Маќсаты: Жоѓарѓы математикада ќарастыратын сызыќтыќ тењдеулерге келтірілетін тењдеулерді ќарастырып шеше білу



жүктеу 38.36 Kb.
Дата24.04.2019
өлшемі38.36 Kb.

Мақсаты: Жоғарғы математикада қарастыратын сызықтық теңдеулерге келтірілетін теңдеулерді қарастырып шеше білу.

Сызықтық теңдеу.

Анықтама.Егер бірінші ретті дифференциялдық теңдеу ізделетін белгісіз функция және оның туындысы y’ бойынша сызықты болып келсе, оны сызықтық теңдеу деп атайды.

Мәселен,

деп алып, теңдеудің екі жағын бөлейік, сонда

Мұнда деп белгілеп.

(1)

Егер q(x)=0 болса, сызықтық емес бірінші ретті теңдеу деп атайды.

Алдымен біртекті сызықтық теңдеуді интегралдайық.

(2)

Бұдан әрі (2) теңдеуді (1) теңдеуге сәйкес біртекті теңдеу деп атайды, бұл айнымалылары бөлектенетін теңдеу.



Біртекті теңдеудің жалпы шешімі



Сызықтық теңдеуге келтірірілетін теңдеулер.

1.Бернулли теңдеуі

y’+p(x)y=q(x)yn (1)

мұнда n нөлден, бірден басқа кез келген тұрақты сан түріндегі теңдеу Бернулли теңдеуі деп аталады.

Бұл теңдеуді алғаш рет Яков Бернулли қолданған, ал шешуін тапқан інісі Иван Бернулли. n=0 болғанда (1) теңдеу біртекті емес сызықтық теңдеу, ал n=1 болғанда айнымалылары бөлектенетін теңдеу болатынын көрсету қиын емес. (1) теңдеуді интегралдау үшін, оның екі жағын бөлейік:

y-ny’+ p(x)y1-n= q(x) (2)

Мұнда теңдеудің бірінші мүшесі қасындағы көбейткітің бір тұрақты коэффициентке ғана айырмашылығы бар туындысы болып тұр.

Сондықтан,

(3)

Мұнда - х-тің жaңа белгісіз функциясы, ауыстыруын қолданған қолайлы. (3)-ті х бойынша дифференциалдасақ,

бұдан (4)

(3), (4)-ті (2)-ге қойсақ:

(5)

Біртекті емес сызықтық теңдеу.

Демек, жалпы шешуі



Егер (3)-ті еске алсақ, онда:

(6)

Бұл Бернулли теңдеуінің жалпы шешімі.

Ерекше шешуі: болғанда теңдіктің екі жағын бөлгенде у=0 шешуін жоғалтуымыз мүмкін, ал болғанда у=0 теңдеудің шешуі емес. болғанда у=0 (6) формула бойынша болғанда шығады, ол дербес шешу, себебі осінің нүктелері арқылы ешқандай интегралдық қисық өтпейді. Жоғарғы айтылғандарға

байланысты у=0 0

Мысалы: теңдеуді интегралдау.

(7) және (0,1) нүктесі арқылы өтетін интегралдық қисықты табу керек.

Теңдеудің екі жағын да - қа бөлеміз, бұдан төмендегі теңдеуді аламыз:

(-1) (8)

Егер деп алсақ, онда болады. (4) теңдеуді (-1)-ге көбейтіп, орнына қойғанда төмендегі теңдеуді аламыз:

(9)

Осы теңдеуді интегралдап, мына теңдеуді аламыз:

(10)

(7) теңдеудің жалпы шешімі бойынша,

(11)

y=0 меншікті шешім. Бұл өзімен барлық интегралдық қисықтардағы асимптотасын көрсетеді.

Берілген (0,1) нүктесі арқылы өтетін интегралдық қисық, мына түрде болады.



  1. Дарбу теңдеуі.

(1)

Мұнда және m - өлшемі біртекті, ал функциясы - өлшемді біртекті функциялар түріндегі теңдеу Дарбу теңдеуі деп аталады.

Егер болса, онда (1) теңдеу бірден біртекті теңдеу болар еді.

(2), мұнда -тің жаңа белгісіз функциясы , ауыстыруы арқылы (1) теңдеуді Бернулли теңдеуіне келтіруге болатынды - ғын көрсетейік.

(3)

(4)

Алдымен (1) теңдеуді біртекті функциялардың қасиетіне сүйеніп



түрде жазамыз. (2), (3), (4)-сүйеніп,



түрінде жазуға болады.-ге қысқартып, dx және dy бойынша жинақтасақ,



шығады. Теңдеудің екі жағын -ға бөлсек,



Немесе



(5)


Сонымен қатар Риккати теңдеуін де шешуге болады.

Қолданған әдебиеттер

  1. Сматов Т.С. «Жай дифференциялдық теңдеулер курсы». Қарағанды 2005.

  2. Матвеев М.Н. «Сборник задач упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям».

  3. Есипов А.А. «Руководства к решению задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям».

  4. Құлжабай Қасымов «Жоғары математика курсы» 1997 жыл

  5. Айдос Е.Ж. «Жоғары математика» 2008 жыл

  6. Әбдіманапов С., Сматов Т. «Дифференциалдық теңдеулер курсы»


Достарыңызбен бөлісу:


©kzref.org 2017
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет