Кинематика



жүктеу 0.52 Mb.
бет1/5
Дата09.06.2018
өлшемі0.52 Mb.
түріКонспект
  1   2   3   4   5

МЕХАНИКА

Конспекты для учащихся 9 физико-математического класса.


Основные понятия


  • раздел механики, изучающий движение тел без учета причин, вызывающих это движение.


Основная задача кинематики состоит в том, чтобы определить положение тела в пространстве и его скорость в любой момент времени.
В своей повседневной жизни мы наблюдаем движение различных тел При этом говоря о движении того или иного тела мы подразумеваем что данное тело как-то перемещается по отношению к телам его окружающим
Механическое движение - это изменение положения тела по отношению к другим телам с течением времени.
Для определения положения тела в любой момент времени необходимо задать систему отсчета, в которой рассматривается движение этого тела т.е.
1.Выбрать тело по отношению, к которому рассматривается движение - тело отсчета.
2.Связать с телом отсчета систему координат для возможности определения положения тела.
3.Выбрать начало отсчета времени (часы).
Механическое движение любого тела происходит с течением времени и поэтому в систему отсчета включен прибор для измерения промежутков времени (часы) Определение положения тела оказывается возможным посредством использования системы координат И наконец так как любое тело перемещается при своем движении по отношению хотя бы к одному реальному тело поэтому в систему отсчета введено тело отсчета
В ряде случаев размерами тела в условиях поставленной задачи можно пренебречь. Такое тело называют материальной точкой.
Существуют различные способы описания движения тел.
При координатном способе положение тела задается посредством его координат (рис 1); уравнение движения представляет собой зависимость координат тела от времени:
Х = Х (t); Y = Y (t); Z = Z (t)
ПРИМЕР: , при подстановки конкретного значения момента времени по данной зависимости находим координату точки.
При векторном способе положение точки в пространстве определяется в любой момент времени радиус - вектором, проведенным из начала координат до точки (рис 2). В этом случае при движении точки конец радиус – вектора оканчивается на нем и следует за ним, хотя его начало остается в начале системы координат. Задача в этом случае решается путем векторных построений и тем самым появляется возможность использовать геометрические построения и соотношения.
Уравнение движения в этом случае имеет вид:

ПРИМЕР:





траектория - линия, вдоль которой движется некоторая точка тела по отношению к выбранной системе отсчета.
Длина участка траектории, пройденного точкой при ее движении, называют пройденным путем.
Обозначение S
Единицы измерения [м] - метр
Путь - скалярная величина; может принимать только положительное значение
В различных системах отсчета движение тела выглядит по-разному, а следовательно, и траектория тела имеет различный вид.
ПРИМЕР: Колесо катится по горизонтальной поверхности.


Рисунок 3 – возможная траектория точки обода колеса в системе отсчета, связанной с землёй.
Рисунок 4 - траектория точки обода в системе отсчёта, связанной с осью колеса.

По виду траектории различают



два вида движения


прямолинейное
траекторией движения является прямая линия

криволинейное
траектория - кривая линия

В случае если прямая, проведенная через любую точку тела при движении этого тела, остается параллельна самой себе, то такое движение называют поступательным. При этом виде движения все точки тела движутся одинаково, поэтому для описания движения тела достаточно определить уравнение движения только одной некоторой его точки.


Для описания механического движения вводят физические величины, позволяющие составить закон движения тела и тем самым получить возможность определения положения тела в любой момент времени. Это:


ПЕРЕМЕЩЕНИЕ

СКОРОСТЬ

УСКОРЕНИЕ

Так как при механическом движении меняется положение тел относительно друг друга, то естественно ввести физическую величину, определяющую степень этого изменения. Такой величиной является перемещение.


перемещение - вектор, соединяющий начальное и конечное положение тела.
Обозначение:

Единицы измерения: [ м ] - метр
Из определения следует, что эта величина имеет направление и численное значение. Причем, численное значение равно модулю вектора .



Найдём направление перемещения точки в случае ее движения по кривой в точке О. За большой промежуток времени ее перемещение равно ОА. При уменьшении рассматриваемого промежутка времени движения, перемещение также будет уменьшаться - ОВ, ОС ..., и когда промежуток времени станет очень малым, направление S практически совпадёт с касательной, проведённой к кривой в точке О в сторону движения.( рис 5).
Найдем зависимость координат тела от проекций его перемещения.


Пусть тело переместилось из точки А в В (рис 6). Координаты тела в этих точках А ( xo,yo ); В ( x,y ). Проекция перемещения на оси координат:
x = Sx + xo

(1.1)


Sy = y - yo y = Sy + yo

По теореме Пифагора:

S = Sx + Sy (1.2)
xo , yo - координаты тела в начальный момент времени (постоянные величины).
Из полученных формул следует, что для определения положения тела необходимо знать не только его начальные координаты, но и перемещение, как функцию времени те зависимость перемещения от времени

Если систему координат совместить с начальным положением тела, то уравнения (1.1) примут наиболее простой вид:

x = Sx; y = Sy
Далее будет показано, что зависимость проекции перемещения на оси координат от времени для каждого вида движения будет разной.
задание: На рис 6 проекции перемещения положительны. Приведите пример отрицательной проекции, сделайте рисунок.

Так как тело может менять свое положение с течением времени, то вводят величину, характеризующую быстроту его перемещения по траектории и направление в котором оно движется в каждый момент времени. Эту величину назвали скоростью движения тела.


скорость - физическая величина, равная перемещению, которое совершает тело в единицу времени.
Обозначение: V
Единицы измерения: [ ]
Из определения V = S / t (1.3)
СКОРОСТЬ



СРЕДНЯЯ
Характеризует движение тела на

определенном участке траектории

Вычисляется по формуле (1.3).

t - время, за которое тело

совершает перемещение S.


МГНОВЕННАЯ
Скорость в данный момент времени

Вычисляется по формуле (1.3).

t - промежуток времени, имеющий

малое значение

(стремится к нулю).



Из (1.3) следует, что вектор скорости сонаправлен с вектором перемещения. Следовательно, при любом виде траектории вектор мгновенной скорости направлен по касательной в данной точке в сторону движения (рис 7).


Подобно перемещению, вектор скорости можно разложить на составляющие Vx, Vy (рис 8).


Причем:
V = Vx + Vy
Для нахождения проекций используют формулы проекций векторов на ось:
Vx = V cos()
Vy = V sin() (1.5)
tg()= Vy / Vx
В зависимости от угла, между вектором скорости и осью проекция может принимать как положительное так и отрицательное значение.

Повседневные наблюдения показывают, что тела могут менять модуль и направление скорости с течением времени. Поэтому для характеристики быстроты изменения скорости вводят величину - ускорение.


ускорение - физическая величина, равная изменению скорости в единицу времени.


Обозначение: а
Единицы измерения: [ м/с]
Из определения а = (V - Vo) / t (1.6)
Из (1.6) следует, что направление ускорения совпадает с направлением вектора изменения мгновенной скорости (рис 9).

Подобно перемещению и скорости модуль ускорения можно найти через его проекции на оси координат.


а = аx + аy

аx = а cos() (1.7)

аy = а sin()
При прямолинейном движении вектор ускорения коллинеарен векторам скорости и перемещения. При криволинейном движении это совершенно не обязательно. В этом случае полное ускорение тела раскладывают на две составляющие: нормальное и касательное (тангенциальное) ускорение (рис 10).


Так как нормальное и касательное ускорения в общем случае могут менять направление и численное значение с течением времени, то в дальнейшем речь будет идти о их мгновенных значениях.


Обозначение: касательное - аk :
Направлено по касательной к траектории в сторону движения тела.
нормальное - аn :
Направлено по нормали к касательной к центру окружности.
По определению нормальное и касательное ускорения перпендикулярны друг другу и :
а = аn + аk (1.8)
Где а - полное ускорение тела.
Наличие нормального ускорения в данной точке показывает, что тело меняет направление движения т.е. направление скорости (но не модуля скорости). В случае движения по окружности с постоянной скоростью модуль скорости не меняется, а меняется лишь ее направление.

Наличие касательного ускорения в данной точке показывает, что тело меняет модуль скорости. При этом нормальное ускорение может равняться нулю. Например в случае прямолинейного движения тела.


Таким образом формула (1.6) приобретает вид:
an + аk = (V - Vo) / t (1.9)
Значение, полученной формулы в том, что она применима к любому виду движений, рассматриваемых дальше. Т.е. появляется возможность описания более частных случаев.
И так, для определения положения тела в любой момент времени вводятся физические величины: перемещение, скорость и ускорение. Это позволяет описать механическое движение тела посредством математических формул. Составление и применение этих формул возможно только в случае выбора системы отсчета.

Далее будут рассмотрены частные случаи движения тел.



1.РАВНОМЕРНОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ.
Пусть аn = 0 , тогда направление скорости не меняется и следовательно тело движется по прямой.
Пусть аk = 0 , тогда модуль скорости не меняется и следовательно V= const.
Из (1.9), так как t  0 то V - Vo = 0 и V = Vo
Из последнего равенства следует, что, при перечисленных условиях, скорость тела одинакова для любых моментов времени и вычисляется по формуле:
V = S / t (1.10)
Так как V = const то за любые равные промежутки времени тело совершает равные перемещения (это определение данного вида движения). Причем под V можно понимать как мгновенную, так и среднюю скорость. При равномерном движении их величина и направление совпадают. Перемещение в этом случае вычисляется по формуле:
S = V t (1.11)
Для проекции перемещения получаем:
Sx = Vx t (1.12)
Учитывая (1.1) для координаты X:
X = Xo + Vx t (1.13)
Из (1.11) следует, что перемещение, совершаемое телом, прямо пропорционально скорости и времени движения. График зависимости Vx(t) имеет следующий вид :






На рис 12 скорость направлена в сторону оси Оx, а на рис 13 - в противоположную.
Но и в том и в другом случае графиком является прямая параллельная оси t. Графики располагаются выше и ниже оси времени.
Заметьте, что площадь фигуры, образованной графиком Vx(t) и осями координат, учитывая (1.12) численно равна проекции перемещения тела.

2.ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ РАВНОПЕРЕМЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ.
Пусть аn = 0, тогда направление вектора скорости не меняется и следовательно тело движется по прямой
Пусть аk = const, тогда из (1.9) V - Vo / t = const и значит за любые равные промежутки времени тело меняет скорость на одну и ту же величину (определение этого вида движения).
В этом случае для конечной скорости справедлива формула:
V = Vo + a t (1.14)

Из (1.14) следует что график зависимости Vx(t) имеет вид прямой с началом в точке (0,Vox) и составляет острый угол с осью Оx, если а(x) > 0 и тупой, если а(x) < 0.В первом случае проекция скорости увеличивается, во втором - уменьшается. (рис 14)

Выведем формулу для нахождения зависимости перемещения от времени

Разобьём график движения тела Vx(t) (рис 15) на малые участки так, что можно считать на каждом из них движение равномерным. Проекция перемещения на каждом участке будет равна площади этого участка. Следовательно проекция перемещения будет численно равна площади под прямой т.е. площади трапеции.


Sx = Vox t +

аналогично: (1.15)

Sy = Voy t +
Умножая обе части первого равенства на единичный вектор i , а второго на j и складывая их, получим формулу перемещения в векторном виде:

Sx i + Sy j = (Vox i + Voy j) t + (a i + a j)


S = Vo t + (1.16)
задание: Самостоятельно получите формулу: 2 S a = V - Vo

3.ДВИЖЕНИЕ ПО ОКРУЖНОСТИ С ПОСТОЯННОЙ СКОРОСТЬЮ
Пусть аk= 0, тогда модуль скорости остаётся неизменным.
Пусть аn = const, тогда V - Vo / t = const.
Учитывая, что модуль скорости не меняется, получаем: тело меняет направление скорости за равные промежутки времени на одну и ту же величину, т.е. движется по окружности.
Ранее говорилось о том, что нормальное ускорение всегда направлено к центру дуги окружности, по которой в данный момент движется тело. Покажем это.

Рассмотрим движение тела по окружности радиусом r. В точках А и В вектор скорости направлен по касательной (рис 16). Если А и В расположены близко друг к другу то дуга АВ не отличается от хорды АВ. Вектор а сонаправлен с вектором VВ - VА. При уменьшении АВ V будет стремиться вдоль радиуса к центру окружности, следовательно и нормальная составляющая ускорения имеет то же направление. Поэтому ее также называют центростремительным ускорением.



задание: Вывести формулу а = (1.17)

Движение по окружности в общем случае характеризуется также следующими величинами:


период ( Т ) -время одного оборота тела [ с ]
За это время тело проходит расстояние равное длине окружности значит средняя скорость на пути равна
V = 2  r / T (1.18)
частота обращения ( n ) - число оборотов в единицу времени. Величина обратная периоду т.е.
n = = [ ] (1.19)
Положения тела в случае его движения по окружности определяют посредством угла , на который поворачивается радиус-вектор. Начальное положение радиус-вектора задается произвольным образом.
угловая скорость - угол на который поворачивается радиус-вектор за единицу времени.
w = / t [ ] (1.20)
УГЛОВОЕ УСКОРЕНИЕ - это изменение угловой скорости за единицу времени.
= ( w - wo) / t [ рад/с] (1.21)

CВЯЗЬ УГЛОВЫХ И ЛИНЕЙНЫХ ВЕЛИЧИН

задание: Заполните таблицу



виды

движения


¦перемещение

скорость

ускорение

нормальное



ускорение

касательное



ускорение

полное



















ЗАКОН СЛОЖЕНИЯ СКОРОСТЕЙ.
Очень часто движение тел рассматривают относительно какого - либо другого тела, которое в свою очередь перемещается по отношению к телу отсчёта, принятому условно за неподвижное.
Движение тела относительно системы отсчета, связанной с подвижным телом отсчёта, называют относительным.
Движение подвижной системы относительно неподвижной - переносным.
Результирующее движение тела относительно неподвижной системы отсчёта называют абсолютным.
Выведем закон сложения скоростей. Пусть тело движется по отношению к подвижной системе координат с постоянной скоростью Vотн, а подвижная система по отношению к неподвижной со скоростью Vпер.


Тогда за один и тот же промежуток времени по отношению к подвижной системе координат тело совершает перемещение Soтн, а подвижная система перемещается по отношению к неподвижной на Sпер. Тогда перемещение тела по отношению к неподвижной равно Sабс. Учитывая, что перемещение - вектор, получаем (рис 17):

Saбс = Soтн + Sпер (1.22)
Поделив обе части на малый промежуток времени получим формулу закона сложения скоростей:

Vaбс = Voтн + Vпер (1.23)
Анологично получается формула сложения ускорений
аабс = аотн + апер (1.24)
задание: Данный рисунок иллюстрирует случай движения вдоль одной оси Оx, а формулы сложения даны в векторном виде. Выведите их.

Полученная формула сложения скоростей, позволяет перейти от одной системы координат к другой при описании механического движения тела.


Перемещение плоской фигуры, происходящее в плоскости расположения этой фигуры (плоскоп-параллельное движение), можно рассматривать как результат наложения поступательного движения тела вместе с некоторой произвольной точкой О тела (полюс) и вращательного движения тела относительно этой точки. Выбирая полюс в различных точках тела, можно по разному осуществить разложение плоского движения на поступательное и вращательное.
Если за полюс принять точку, скорость которой равна нулю в данный момент времени (мгновенный центр скоростей) то плоское движение можно представить как ряд вращений вокруг этой точки.
Проиллюстрируем сказанное на примере: Обод катится по горизонтальной поверхности (рис 18).

Рассмотрим движение точки А обода. Он движется, как одно целое со скоростью Vc, и любая его точка вместе с тем вращается вокруг оси - С. Поэтому А имеет одновременно и скорость Vc и скорость . Складывая эти скорости, найдем скорость абсолютную Vабс. С другой стороны точка О обода в данный момент покоится, значит ее можно считать мгновенным центром скоростей и рассматривать движение А, как вращение вокруг О. Тогда ее скорость будет направлена по касательной к окружности с центром в точке О, что совпадает с ранее полученным результатом.







Достарыңызбен бөлісу:
  1   2   3   4   5


©kzref.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет