Математическая олимпиада «Путь к Олимпу»



жүктеу 21.83 Kb.
Дата06.05.2019
өлшемі21.83 Kb.
түріРешение

Математическая олимпиада «Путь к Олимпу».

6 класс. 9 января 2018 года.

  1. Антон задумал число, а потом добавил к нему число, большее задуманного на единицу. Затем из этой суммы вычел число, на единицу меньшее задуманного. В итоге получилось 25. Какое число задумал Антон?

Ответ. 23.

Решение. Пусть задумано число х, тогда х+(х+1)−(х−1)=25. Отсюда 2+х=25 и х=23.

Только ответ — 1 балл.

С проверкой, что число 21 подходит — 3 балла.

  1. Разрежьте квадрат на 7 треугольников, среди которых ровно 6 одинаковых, а седьмой не равен им.

Решение. У задачи есть несколько решений. Два из них приведены на рисунке.

  1. У Алины есть 24 палочки. Длина первой палочки – 1 см, второй – 2 см, …, 24-ой палочки – 24 см. Может ли Алина, использовав все эти палочки (каждую по одному разу) выложить 3 различных квадрата (по периметру)? Ломать палочки нельзя.

Ответ. Может. Пример проверять.

Вариант решения: Заметим, что 1+2+…+24=25∙12=300. Так как 300/4=75, сумма сторон квадратов равна 75. Покажем, что можно составить квадраты со сторонами: 9, 25, 41 см. Группируем палочки 1,…,8; 9,…16; 17,…, 24, и в каждой группе берем первую с последней, вторую с предпоследней, третью с шестой и четвертую с пятой.

Возможны и другие примеры, например, можно сделать квадраты со сторонами 24, 25, 26.



Только ответ с проверкой, что сумма длин делится на 4 — 1 балл.

  1. Енот, Медведь и Кролик сыграли в игру «Уно». Кролик сказал: «Медведь глупее Енота». Медведь: «Енот выиграл». Енот: «Медведь не выиграл». Известно, что соврал ровно один из зверей – самый глупый. Выиграл же самый умный зверь. Кто это был?

Ответ: Кролик.

Решение. Поскольку самый глупый зверь соврал, то это либо Кролик, либо Медведь.

  1. Если солгал Кролик, то, значит, Медведь сказал правду. Тогда Енот выиграл и Медведь не глупее Енота. Но тогда Енот не может быть самым умным и по условию не может выиграть. Противоречие.

  2. Если же солгал Медведь, то выиграл не Енот и верно, что Медведь глупее Енота. Но тогда Медведь не мог выиграть и, значит, выиграл Кролик. Енот при этом сказал правду, противоречия нет.

  3. Если солгал Енот, то Медведь выиграл, и при этом остальные сказали правду, то есть, Енот тоже выиграл. Противоречие.



  1. У Тани и Димы есть по одинаковому набору из 50 гирь весом 1, 2, ...., 50 кг. За один ход каждый кладет одну гирю на свою чашу чашечных весов. Ходят по очереди, первой ходит Таня. Дима выигрывает, если разность масс гирь на чашах в какой-то момент окажется равной 35 кг. Если же гири закончились, а такого момента не случилось, выигрывает Таня. Сможет ли Дима выиграть?

Ответ. Да.

Первое решение. Дима может просто повторять ходы Тани. В какой-то момент Таня вынуждена будет сходить гирей 35 кг и немедленно проиграет.

Второе решение. Дима откладывает в сторону свою 35-килограммовую гирю и ходит как угодно остальными гирями. В конце игры Таня выложит все гири, а Дима все, кроме 35-килограммовой. Следовательно, чаша Тани будет весить на 35 кг больше.


Достарыңызбен бөлісу:


©kzref.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет