км қашықтықта нөлге тең деп есептелді. Тез күнделікті жақсы немесе керісінше, сызықты және «жұмыс істеп тұрған» ұзақ уақытқа жақын түріндегі қоспа көзін еліктеу үшін фунциясы мына түрде берілді /3/:


(12)
мұндағы, -коэффициенттер оларды түрлендіріп қоспа көзінің сипаттамасын өзгертуге болады.

Сандық есептеуде диффузия теңдеу прогонка әдісімен шешілетін ақырлы-айырымды ұқсастықпен ауыстырылды. Шекара шарттары дәлдіктің екінші тәртібімен апроксимацияланды. х осі бойы тор қадамы бір қалыпсыз болып алынды: м 100м қашықтықта жағалау шекарасынан, м тілімі үшін және зонасы үшін. Теңіздің 40м тереңдігінде тігінен қадам 1м-ге тең, ал уақыты бойынша қадам . Диффузия коэффициенттер мәні KZ=(0,1…1)2 және KХ=(103,…,104)2 шегінде таңдалды. Теңіздің жағалау теліміндегі зонадағы сулар айналымының әртүрлі типтерін шақыратын жел жағдайлар қатары қарастырылды. (х,z) жазықтығындағы қоспа концентрациясы таралуының бейнесі де маңызды өзгерді. Олар ластанудың әртүрлі «шырақтарын» құрды. Жинақталған желде қоспа көзінің орналасуы маңызды болып табылды. Қоспаны теңіздің бет қабатына төккенде ол жағалаудан үлкен қашықтыққа тез тарала бастады. Көз әрекеті басталуынан 24сағ. өткен соң (төгілген қоспа коцентрациясынан 1/1000 бөлігімен изосызық) жағалау шекарасынан 40км дейін қашықтықта табылды. Сол кезде, егер көзі 10м-ге тереңдетілсе, онда қоспа көлденеңнен таралған жоқ, ал сулардың күшті ластану зонасын құрап жағалауға «шығарылды».




Сурет. 1.5- Көздің тереңдік (б,г) және беткі (а,в) орналасуында жинақталған (а,в) және айдалған (в,г) желде тік жазықтықта қоспа коцентрациясы таралуын санды есептелу нәтижелері.

Ал айдалған желде бұл көрініс, әрине, өзгерді. Бетінде орналасқан көзінде қоспа тәулікте х осі бойы небәрі бірнеше километрге таралды, ал тереңдікке түскенде, керісінше, қоспаның едәуір коцентарциялары көзден үлкен қашықтықта табылуы мүмкін еді, әрине, судың беткі емес ал аралық қабатында. Қоспа коцентрациясының таралу көрінісі көрсетілген ширегінен жоғарыда диффузия коэффициенттер мәні түрленгенде өзгерді, бірақ бұл өзгерістер сапалы емес, сандық сипатта болды, өйткені ластану зоналардың негізгі үйлесімі теңіздің қарастырылатын жағалау зонасындағы ағыстар жылдамдығы өрісінің жел жағдайына өте қатты байланысы әсерімен қалыптасты.

Жылдамдық өрісі тік жабысқақтық мүшелері, Кориолис күші мен қысым градиенттерімен сулар қозғалысы теңдеулерінің оңайлатқан жүйесі шешмінен болады. Осы жүйе үшін теңіз бетінде шекаралық шарты ретінде желдің жанама үйкелуі, түбінде ағыстар жылдамдығының жоқтығы берілді. Сонымен бірге теңізге ағылуы есепке алынды.


Сурет. 1.6 - Солтүстік-батыс желде қоспа көздері әрекеті басталуынан кейінгі уақыттың әртүрлі аралықтары арқылы Волга және Орал өзендерінің саға телімдерінен диффузияланған қоспа коцентрациясының 0,1% изосызығының орналасуын сандық есептелуінің нәтижелері.

1-жел бағыты; 2-жел жылдамдығының изосызығы; 3-ағыстар бағыты; 4-қоспа коцентрациясының 0,1% изосызығы.

Диффузия теңдеуі үшін бастапқы шарт болып теңіз суларындағы қоспа концентрациясының жоқтығы себебін тигізді. Жағалау шегінің бөлек телімдерінде қоспа шығыны берілді, ал жағалаудың қалған ұзындығы бойы – ағыс жоқтығы немесе коцентрацияның белгілі мәні. Каспий теңізі үшін еептеулерге көлденең диффузия коэффициенті тең деп алынды. Диффузия теңдеуі уақыт бойынша бірінші ретті ақырлы-айырым формуласымен және кеңістік бойынша нақтылықтың екінші ретімен аппроксимацияланды. Солтүстік Каспий үшін акваторияда басым солтүстік – шығыс желдерінде және үздіксіз және тез әсерлі қоспа көздерінде есептеулер жүргізілді. 1сағ. пен 18тәулікке дейінгі диффузия уақыты үшін есептеулер нәтижелері 1.6 суретінде көрсетілген. Есептеулер нәтижелерінің талдауы негізінен адвективті факторлар әсерінен теңізде ластайтын қоспалар тасымалдауы өтетінін көрсетті. Бірақ, егер қоспаның нүктелі көзі ағыс жылдамдығы өрісінің көлденең құйын құрылымы зонасында орналасса, онда мұндай жағдайда ластану таралуына диффзиялы және адвективті мүшелерінің үлесі шаманың бір ретіне ие болады.

Қоспа концентрациясы өрісі көз әсері мен ұзақтылығына байланысты. Волга және Орал өзендері ағысын көзімізге елестетсек, жағалау шекарасы бойы бірнеше ұзартылған қоспа көздерімен концентрацияның изосызықтары ашық теңізіне қарай біраз уақыттан кейін «жылжиды». Көздер «қосылғаннан кейін» бір тәулік өткен соң ластанудың 0,1% коцентрациясымен изосызық 70км-ге дейін жағалау шегінен алшақтай бастайды. Диффузия уақыты әрі қарай көбейгенде ластану фронтының жүру t жылдамдығы тоқталады және көрініс t=15…20 тәулік мәнінде стационарланады. Ластану өрісінің осындай станционарлы таралуы сулар айналымының схемасына байланысты, яғни ақырынды теңіз бетіндегі жел өрісін қабылдағаннан. Белгілі кешігумен жел өрісін қайта құрғанда қоспа коцентрациясының өрісі де қайта құрылады. Теңізді таяз бөлігі үшін осындай қайта құру мезгілі коцентрация өрісінің стационарлау уақытының тәртібі болу керек, өйткені ағыс жылдамдығының өрісі релаксацияның аз уақытына ие.


Әдебиет


  1. Ефремов С.А, Кеонджян В.П, Леоненко О.И. Экологический мониторинг как задача численного моделирования. В книге: Океанографические аспекты охраны морей и океанов от химических загрязнений. Материалы Всесоюзного научного симпозиума. Одесса, 3-6 октября 1988. –М: Гидрометеоиздат, 1990, сс.57-63.

  2. Леоненко О.И. Моделирование распространения нефтяных углеводородов в Бургасском заливе. – В книге: Практическая экология морских регионов. Черное море. Под редакцией В.П.Кеонджяна,А. М. Кудина, Ю.В. Терехина. Киев: Наукова думка,1990,сс.133-136.

  3. Леоненко О.И, Зильберштейн О.И. Моделирование распространения нефтяных углеводородов в Бургасском заливе Черного моря. Труды ГОИНА, вып.197, 1991, сс. 149-155.

  4. Кузин В.И. метод конечных элементов в моделировании океанических процессов. Новосибирск: Из-во ВЦ СО АК СССР, 1985. 190с.

  5. Марчук Г.И., Дымников В.П., Залесный В.П. Математические модели в геофизической гидродинамике и численные методы их реализации. Л.: Гидрометеоиздат, 1987. 305с.

  6. Тамсалу Р. Э. Моделирование динамики и структуры вод Балтийского моря. Рига : Звайгэне, 1989. 152с.

  7. Бакирбаев Б., Данаев Н. Т. Математическое моделирование процессов изменения климата под влиянием естественных и антропогенных факторов. Алматы,Қазақ Университеті, 2002.324с.

Таразкий государственный университитет им. М.Х.Дулати, Тараз



ЧИСЛЕННЫЕ РАСЧЕТЫ КОНЦЕНТРАЦИИ ПРИМЕСИ ПО ПОЛУЭМПИРИЧЕСКОМУ УРАВНЕНИЮ ДИФФУЗИИ
Р.А.Бештаева

Н.М.Киялбеков


В работе приводится полуэмпирических и статических теорий турбулентной диффузии примесей, рассмотрены особенности процесса диффузии в стратифици-рованной по плотности среде. Описаны методы экспериментального исследования диффузии в океане и атмосфере.

NUMERICAL CALCULATIONS TO CONCENTRATIONS ADMIXTURE ON SEMITHEORETICAL EQUATION OF THE DIFFUSIONS
R.A. Beshtaeva

N.M.Kijalbekov


In work happens to semi theoretical and statistical theory to turbulent diffusion of the admixtures, is considered particularities of the process to diffusions in stratified on density to ambience. The Described methods of the experimental study to diffusions in ocean and atmosphere.
Каталог: rus -> all.doc -> Vest11 -> 2-2011
2-2011 -> Информатика, есептеу техникасы және басқару
2-2011 -> Туннельден шығатын су ағынының артық энергиясын бәсеңдету
2-2011 -> Автоматтандырылған 330, 430 кл машиналарының ине механизмінің синтезі
2-2011 -> Салықтық бақылауды дамыту мәселелері
2-2011 -> Мақта саласында рыноктық қатынастарға өту реформалары және рыноктың қалыптасуы
2-2011 -> Биология ғылымдары
2-2011 -> Гидротехника қҰрылыстары
2-2011 -> Туризм саласындағы ақпараттық технологиялар


Достарыңызбен бөлісу:


©kzref.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет