Исследовательская работа А. Н. Колмогоров и его ученики.



жүктеу 224 Kb.
Дата26.11.2017
өлшемі224 Kb.
түріИсследовательская работа

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Головинская СОШ»



Исследовательская работа

А.Н.Колмогоров и его ученики.

Выполнила

Налимова София

Ученица 10 класса.

Учитель математики:

Савельева Л. И.

Головино. 2013 г.

Содержание.


  1. Введение

- Актуальность темы……………………………3-5

- Цели и задачи работы…………………………….5

- Методы работы…………………………...........5-6


  1. Основная часть

-Путь в науку……………………………......................6-7

-Ученики А.Н.Колмогорова………………………….7-16

-Отношения между Учителем и учениками..................16-17

- Ученики, как учитель……………………………17-18

-Колмогоров – уникальная личность………………….18-19

- Мнение А.Н.Колмогорова о человечестве……………..18

III. Заключение………………………………………….19


  1. Список литературы………………………….

  2. Приложения……………………………………….



  1. Введение.

    1. Актуальность темы.

12(25) апреля 2013 года исполняется 110 лет со дня рождения Андрея Николаевича Колмогорова, выдающегося русского математика, доктора физико-математических наук, профессора МГУ (с 1931г), академика Академии Наук СССР (с 1939г).

Этот гениальный ученый является одним из основоположников современной теории вероятностей, человеком, который получил также фундаментальные результаты в тонологии, математической логике, теории турбулентности и ряде других областей математики и ее приложений. Андрей Николаевич по праву считается одним из выдающихся математиков XX столетия, он был принят авторитетными мировыми сообществами ученых. Андрей Николаевич Колмогоров являлся членом Национальной Академии Наук США и американской Академии искусств и наук, членом Нидерландской Королевской Академии наук и Финляндской Академии наук, членом Академии Наук Франции и Германской академии естествоиспытателей «Леопольдина». Он был также членом Международной Академии истории наук и национальных академий Румынии, Венгрии и Польши, почетным членом Королевского статистического общества Великобритании, иностранным членом Американского философского и Американского метеорологического общества и т.д. Андрей Николаевич имел самые почетные научные премии: П.Л.Чебышева и Н.И.Лобачевского АН СССР, международную премию Бальцана и фонда Вольфа, 7 орденов Ленина, медаль «Золотая звезда», Героя социалистического труда и другие награды, а сам себя называл всегда просто профессор Московского университета.

«Колмогоров дарил окружающим его людям ни с чем несравнимое, почти физическое ощущение непосредственного соприкосновения с гением»,- утверждал В.А.Успенский, « и в то же время он исключительно уважительно относился к личности студентов, всегда ожидал услышать от них что- то новое, неожиданное».

Отношения А.Н.Колмогорова со своими учениками заинтересовали меня, тем более, что число людей, считающих его своими учениками, так до конца и не установлено. Тема моего исследования является в настоящее время особенно актуальной, потому что сегодня человечество интересует не только конкретный вклад в науку того или иного ученого, но в большей степени его нравственные качества, его отношение к людям.

Объектом моего исследования стали отношения А.Н.Колмогорова и его учеников.

Предмет исследования: личности А.Н.Колмогорова и его учеников.


    1. Цели исследования:

Проследить как складываются отношения Андрея Николаевича и его учеников, какие личностные качества привлекают к нему учеников.

Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:

- изучить биографию А.Н.Колмогорова;

- ознакомиться со списком его учеников;

- выбрать нескольких и рассмотреть их взаимоотношения с Учителем, с
- восстановить воспоминания об А.Н.Колмогорова его учеников, проанализировать собранный материал, исходя из поставленных целей;

- оформить полученный материал в виде презентации.



1.3. Методы работы.

Поставленные цели и задачи предполагают такие методы исследования как:

- изучение литературы по данной теме;

- анализ текстов;

- сравнение и сопоставление;

- обобщение.

1.2эПуть в науку.

Широта интересов и занятий А.Н.Колмогорова имеет мало аналогов 20-м веке. Первые свои исследования он выполнил еще будучи студентом. Они велись с ноября 1920 по январь 1922года и были посвящены истории Новгорода. По авторитетному свидетельству В.Л. Янина эти исследования Колмогорова опередили не только историческую науку 20-х годов, но и современную нам историческую науку. Но самое сильное влияние оказал А.Н.Колмогоров на математику. Первую свою знаменитую работу – пример ряда Фурье суммируемой функции он выполнил в 19 лет. За труды по теории вероятностей, опубликованные в 1936 -1938годах , он вместе со своим учеником В. И. Арнольдом ухе получил Государственную премию первой степени. Помимо математики ему принадлежат классические достижения не менее , чем в двух десятках областей. Исследователи жизни и деятельности Колмогорова утверждают, что в какой – то момент своей жизни он решил, что человек просто обязан быть счастлив и для этого ему нужно то-то и то-то. При этом необходимо, чтобы все виды деятельности , которые выбирает себе человек , его по-настоящему увлекали. И ему удалось построить так свою собственную жизнь. В дневнике, который вел Колмогоров, есть интересная страничка под названием «Конкретный план того, как сделаться великим человеком, если на это хватит охоты и усердия». Этот факт еще раз подчеркивает, что Колмогоров был наредкость целеустремленной личностью.



    1. Ученики А.Н.Колмогорова.

Изучая биографию Андрея Николаевича, я нашла список его учеников. Их было много. В 1963 году к 60- летию А.Н.Колмогорова на его кафедре теории вероятностей в МГУ была нарисована огромная «архимедова спираль» из его учеников: сам Колмогоров составлял ядро, а ученики образовали, тело спирали.

Фамилии учеников все добавлялись и добавлялись в спираль, у учеников появлялись свои ученики, которые косвенно также считали себя учениками Андрея Николаевича, и не было видно конца этому процессу. Я представила в своей работе лишь часть имен из этой спирали.


Академики и члены-корреспонденты


  • Арнольд, Владимир Игоревич

  • Большев, Логин Николаевич

  • Боровков, Александр Алексеевич

  • Витушкин, Анатолий Георгиевич

  • Гельфанд, Израиль Моисеевич

  • Мальцев, Анатолий Иванович

  • Миллионщиков, Михаил Дмитриевич

  • Михалевич, Владимир Сергеевич

  • Монин, Андрей Сергеевич

  • Никольский, Сергей Михайлович

  • Обухов, Александр Михайлович

  • Прохоров, Юрий Васильевич

  • Севастьянов, Борис Александрович

  • Синай, Яков Григорьевич

  • Ширяев, Альберт Николаевич

  • Гнеденко, Борис Владимирович (академик АН УССР)

  • Статулявичюс, Витаутас Антонович (академик АН Литвы)

  • Сираждинов, Сагды Хасанович (академик АН УзССР)

  • Абрамов, Александр Михайлович (член-корреспондент РАО)

Доктора и кандидаты физико-математических наук


  • Алексеев, Владимир Михайлович

  • Асарин, Евгений Александрович

  • Бавли, Григорий Минкелевич

  • Баренблатт, Григорий Исаакович

  • Баркалая, Акакий Константинович

  • Бассалыго, Леонид Александрович

  • Беляев, Юрий Константинович

  • Булинский, Александр Вадимович

  • Васильков, Дмитрий Алексеевич

  • Вашакидзе, Дареджана Ражденовна

  • Верченко, Иван Яковлевич

  • Винокуров, Владимир Григорьевич

  • Вовк, Владимир Григорьевич

  • Гальперин, Григорий Александрович

  • Дмитриев Николай Александрович

  • Добрушин, Роланд Львович

  • Дынкин, Евгений Борисович

  • Ерохин, Владислав Дмитриевич

  • Журбенко, Игорь Георгиевич

  • Золотарёв, Владимир Михайлович

  • Ивашев-Мусатов, Олег Сергеевич

  • Козлов, Василий Васильевич

  • Козлов, Михаил Васильевич

  • Козуляев Петр Алексеевич

  • Кондурарь, Владимир Трифонович

  • Левин, Леонид Анатольевич

  • Мартынов, Анатолий Васильевич

  • Матвеев, Ростислав Федорович

  • Медведев, Юрий Тихонович

  • Мешалкин, Лев Дмитриевич

  • Офман, Юрий Петрович

  • Очан, Юрий Семёнович

  • Петров, Алексей Аркадьевич

  • Пинскер, Марк Семенович

  • Прохоров, Александр Владимирович

  • Розанов, Юрий Анатольевич

  • Рыкова, Любовь Викторовна

  • Скороход, Анатолий Владимирович

  • Тихомиров, Владимир Михайлович

  • Тюрин, Юрий Николаевич

  • Успенский, Владимир Андреевич

  • Фаге, Михаил Константинович

  • Фомин, Сергей Васильевич

  • Хазен, Элида Моисеевна

  • Шилов, Георгий Евгеньевич

  • Шмидов, Федор Исаакович

  • Юшкевич, Александр Адольфович

  • Яглом, Акива Моисеевич

«Косвенные» ученики


  • Гончар, Андрей Александрович

  • Ибрагимов, Ильдар Абдуллович

  • Карацуба, Анатолий Алексеевич

  • Ченцов, Николай Николаевич

Среди такого множества учеников я выбрала нескольких и исследовала их взаимоотношения с Учителем.

    1. Отношения между Учителем и учениками.

Владимир Михайлович Алексеев (17 июня 1932(19320617), поселок Быково Московской области — 1 декабря 1980, Москва) — советский математик.

Отец — Михаил Владимирович Алексеев, музыкант, мать — Мария Ивановна (урождённая Сергеева), происходила из крестьянской семьи.

В 1950 году стал победителем XV московской математической олимпиады, в том же году становится студентом механико-математического факультета Московского государственного университета. С 1953 года он начинает работать под руководством А. Н. Колмогорова. В 1955 году окончил МГУ, в 1959 году защитил кандидатскую диссертацию «Некоторые качественные результаты в задаче трёх и многих тел», в 1969 году защитил докторскую диссертацию «Квазислучайные динамические системы», в которой были подведены итоги предыдущей работы.

Научная деятельность

Основные работы посвящены теории динамических систем, проблеме финальных движений в задаче трех тел, символической динамике.

В работах было окончательно опровергнуто утверждение Шази о невозможности захвата и обмена в теории финальных движений.

Около двадцати лет совместно с Я. Г. Синаем руководил научным семинаром по теории динамических систем. Этот семинар сыграл выдающуюся роль в развитии этого раздела математики. С В. А. Егоровым руководил семинаром по небесной механике, с М. И. Зеликиным и В. М. Тихомировым вел семинар по теории экстремальных задач.

Известен также как лектор и педагог, автор совместно с В. М. Тихомировым и С. В. Фоминым монографии «Оптимальное управление» (М., Наука, 1979).

Офман Юрий Петрович (англ. Yuri Petrovich Ofman) Российский математик, работавший в области теории сложности вычислений, получил степень доктора физико-математических наук в Московском государственном университете под руководством Колмогорова Андрея Николаевича.

Соавтор Карацубы Анатолия Алексеевича, одного из важнейших деятелей в области теории сложности компьютерных вычислений, разработавшего метод быстрого умножения, который позволяет перемножать два n-значных числа со сложностью вычисления .

Проделал важную работу в области параллельных алгоритмов применяемых в сумматорах.

Сергей Васильевич Фомин (9 декабря 1917(19171209), Москва — 17 августа 1975, Владивосток) — советский математик.

Поступил в Московский государственный университет (МГУ) в возрасте 16 лет. Несмотря на малый возраст, стал студентом. Первая научная работа была по абстрактной алгебре. В возрасте 19 лет доказал некоторые новые результаты в теории бесконечных абелевых групп, которые были изданы в его первой статье.

В 1939 окончил МГУ и начал работать в МГУ под руководством А. Н. Колмогорова. Нашёл более простое доказательство необходимых и достаточных условий компактности для хаусдорфовых пространств, что явилось предметом его второй статьи.

Защитил кандидатскую диссертацию в Математическом институте им. В. А. Стеклова (1942). После окончания войны С. В. Фомин вернулся в МГУ, где защитил докторскую диссертацию в 1951 году, в 1953 году стал профессором.

В 1964 году стал профессором кафедры теории функций и функционального анализа, а в 1966 году — профессором на кафедре общих проблем управления (фактическим организатором и руководителем которой он выступал) мехмата МГУ.

Анатолий Алексеевич Карацуба (31 января 1937, Грозный — 28 сентября 2008, Москва) — Советский и Российский математик. Создатель первого быстрого метода умножения больших чисел[1][2] (Умножение Карацубы).

Работа вместе с учителем.

Быстрые алгоритмы — это область вычислительной математики, которая изучает алгоритмы вычисления заданной функции с заданной точностью с использованием как можно меньшего числа битовых операций. Будем считать, что числа записаны в двоичной системе счисления, знаки которой 0 и 1 называются битами. Одна битовая операция определяется как запись знаков 0, 1, плюс, минус, скобка; сложение, вычитание и умножение двух битов. Первые постановки задач о битовой сложности вычисления принадлежат А. Н. Колмогорову. Сложность умножения определяется как количество битовых операций, достаточное для вычисления произведения двухзначных чисел посредством данного алгоритма.

Перемножая два n-значных числа обычным школьным способом «в столбик», мы имеем оценку сверху . В 1956 году А. Н. Колмогоров высказал гипотезу, что нижняя оценка при любом методе умножения есть также величина порядка , то есть нельзя вычислить произведение двух n-значных чисел быстрее, чем за операций (так называемая «гипотеза »). На правдоподобность гипотезы указывал тот факт, что за всё время существования математики к тому моменту люди производили умножение со сложностью порядка , и если бы был более быстрый метод умножения, то он, вероятно, уже был бы найден.

В 1960 году на механико-математическом факультете МГУ начал работать семинар по математическим вопросам кибернетики под руководством А. Н. Колмогорова, где была сформулирована «гипотеза » и поставлен ряд задач об оценке сложности других подобных вычислений. Анатолий Карацуба, надеясь получить нижнюю оценку величины , нашёл новый метод умножения двух n-значных чисел, известный теперь как умножение Карацубы, с оценкой сложности

и тем самым опровергнув гипотезу , о чём сообщил Колмогорову после очередного заседания семинара. На следующем заседании семинара этот метод был рассказан самим Колмогоровым, и семинар прекратил свою работу.[5] Первая статья с описанием умножения Карацубы была подготовлена самим Колмогоровым, где он представил два разных и несвязанных друг с другом результата двух своих учеников.[6] Хотя в статье Колмогоров чётко отметил, что одна теорема (не связанная с быстрым умножением) принадлежит Ю. Офману, а другая теорема (с первым в истории быстрым умножением) — А. Карацубе, эта публикация двух авторов надолго сбила с толку читателей, которые полагали, что оба автора внесли вклад в создание метода быстрого умножения, и даже называли этот метод двумя именами. Метод Карацубы впоследствии был обобщён до парадигмы «разделяй и властвуй», другими важными примерами которой являются метод двоичного разбиения (англ.), двоичный поиск, метод бисекции и др.

Впоследствии на основе этой идеи А. Карацубы были построено множество быстрых алгоритмов, самыми известными из которых являются его непосредственные обобщения, такие как метод умножения Шёнхаге-Штрассена[9], метод матричного умножения Штрассена[10] и быстрое преобразование Фурье.

Французский математик и философ Жан-Поль Делайе назвал метод умножения Карацубы «одним из самых полезных результатов математики».

Алгоритм Анатолия Карацубы внедрён практически во все современные компьютеры не только на программном, но и на аппаратном уровне.

Смирнов Николай Васильевич (4 (17) апреля 1900, Москва — 2 июня 1966, Москва) — советский математик ХХ века, член-корреспондент АН СССР (1960).

Совместно с Колмогоровым разработал тест Смирнова-Колмогорова, иначе - критерий согласия Колмогорова.

Андрей Николаевич, уже декан МГУ, говорил, что ему везло на талантливых учеников. Многие из них, начав работать в той же области, что и Колмогоров, потом переходили на другие направления деятельности, на новую тематику и уже совершенно независимо от него получали хорошие результаты, другие продолжали трудиться с ним рука об руку, а третьи просто свернули в сторону от математики «вроде бы далеки от нее», но все эти люди продолжали считать себя учениками А.Н.Колмогорова.

Мне удалось выяснить, что исследователи жизни и деятельности Андрея Николаевича стали разделять его учеников на «настоящих», «косвенных», «мнимых».



«Настоящие» ученики состоялись в науке, как и их учитель, они зажигались яркими звездами на небосклоне математики. Весь ученый мир знает имена Арнольда, Гельфонд, Прохорова, Ширяева и множество других.

  • Вот что они говорят о своем учителе: «Андрей Николаевич с самого начала считал, что в образовании должна быть свобода. Не та свобода, когда «что хочу, то и ворочу», а сам принцип свободы, согласно которому каждый человек должен получить то образование, к которому склонен. Надо помочь человеку осуществить свои возможности. Колмогоров считал, что свобода в образовании предполагает организацию специальных школ, в которые нужен отбор творческих личностей по всей нашей огромной стране. Ибо он был уверен, что дары, таланты распределены равномерно между всеми народами и социальными группами. Дары распределены равномерно, нужно только увидеть, в чем они». Он относился к ним, как к личностям, вот что по этому поводу говорит один из его учеников: «В первую очередь отношение к ученикам как к равноправным творческим личностям. Многие математики того времени, начиная работать с учеником, заранее продумывали развитие темы диссертации, которую ему предлагали, и потом маленькими порциями раскрывали ее перед учеником, подсказывали, когда тот затруднялся. А Андрей Николаевич никогда так не поступал. Он был сеятель. Представьте себе такую живописную картинку: сеятель с огромным коробом, полным идей, и он их щедро разбрасывает. Число фундаментальнейших идей, которые Колмогоров мимоходом обронил на семинарах, во время прогулок, застольных бесед и так далее, не поддается никакой оценке».- Говорил Владимир Игоревич Арнольд.

  • «Косвенные» ученики либо достаточно тесно общались с Колмогоровым, но выбирали не математическое направление деятельности, либо уже занимались другим видом деятельности, но под обаянием Андрея Николаевича увлеклись математическими методами исследований в различных областях знаний.

  • Примером тому может служить Ивашев - Мусатов, Олег Сергеевич.

  • Окончил Московскую художественную школу и собирался стать профессиональным художником. В 1940 году принял участие в художественных выставках МАХЛи. Однако в 1946 году под влиянием Андрея Николаевича поступил на механико-математический факультет МГУ, который закончил в 1951 году. В 1956 году защитил кандидатскую диссертацию. С 1957 года преподаёт на механико-математическом факультете, по состоянию на 2012 год — доцент кафедры математического анализа.

  • В 1958—1969 годах преподавал также на химическом и геологическом факультетах, в 1970—1993 годах — на географическом и биологическом факультетах. С 1998 года преподаёт на факультете фундаментальной медицины, член учёного совета факультета, с 1966 года также читает лекции для учителей математики средних школ в Москве и других городах, являясь народным просветителем, как и Колмогоров.

  • Ученики, как и их учитель, были разносторонними людьми, людьми увлеченными своим делом.

Мое внимание особо привлек Владимир Андреевич Успенский - российский математик, лингвист, публицист, доктор физико-математических наук (1964), профессор. Автор работ по математической логике, лингвистике, а также художественных произведений в жанре мемуарной прозы. Инициатор реформы лингвистического образования в России.

Окончил механико-математический факультет МГУ (1952), ученик А. Н. Колмогорова. Зав. кафедрой математической логики и теории алгоритмов механико-математического факультета МГУ (1995). Один из организаторов Отделения структурной лингвистики (ныне - Отделение теоретической и прикладной лингвистики) филологического факультета МГУ, где также преподаёт.

Автор многих книг и свыше 100 научных работ. Подготовил 25 кандидатов и 4 докторов наук.

За книгу «Апология математики» В. А. Успенский получил главный приз премии «Просветитель»-2010 в области естественных и точных наук .В 1964году он выступил организатором и руководителем кафедры общих проблем управления.



Заслуженный профессор Московского университета (1998).

  • Исследуя жизнь и деятельность А.Н.Колмогорова и его учеников, я обнаружила, что большинство из них известны так же как талантливые педагоги.

  • Ученики, как учитель.

  • А.Н.Колмогоров основал на факультете две кафедры. В 1935 году им была основана кафедра теории вероятностей, и Андрей Николаевич стал ее первым заведующим (ныне кафедру возглавляет ученик А.Н.Колмогорова, профессор, чл.-корр. РАН А.Н.Ширяев). Затем при кафедре открылись две лаборатории, одну из которых, а именно лабораторию теории вероятностей и статистических методов некоторое время также возглавлял сам Андрей Николаевич, а затем его ученик проф. Ю.К.Беляев.

  • В 1976 г. Андрей Николаевич создает и вновь сам возглавляет еще одну кафедру - математической статистики и теории случайных процессов. Сейчас ей руководит также ученик Андрея Николаевича проф. Ю.А.Розанов. В самые последние годы жизни А.Н.Колмогоров заведовал кафедрой математической логики и теории алгоритмов. В настоящее время ее возглавляет еще один ученик Андрея Николаевича - профессор В.А.Успенский. И, наконец, ученик Колмогорова проф. В.М.Тихомиров стоит во главе кафедры общих проблем управления.

  • Что же роднило их с Андреем Николаевичем, почему они нашли друг друга?

  • Сам Колмогоров ответил бы так: «Вы не должны иметь обо мне представление, как о человеке. который знает только математику, я принадлежу к тем людям, кто имеет собственное мнение более или менее по любому вопросу».

  • А его ученики выразились бы устами профессора В.М. Тихомирова: «Андрей Николаевич принадлежал к числу тех несравнимых гениев, которые украшают жизнь уже самим фактом своего существования. Одно лишь сознание того, что где-то на Земле бьется сердце человека, наделенного столь совершенным разумом и бескорыстной душой, окрыляло, дарило радость, давало силы жить, уберегало от дурных поступков и вдохновляло на благие дела».



  • Колмогоров – уникальная личность.

  • А.Н.Колмогоров обладал безграничным кругозором в философии, экономике, олитикее, географии, в вопросах, связанных с искусством т литературой, и при этом он был очень самобытным, почти непредсказуемым.

  • Он спас многих сейчас известных математиков от исключения из университета, утверждая, что талантливым людям надо прощать их талантливость. Андрей Николаевич умел вселить в студентов уверенность в своих силах, мог ненавязчиво подкинуть идею, подтолкнуть ученика на самостоятельную работу над какой- либо новой проблемой и создавал такую обстановку, будто ученик до всего додумывался сам.

  • «Искусство ценить в учениках сильные стороны — этим даром Андрей Николаевич был наделен в высшей мере».- Таково мнение о своем учителе «мнимых» учеников.

  • Колмогоров всегда был в окружении молодых, его никогда не приходилось упрашивать выступить на студенческом диспуте, встретиться со школьниками на вечере.

  • Его любили, к нему прислушивались.

  • Привлекала простота, духовная щедрость, способность одновременно делать сразу множество дел: руководство университетской лабораторией статистических методов исследования и заботы о физико-математической школе - интернате, дела московского математического общества и работа в журналах (для школьников «Квант» и для учителей «Математика в школе»), научная и преподавательская деятельность и подготовка статей, брошюр, книг, учебников.

  • Мнение А.Н.Колмогорова о человечестве.

Однажды Колмогоров рассказал одному из учеников, что представляет человечество в виде блуждающих в тумане огней, которые лишь смутно чувствуют свет, рассеиваемый другими, но и он сам и его ученики были настоящими Учителями, великими Просветителями, которые привлекали к себе людей, освещали их жизнь.

  • Ученики Колмогорова имеют уже своих учеников, которые дарят возможность совершать открытие, делятся щедростью человеческого общения, передают Колмогоровскую любовь к природе, музыке, литературе, а главное веру в человека.



  • \\



  1. Заключение.

Теперь, по прошествии длительного промежутка времени, мы можем полнее оценить гениальность А.Н.Колмогорова, в достижениях русских математиков XX века.

Только современные математические методы позволяют людям решать важные технические задачи и внедрять автоматику в производство. Мое внимание привлекли слова А.Н.Колмогорова, определяющие место математики в современном научном процессе: «Мне хочется подчеркнуть законность и достоинство позиции математика, понимающего место и роль своей науке в развитии естественных наук, техники, да и всей человеческой культуры, но спокойно продолжающего развивать «чистую математику».



Как говорили его ученики: «У него был дар преподавания». Андрей Николаевич оказывал на своих учеников очень сильное влияние, один из них даже выразил свое отношение к Учителю как « паническое уважение «.Теперь мы можем лучше понять масштабы личности Андрея Николаевича, оценить его демократизм, глубину педагогического мышления, силу духа одного из величайших людей планеты, который в жизни своей всегда руководствовался термином; «Истина – главное.

Достарыңызбен бөлісу:


©kzref.org 2017
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет