’ылымдар геоэкологические науки


Пространственная осесимметричная устойчивость вертикальной скважины в массиве, содержащем ослабленный слой



жүктеу 0.85 Mb.
бет2/6
Дата07.05.2019
өлшемі0.85 Mb.
1   2   3   4   5   6

2. Пространственная осесимметричная устойчивость вертикальной скважины в массиве, содержащем ослабленный слой


Исследуется устойчивость упругопластического равновесия вертикальной скважины в массиве, содержащем ослабленный слой. При этом используется аппарат теории устойчивости в механике горных пород, разработанный М.Т.Алимжановым /2,3/. Определяется такое значение плотности бурового раствора р=р (назовем его критическим), при котором наряду с плоскодеформированной осесимметричной могут существовать и другие формы упругопластического равновесия. Здесь процесс проявления горного давления, сопровождающийся изменением размеров поперечного сечения скважины, связывается с пространственной осесимметричной формой потери устойчивости равновесия пород приствольной зоны, т.е. с появлением наряду с радиальными перемещениями вертикальных перемещений и им соответствующих компонент напряжений (на рисунке 2).
Схема к расчету устойчивости вертикальной скважины в массиве, содержащем интервал с пониженными физико-механическими характеристиками


Рисунок 2

При потере устойчивости порода вокруг вертикальной скважины переходит в состояние пространственного осесимметричного равновесия, значит, мы имеем осесимметричную упругопластическую задачу (), решение которой зависит от переменных , z. Такое состояние соответствует случаю полной пластичности (), т.е. условие прочности (3) в главных напряжениях примет вид


(18)
Переходя к цилиндрическим координатам (), получим соотношения, эквивалентные условию (18):

(19)
Решение задачи ищется в виде где – компоненты возмущенного состояния (после потери устойчивости), - компоненты основного (исходного) состояния (до потери устойчивости), - компоненты возмущений. В цилиндрических координатах решение задачи запишется следующим образом:



Для определения компонент проводится линеаризация всех основных соотношений. Два близких равновесных состояния (до и после потери устойчивости) отличаются на величины первого порядка малости.

Уравнения равновесия в рассматриваемом осесимметричном случае линейны относительно компонент напряжений, поэтому они сохраняют свой вид:



(20)
Линеаризация условий прочности (2.2) дает
(21)
Линеаризация граничных условий (1) и условий сопряжения (13) сводится к перенесению их на некоторый простейший контур, например, на прямую или окружность. Если уравнение контура задано в виде (-характерный размер (радиус ствола)), то линеаризированные граничные условия (1) при будут иметь вид:
(22)
При потере устойчивости условия сопряжения напряжений и перемещений на границе ЗНД имеют вид:
(23)
Если уравнение границы ЗНД имеет вид то линеаризиро-ванные условия сопряжения напряжений и перемещений (23) примут вид:

(24)
Определим компоненты возмущений.

Для определения компонент напряжений возмущенного состояния в ЗНД следует ввести функцию напряжений в виде


(25)
Соотношения (20) и (21) дают два уравнения относительно функции напряжений Ф :
, (26)
Из первого уравнения следует, что искомое решение совпадает с исходным, т.е. все компоненты возмущений равны нулю. Второе уравнение может быть решено методом разделения переменных, его решение имеет вид:
(27)

Тогда компоненты возмущений напряжений в ЗНД принимают вид:





(28)
где – функции Бесселя и Неймана целого порядка, - показатель выпучивания, A1, A2 -постоянные интегрирования.

Определим компоненты возмущений для перемещений в ЗНД и . Из условия пластичности Кулона-Мора и соотношений деформационной теории с учетом того, что в ЗНД полные деформации приравниваются к пластическим, имеем систему дифференциальных уравнений относительно двух компонент перемещений и :



(29)
Линеаризируя (29), получим соотношения:

(30)
Согласно первому уравнению (30) (уравнению неразрывности) выберем некоторую разрешающую функцию следующим образом:
(31)
Подставляя (31) во второе уравнение (30), получим неоднородное дифференциальное уравнение относительно :
(32)
Интегрируя (32), получим его решение в виде:

(33)
Тогда компоненты возмущений в ЗНД запишутся следующим образом:




(34)
где – функции Бесселя и Неймана дробного порядка, , B1, B2 - постоянные интегрирования,




Отметим, что если порода приствольной зоны удовлетворяет условию несжимаемости, в выражении (34) цилиндрические функции Бесселя и Неймана являются функциями первого порядка - и .

Определим теперь компоненты возмущений для напряжений и перемещений в области упругих деформаций. Следуя работе /6/, возьмем компоненты возмущений в виде:






(35)

где





Здесь - функции Бесселя и Макдональда целого порядка, - постоянные интегрирования.

Поскольку компоненты возмущения и должны стремиться к нулю на бесконечности, то в соотношениях (2.18) следует положить

Тогда компоненты возмущений для напряжений и перемещений в области упругих деформаций окончательно примут вид





(36)
Представим деформированную поверхность скважины в пределах ослабленного слоя поверхностью вращения с образующей
(37)
Согласно (37), линеаризированные граничные условия запишутся следующим образом:

при (38)
Условия сопряжения на границе ЗНД (23) при линеаризации принимают вид
при (39)
Подставляя (28), (34), (32) в условия (38) и (39) на границе ЗНД , получим систему линейных алгебраических уравнений относительно А1, А2, В1, В2, С2, D2, которая при потере устойчивости равновесия пород приствольной зоны скважины имеет нетривиальное решение.

Приравняв определитель этой системы нулю, получим уравнение для определения безразмерного критического радиуса ЗНД :


. (40)
Уравнение (40) представляет собой определитель шестого порядка, который в случае нетривиального решения записывается в виде трансцендентного уравнения относительно радиуса . Выпишем выражения элементов определителя:
























Величина представляет собой наибольший радиус ЗНД, при котором скважина сохраняет устойчивость осесимметричного упругопластического равновесия.

Согласно (2.23) есть функция показателя выпучивания : . Отметим, что ранее при исследовании устойчивости вертикального ствола показатель  определялся исходя из минимума функции (наименьшего корня, большего единицы) /1,2,7/. В данном случае показатель находится из дополнительных граничных условий для ослабленного слоя (рисунок 2)


. (41)
Первое из условий (41) обращает выражение в тождество. Второе условие (41) приводит к рассмотрению двух случаев:

1) 2) .


В первом случае и не происходит потери устойчивости равновесия вертикальной скважины, т.е. скважина пребывает в основном (невозмущенном) состоянии. Во втором случае показатель выпучивания определяется по формуле:
(42)
Показатель выпучивания  в (42) зависит от двух параметров – толщины ослабленного слоя l и параметра волнообразования n, т.е. .

При n = 0 скважина остается в основном (невозмущенном) состоянии: .

При n =1 получаем наименьшее значение показателя 1:
(43)
Значение 1 соответствует форме выпучивания скважины в виде синусоиды с одной полуволной:

Следующим (бо΄льшим) значениям показателя выпучивания 2 , 3 , 4 , …n соответствуют формы выпучивания скважины с двумя, тремя, четырьмя или несколькими полуволнами синусоиды, которые получаются в том случае, когда первая форма выпучивания почему-либо невозможна, например, из-за наличия в ослабленном слое промежуточных связей. Практический интерес представляет первая форма выпучивания с наименьшим показателем 1. В дальнейшем рассматривается этот случай.

Параметр l также влияет на форму выпучивания скважины. Согласно (43) большему параметру l соответствует меньший показатель выпучивания 1.





  1. Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6


©kzref.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет