Кері тригонометриялық функция және интеграл



жүктеу 63.41 Kb.
Дата24.11.2017
өлшемі63.41 Kb.

КЕРІ ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ФУНКЦИЯ ЖӘНЕ ИНТЕГРАЛ


Кері тригонометриялық функцияларды -шектерінің бірі айнымалы анықталған (меншіксіз) интеграл арқылы енгізіп, ол функциялардың барлық қасиеттерін, негізгі тепе-теңдікті тек қана интегралдың қасиеттерінен толық шығарып алуға болатындығы белгілі [1]. Осы тақырыпты ары қарай жалғастырып функцияларында сол тұрғыдан енгізіп, негізгі қасиеттерінің дәлелдеулерін келтіріп, соңында кері тригонометриялық функциялармен байланысты бірнеше есептердің шешімдерін береміз. Жалпы айта кету керек, ондай есептер әдетте оқушыларға жеткілікті дәрежеде қиындықтар туғызады. Себебі, негізгі оқулықтар мен оқу құралдарында кері тригонометриялық функциялармен байланысты есептерге жеткілікті түрде көңіл бөлмейді, тура тригонометриялық функцияларға кері ретінде енгізіп, бірнеше қарапайым мысалдар мен араларындағы қатынастарды келтірумен шектеледі.

Айта кетейік, біз келтірген әдіс кері тригонометриялық функцияларды енгізудің бір нұсқасы, бұрыннан белгілі тәсілдердің бірі болып, функциялардың табиғатын тереңірек түсінуге жол салатыны анық.





болғанда (анықтамалардың геометриялық мағынасы 1суретте көрсетілген).


X

Келтірілген анықтамалармен теңдігінен негізгі қатынастардың бірі шығатынын көреміз. Бұдан тек қана функциясын зерттесек жеткілікті болатынын көреміз.



  1. интегралының бар болуынан функциясының анықталу облысы болып [-1;1] сегменті табылатынын көреміз.

  2. Үзіліссіздігі. Анықталу облысының ішкі нүктелерінде қисық сызықты трапецияның ауданының үзіліссіз болатындығынан , ал ұштарында интегралдың бар болуынан шығады.

  3. Тақ, жұптығы. Егер жұп функцияның графигі координаталар бас нүктесінен өтетін болса, оның алғашқы функциясы тақ екендігі жалпы теориядан белгілі. Біздің жағдайда екі шарт та орындалып тұр, сондықтан тақ функция.

  4. Монотондылығы. немесе (0,1) аралықта геометриялық мағынасы аудан болғандықтан, аргумент - өскенде ол да өскендіктен өспелі функция, ал өсетіндігі тақ екендігінен, тұтас [-1;1] анықталу облысында монотондылығы тің үзіліссіздігінен шығады.

  5. Функцияның нөлі. болса интегралдың қасиетінен, ал қатаң монотондылығынан тің басқа нөлдерінің болмайтынын көреміз.

  6. Функцияның таңбалары. болса тек оң, ал тек теріс мәндерге ие болатындығы 4-5 қасиеттерден шығады.

  7. Дөңес, ойыстығы. болғандықтан => [0;1] аралықта ойыс, ал => [-1;0] сегментінде дөңес, олай болса - функциясының графигінің иілу нүктесі болып табылатынын көреміз.

[-1;1] кесіндісінде функцияның үзіліссіздігі мен монотондылығынан тің мәндерінің жиыны кесіндісі болып табылады.

Ал функциясын төмендегідей анықтауға болады. Синустың негізгі тармағы деп кері функцияны атаймызда, пайда болған қисықты түзуіне қарағанда симметриялы бейнелейміз де, бүкіл сан осіне периодты жалғастырамыз. Осыған ұқсас функциясыда енгізіледі, тек ғана негізгі тармақты Оу осіне қарағанда симметриялы бейнелеп периодты жалғастырсақ (созсақ) жеткілікті.

Тригонометрия курсындағы негізгі қатынас бірлік шеңбердің координаталары екенін ескерсек теңдеуінен бірден шығатынын көреміз.

Енді функцияларымен байланысты мысалдарға тоқталайық.

1 мысал.

Шешуі.

дәлелдеген қатынастан I тамаша шек шығатыны көрініп тұр.

Кері тригонометриялық функциялар арқылы пайда болған теңдеулерді шешкенде негізгі тәсілдердің бірі – қатынастың екі жағынан қандай да бір тригонометриялық функцияларды табу болып табылады( функциялар монотондық аралықта жатса болғаны).


2 мысал.

Шешуі: деп жазып, келтіру формуласын ескеріп екі жағынан синусты тапсақ болғандықтан сол себепті яғни

Пайда болған түбірлердің әрқайсысын жеке-жеке зерттейміз:

.

.

Нәтижесінде тек ғана біріншісі шешім болатынын көреміз.

Жауабы: х=0.

3 мысал.

Шешуі: Кері тригонометриялық функцияның анықтамасынан енді

анықтайық, басқаша айтқанда, егер болса, неге тең?

. Пайда болған x- тің екі мәнінен болғандықтан түбір бола алмайтынын көреміз.

Жауабы: .

4 мысал. Параметр а- ның қандай мәндерінде теңдеуінің шешімінің бар болатынын анықтайық.

Шешуі: Берілген теңдеуден , ал болғандықтан , яғни болатыны шығады. Ал екінші жағынан, тың анықтамасынан , сол себепті теңдеу <=> орынды, егер немесе , олай болса берілген теңдеуден , яғни болатынын, ең соңында аламыз.

Жауабы: параметр болған жағдайда ғана берілген теңдеудің шешімі бар.

Енді стандартты емес әдіс арқылы шығатын бір теңдеуге тоқталайық.

5-мысал.

Шешуі: Берілген теңдеуді түрінде жазып алып, екі жағынан да косинусын табайық. Екі бөлігіндегі бұрыштар –де жататындықтан (косинустың қатаң монотондық аралығы болғандықтан), косинусты алғаннан бөгде түбірлер пайда болмайды, сонымен, . Осы теңдеуді шешу үшін тригонометриялық ауыстырманы қолданамыз.



немесе Бұлардың ішінде сегментінде тек қана немесе шешімдері жатады. Енді берілген теңдеуге қойып, тексеру жүргізейік.





  1. +

мен берілген теңдеуді қанағаттандыратынын көрдік.

Жауабы: ; .

Сонымен, кері тригонометриялық мектеп курсынан өзгеше жолмен енгізіп, барлық қасиеттерін аналитикалық жолмен толық шығарып алатын тәсілдің бар екенін көрдік, әдебиеттер тізімінде көрсетілген [1] мақалада басқа да әдістердің бар екеніне тоқталғанбыз (жинақты дәрежелік қатардың қосындысы, функционалдық теңдеулердің үзіліссіз функциялар класындағы шешімі т.с.с ). Кері тригонометриялық функциялармен байланысты теңсіздіктерге өзіндік ерекшеліктері бар болғандықтан келешекте жеке-дара тоқталамыз.

Әдебиеттер.




  1. Серікболқызы Н, Апышев О.Д. Интеграл және тригонометриялық функциялар. «Ғылым мен бизнестің кооперациясы: мәселелері мен болашағы» атты жас ғалымдар мен студенттердің ІІІ Республикалық ғылыми-тәжірибелік конференция. 2013, 3-5 сәуір. Өскемен. С. Аманжолов атындағы ШҚМУ баспасы, 1 бөлім, 105-109 б.

  2. Черкасов О.Ю, Якушев А.Г, Математика М. Изд.МГУ им М.В.Ломоносова, 1994, 253с.

  3. Васильева В.А и др.Методическое пособие математике для поступающих в вузы. М.Изд. МАИ, 1992, 304c.


Достарыңызбен бөлісу:


©kzref.org 2017
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет