На бильярдном столе находятся два шара а и В



жүктеу 95.13 Kb.
Дата25.05.2018
өлшемі95.13 Kb.
түріРешение

МАТЕМАТИКА

Довывод
Задание 1. Если с квадратным листом бумаги проделать действия 1) и 2), то получившийся отрезок АВ будет составлять треть стороны данного квадрата. Докажите это.


Решение:

Рассмотрим треугольник СBD – прямоугольный. СА - сторона квадрата, DA - половина стороны квадрата, следовательно, . На два других угла ( и равный ему по наложению) приходится , следовательно, .

(как угол квадрата) , мы делим этот угол пополам. . В прямоугольном треугольнике против угла в лежит катет в два раза короче гипотенузы, поэтому AK=2AB.

Тругольник СAK равнобедренный, так как , поэтому CB=BK=2AB.

Итак, CB=2AB, поэтому AB составляет треть стороны СА. ч.т.

1-тапсырма. Егер квадрат пішіндес қағазбен 1) және 2) амалдарды орындаса, пайда болған АВ кесіндісі квадрат қабырғасының үштен біріне тең болатынын дәлелде

Шешуі: СBD – тікбұрышты. СА - квадрат қабырғасы, DA – оның жартысына тең, ендеше . .

, бұл бұрышты қақ бөлсек. . AK=2AB.

СAK тең бүйірлі, себебі , ендеше CB=BK=2AB.

Сонымен, CB=2AB, ендеше AB.

Задание 2. На тренировке перед соревнованиями лидеры велосипедной гонки Катя и Света едут с постоянными скоростями по круговому треку, длиной 1 км. Света обнаружила, что Катя обгоняет ее каждые 10 мин. Тогда она увеличила скорость вдвое и теперь уже сама стала обгонять Катю каждые 10 мин. Определите изначальные скорости девочек.
Решение: Катя обгоняет Свету каждые 10 мин, поэтому каждые 10 мин она делает на 1 км. больше. За час она делает на 6 км больше. Итак, Скорость Кати на 6 км/ч больше. Когда Света увеличила скорость вдвое, она стала обгонять Катю на 10 мин, т.е. ее скорость стала на 6 км/ч больше Катиной. Имеем: .

2-тапсырма. Велосипшілер Катя мен Света жаттығу барысында ұзындығы 1км шеңбер бойымен тұрақты жылдамдықпен жүріп келеді. Света әрбір 10 мин.-та Катяны басып озады. Егер Катя жылдамдығын екі есе арттырса, ол әрбір 10 мин. сайын Светаны басып озады. Қыздардың бастапқы жылдамдығын тап.
Шешуі: Егер және - Катя мен Светаның жылдамдықтары болса, онда

.
Задание 3. Известно, что числа p и - простые. Найдите p.

Решение:.Если p отлично от 3 , то делится на 3.Следовательно p=3.

3-тапсырма. p мен сандарының жай екендігі белгілі. p санын тап.

Шешуі: Кез келген 5-тен кіші емес жай санды деп алуға болады. Сонда жай сан емес. Сондықтан , болғандықтан,

Жауабы:
Задание 4. Имеется 11 мешков монет. В 10 из них монеты настоящие, а в одном — все монеты фальшивые. Все настоящие монеты одного веса, все фальшивые монеты — также одного, но другого веса. Имеются весы, с помощью которых можно определить, какой из двух грузов тяжелее и на сколько. Двумя взвешиваниями определить, в каком мешке фальшивые монеты

Решение: Первое взвешивание. На одну чашку весов кладем по одной монете из 10 мешков, на другую – 10 монет из оставшегося мешка Второе взвешивание. На одну чашу кладем 1 монету из первого мешка, 2 монеты из второго, 3 монеты из третьего,..,10 монет из десятого. На другую 55 монет из последнего мешка. Пусть x разность между весом фальшивой и настоящей монеты, i мешка с фальшивыми монетами.

i<11. Тогда при первом взвешивании весы покажут разность весов x, а при втором (-ix).

i=11.Тогда при первом взвешивании весы покажут число 10x . а при втором –
(-55x).Отсюда ясно, как можно определить мешок с фальшивыми монетами. Посчитаем отношение показаний весов при первом и втором взвешивании. Если отношение – целое число, то оно равно номеру мешка с фальшивыми монетами. Если же нецелое, то фальшивые монеты в мешке номер 11.


4-тапсырма. 10 қап шын монета мен бір қап жалған монета берілген. Шын монеталардың салмақтары бірдей, жалған монеталардың салмақтары олардан өзгеше, бірақ өзара бірдей. Екі салмақтың қайсысы қаншаға ауыр екенін анықтайтын таразы бар. Осы тарзымен екі рет өлшеп, жалған монеталардың қай қапта екендігін анықта.

Шешуі: 1. таразының бір жағына 10 қаптан бір-бірлеп, ал екінші жағына қалған қаптан 10 монетаны саламыз. 2. Таразының бір жағына 1-қаптан - 1, 2-қаптан – 2,...,10-қаптан – 10 монета саламыз, ал екінші жағына қалған қаптан 55 монета саламыз. Айталық, шын мен жалған монеталар массаларының айырмасы – х, і – жалған монета номері болсын.

а). i<11. 1-рет өлшегенде таразы х-ті, 2-рет өлшегенде (іх)-ті көрсетеді.

б). i=11. 1-рет өлшегенде таразы 10х-ті, 2-рет өлшегенде 55х-ті көрсетеді.

Ендеше 1-рет пен 2-рет қатынасы бүтін болса,=і, бөлшек болса і=11.
Задание 5. Какое число надо отнять от знаменателя дроби и прибавить к её числителю, чтобы после сокращения получилась дробь ?

Решение: Пусть - искомая дробь. . . .

Ответ 3.006.992

5-тапсырма. бөлшегінің бөлімін қандай санға азайтып, сол санды алымына қосып және қысқартқанда, бөлшектің мәні -ге тең болады?

Шешуі: Айталық - ізделінді бөлшек болсын, онда . . . Жауабы: 3.006.992
МАТЕМАТИКА

Вывод
Задание 1. О подсудимых А, В, С, Д известно, что

Если А и В оба виновны, то С был соучастником.

Если А виновен, то по крайней мере один из обвиняемых В, С был соучастником.

Если С виновен, Д был соучастником.

Если А не виновен, то Д виновен.

Кто из подсудимых виновен, без всякого сомнения?

Решение: Из первого утверждения следует, что если А и В оба виновны, а С не виновен - невозможная ситуация. Из второго утверждения следует, что если А виновен, то ситуация А виновен, В не виновен, С не виновен невозможна. Из утверждения 3) следует, что ситуация С виновен, Д не виновен, невозможна. Из утверждения 4) следует, что невозможна ситуация А не виновен, Д не виновен.





1

5

9

11

13

15

в

в

н

н

н

н


в

н

в

в

н

н


в

в

в

н

в

н



в

в

в

в

в

в




  1. Итак, Д без сомнения виновен.


1-тапсырма. А, В, С, Д айыпталушылары туралы келесі тұжырымдар белгілі:

Егер А мен В кінәлі болса, онда С да кінәлі.

Егер А кінәлі болса, онда В мен С-ның кем дегенде біреуі кінәлі.

Егер С кінәлі болса, онда Д да кінәлі

Егер А кінәсіз болса, онда Д кінәлі.

Бұлардың қайсысы міндетті түрде кінәлі болатынын тап?


Шешуі: Берілген тұжырымдардан келесі граф шығады. Бұл графтан міндетті түрде Д кінәлі екенін көреміз.

1

5

9

11

13

15

в

в

н

н

н

н


в

н

в

в

н

н


в

в

в

н

в

н



в

в

в

в

в

в

.
Задание 2. Дано 14 трехзначных чисел. Доказать, что среди них можно выбрать два и, записав рядом, получить шестизначное число, которое делится на 13.


Решение. . Первое слагаемое делится на 13 (1001 длится на 13), следовательно, число длится на 13 в зависимости от того делится ли на 13 (B-A). Так как чисел 14, а остатков от деления на 13 на единицу меньше, то найдутся два числа, имеющие одинаковый остаток при делении на 13, их разность и длится на 13.

2-тапсырма.14 үштаңбалы сан бар. Екеуін бірінен соң бірін тіркеп жазғанда 13-ке бөлінетін алты таңбалы сан шығатындай, екі сан таңдап алуға болатынын дәлелде.
Шешуі: Алдымен: . Ендеше , сондықтан егер В-А саны 13-ке бөлінсе, болғаны. Ал барлық сандар 14 екенін ескерсек, Дирихле принципі борйынша ондай екі сан табылады.

Задание 3. Дан квадратный трехчлен с целыми коэффициентами. Если в него вместо переменной подставить 2 или 3 , то получаются числа, делящиеся на 6. докажите, что если вместо переменной в него подставить 5, то так же получится число, делящееся на 6.
Решение: Пусть квадратный трехчлен в точках 2 и 3 равен 6 k и 6n соответственно. Если он в точке 5 имеет вид 6m+p, то по теореме Безу имеем 6m+p-6k делится на 5-2=3 и 6m+p-6n делится на 2, поэтому число p делится на 6.


3-тапсырма. Бүтін коэффициентті квадрат үшмүшелік берілген. Егер мұндағы айнымалының орнына 2 немесе 3 сандарын қойсақ, пайда болған мәндер 6-ға бөлінеді. Айнымалының орнына 5-ті қойсақ та, оның мәні 6-ға бөлінетінін дәлелде.
Шешуі: Айнымалы 2 мен 3 тең болғанда көпмүшелік мәндері 6 k мен 6n болсын. Егер айнымалы 5 болғанды көпмүшелік мәні 6m+p, онда Безу теоремасы бойынша 6m+p-6k мәні 5-2=3 бөлінеді, ал 6m+p-6n мәні 2-ге бөлінеді.ендеше
Задание 4. На поверхности куба мелом отмечено 100 различных точек. Докажите, что можно двумя различными способами поставить кубик на черный стол (причем в точности на одно и то же место) так, чтобы отпечатки от мела на столе при этих способах были разными. (Если точка отмечена на ребре или в вершине, она тоже дает отпечаток).
Решение: Предположим противное. Каждый способ постановки куба дает один и тот же отпечаток, это означает , что на каждой грани одна та же «картинка» из меловых точек, при чем эта картинка переходит в себя при четырех поворотах вокруг центра.

Тогда либо отмечены все 8 вершин квадрата либо ни одной. Таким образом, помимо вершин отмечено 100 или 92 точки. Пусть точка K отмечена на ребре , то должны быть отмечены еще либо 11.либо. 23 точки. Если точка лежит в центре грани. То должны быть отмечены еще 5 точек если точка лежит на грани и не совпадает с центром то должны быть отмечены еще 23 точки, таким образом все точки отличнее от вершин разбиваются на 6, 12. 24 точек. Поэтому число точек должно делиться на 6. Однако, ни 100. ни 92 не делится на 6 .Получили противоречие.
4-тапсырма. Кубтың бетінде 100 нүкте бормен боялған. Қара үстелге кубты әртүрлі екі жағымен жатқызамыз (куб екі жолы да бір орынға қойылады). Бордан түскен таңбалардың кем дегенде біреуі беттеспейтіндей етіп, кубтың екі жағын таңдап алуға болатынын дәлелде.
Шешуі. Қарсы жориық, кубтың кез келген екі орналасуы бірдей таңба қалдырсын.Бұл кубтың кез келген жағын айналдырсақ та бірдей таңбалар аламыз деген сөз, ендеше квадраттардың барлық 8 төбелері боялған, не ешқайсысы боялмаған. Яғни төбелерді санамағанда әлі не 92 не 100 нүкте боялған. Егер К қырдағы боялған нүкте болса, онда қырда әлі не 11, не 23 нүкте боялуы керек. Егер нүкте жақта орналасса, онда ол центрмен беттеспесе әлі 5 нүкте, ал центрмен беттессе әлі 23 нүкте боялуы керек. Сонымен төбелерді санамағанда барлық нүктелер 6, 12 және 24 топтарға бөлінеді, яғни боялған нүктелер саны 6-ға бөлінеді. Бірақ 100-де, 92-де 6-ға бөліебейді. Бұл қайшылық.

Достарыңызбен бөлісу:


©kzref.org 2017
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет