Министерство общего и профессионального образования



жүктеу 145.35 Kb.
Дата08.02.2018
өлшемі145.35 Kb.


Теоретические положения

Число – фундаментальное понятие, как математики, так и информатики.


Под числом понимают его величину, а не его символьную запись.

Символы, при помощи которых записывается число, называются цифрами.

Под системой счисления принято называть совокупность приемов обозначения (записи) чисел.

Позиционный принцип в системе счисления

Количество используемых цифр называется основанием позиционной системы счисления.

Выбирая за основание системы счисления любое натуральное число k, то есть считая, что k единиц любого разряда образует одну единицу соседнего более крупного разряда, придем к так называемой k-ной системе счисления.

Если требуется указать основание системы счисления, к которой относится число, то оно приписывается нижним индексом к этому числу. Например, 100102, 37628.

Если k<10, то используют k первых арабских цифр. Если k>=10, то к десяти арабским цифрам добавляют буквы. Для 16-ричной системы счисления:

1010 — A16

1110 — B16

1210 — C16

1310 — D16

1410 — E16

1510 — F16

Базис системы счисления — это последовательность ключевых чисел, каждое из которых задает значение цифры в ее позиции или «вес» каждого разряда.

Базис двоичной системы счисления: 1, 2, 4, 8, 16, ..., 2n, ...

Базис восьмеричной системы счисления: 1, 8, 64, 512, ..., 8n, ...

Или в общем виде: q0=1, q1=q, q2=q2, q3=q3, ..., qn=qn, ..., где qN и q1. Число q называют основанием системы счисления.



Каждое число в любой из таких систем может быть записано в цифровой и многочленной форме:

Цифровая форма: Aq=(anan-1an-2...a2a1a0)q, где ai – цифра в диапазоне от 0 до q-1.

Многочленная форма: Aq=anqn+an-1 qn-1+an-2qn-2+...+a2 q2+a1q1+a0, где q – базис системы счисления.


Связь между системами счисления.


Перевод десятичных чисел в другие системы счисления.

Перевод целых чисел


  1. Основание новой системы счисления выразить в десятичной системе счисления и все последующие действия производить в десятичной системе счисления.

  2. Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых неполных частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим неполное частное, меньшее делителя.

  3. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.

  4. Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего частного.

Примеры:

278108

278

8







24

34

8




38

32

4




32

2




27810 = 4268

6







27810 = 1000101102

27810 = 11616

Перевод дробных чисел


  1. Основание новой системы счисления выразить в десятичной системе счисления и все последующие действия производить в десятичной системе счисления.

  2. Последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы счисления до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа в новой системе счисления.

  3. Полученные целые числа произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.

  4. Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

Примеры:

0,37510 = 0,0112

0,37510 = 0,38

0,37510 = 0,616

0,375*2 = 0,75

0,375*8 = 3,0

0,375*16 = 6,0

0,75*2 = 1,5







0,5 = 1,0








Перевод смешанных чисел
Такой перевод осуществляется в два этапа. Целая и дробная части исходного числа переводятся отдельно по соответствующим алгоритмам. В итоговой записи числа в новой системе счисления целая часть отделяется от дробной запятой (точкой).

Примеры:


278,37510 = 426,38 = 116,616
Перевод чисел из других систем счисления в десятичную
Такой перевод осуществляется записью числа в старой системе счисления в виде многочлена, полученная сумму и будет это число в десятичной системе счисления.

Примеры:


43916 = 4*162+3*161+9*160 = 108110

10111012 = 1*26+0*25+1*24+1*23+1*22+0*2+1 = 9310

0,11012 = 1*2-1+1*2-2+0*2-3+1*2-4 = 0,812510

0,458 = 4*8-1+4*8-2 = 0,57812510

439,F0316 =4*162+3*161+9*160 +15*16-1+0*16-2+3*16-3 = 0,938232410

Взаимосвязь между системами счисления
с основаниями «2», «8» и «16»

Для записи целого двоичного числа в системе с основанием q=2n (4, 8, 16 и т.д.) достаточно данное двоичное число разбить на грани справа налево (т.е. от младших разрядов к старшим) по n цифр в каждой грани. Если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов. Затем каждую грань следует рассматривать как n-разрядное двоичное число и записать его как цифру в системе с основанием q=2n.




«10»

«2»

«8»

«16»

0

0

0

0

1

1

1

1

2

10

2

2

3

11

3

3

4

100

4

4

5

101

5

5

6

110

6

6

7

111

7

7

8

1000

10

8

9

1001

11

9

10

1010

12

A

11

1011

13

B

12

1100

14

C

13

1101

15

D

14

1110

16

E

15

1111

17

F

16

10000

20

10



10111101100011128




101111011000111216

101

111

101

000

1112




0101

1110

1100

01112

5

7

3

0

78




5

E

C

716

Для замены целого числа, записанного в системе счисления с основанием p=2n, равным ему числом в двоичной системе счисления, достаточно каждую цифру данного числа заменить n-разрядным двоичным числом.



35478A162




601282

3

5

4

7

8

A16




6

0

1

28

0011

0101

0100

0111

1000

10102




110

000

001

0102

Для перевода правильных двоичных дробей в систему счисления с основанием q=2n необходимо данную дробь разбить на грани слева направо от запятой по n цифр в каждой. Если в последней правой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить справа нулями до нужного числа разрядов. Затем каждую грань следует рассматривать как n-разрядное двоичное число и записать его как цифру в системе счисления с основанием q=2n.



0,11011100128




0,110111001216

0,

110

111

0012




0,

1101

1100

10002

0,

6

7

18




0,

D

C

816

Для замены правильной дроби, записанной в системе счисления с основанием p=2n, равной ей дробью в двоичной системе счисления достаточно каждую цифру данной дроби заменить n-разрядным двоичным числом.

0,A31162




0,70482

0,

A

3

116




0,

7

0

48

0,

1010

0011

00012




0,

111

000

1002

Расчетные примеры




Восьмеричная система счисления

Двоичная система счисления

Шестнадцатеричная система счисления

1.

764,26

= 111110100,01011

= 1F4,58

2.

532,47

= 101011010,100111

= 15A,9C

3.

374,062

= 11111100,00011001

= FC,19

Арифметика в позиционных системах счисления

Любая позиционная система счисления определяется основанием системы, алфавитом и правилами выполнения арифметических операций. В основе правил арифметики лежат таблица сложения и умножения однозначных чисел. Например, таблицы сложения и умножения в пятеричной системе счисления выглядят так:




+

0

1

2

3

4




*

1

2

3

4

0

0

1

2

3

4




1

1

2

3

4

1

1

2

3

4

10




2

2

4

11

13

2

2

3

4

10

11




3

3

11

14

22

3

3

4

10

11

12




4

4

13

22

31

4

4

10

11

12

13



















Вычислить 342+23.





3

4

2

+




2

3




4

2

0

Рассуждения: 2+3 равно 10 по таблице сложения, 0 пишем 1 в уме. 4+2 равно 11, да еще 1 получится 12, 2 пишем, 1 в уме. 3+1 равно 4 по таблице. Получится 420.

Вычислить 213*3.






2

1

3

*







3

1

1

4

4

Рассуждения: 3*3 равно14 ( по таблице), 4 пишем 1 в уме. 1*3 равно 3, да +1, равно 4. 2*3 равно 11 ( по таблице), 1 пишем, 1 переносим влево. Получим 1144.




Двоичная система счисления



Арифметика двоичной системы счисления, как и всякой другой позиционной системы, основывается на использовании таблиц сложения и умножения цифр.

+

0

1




*

0

1

0

0

1




0

0

0

1

0

10




1

0

1




+101110




+101111,001




*1101




1101




10101,110




11




1110111




1000100,111




1101
















11010
















100111






Расчетные примеры


1.

110111,1101+11101,1011=1010101,1

2.

110111,1101-11101,1011=11010,001

14.

AC7,3-4B8,4=60E,F

15.

999,9-FF,1=89A,8








Достарыңызбен бөлісу:


©kzref.org 2017
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет