Программа дисциплины нис «Quantum Algebras» для направления 010100. 62 «Математика»



жүктеу 115.52 Kb.
Дата07.02.2019
өлшемі115.52 Kb.
түріПрограмма дисциплины



Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины НИС «Quantum Algebras » для направления

010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра





Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"

Факультет Математики

Программа дисциплины НИС «Quantum Algebras»



для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра



и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра

Автор программы:

Такебе Такаши, PhD,  HYPERLINK "mailto:ttakebe@hse.ru" ttakebe@hse.ru Кувабара Тоширо, PhD, toshiro.kuwa@gmail.com
Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2013 г.

Председатель С.М. Хорошкин

Утверждена УС факультета математики «___»_____________2013 г.

Ученый секретарь Ю.М. Бурман_____________________

Москва, 2013

Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.


1Область применения и нормативные ссылки


Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра.

Программа разработана в соответствии с:


  • ГОС ВПО;

  • Образовательными программами: 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра.

  • Рабочими учебными планами университета: по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и по направлению 010100.68 «Математика» подготовки магистра, специализации Математика, утвержденными в 2012 г.


2Цели освоения дисциплины


Целями освоения дисциплины НИС «Quantum Algebras» являются: освоение студентами основных знаний теории представлений алгебр Ли и методов приложений основных фактов в алгебре в бакалавриате и в теории функций комплексного переменного в теорию представлений аффинных алгебр Ли. Выработка навыков научного общения на английском языке.

3Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины


В результате освоения дисциплины студент должен:

  • Знать основные понятия квантовых алгебр, некоммутативных алгебр, в том числе, аффинных алгебр Ли, алгебры Вирасоро и вершинных алгебр, которые появляются в теории бесконечномерных интегрируемых систем как симметрии.

  • Уметь понимать теорию представлений выше упомянутых алгебр и соотношения между такими алгебрами и некоторыми моделями в квантовой физике с точки зрения теории представлении.

  • Иметь навыки научных дискуссий по алгебре и математической физике на английском языке.



4Место дисциплины в структуре образовательной программы


Настоящая дисциплина относится к циклу дисциплин теоретического обучения и блоку дисциплин по выбору.

Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:



Студентам рекомендуется ознакомиться со следующими дисциплинами:

  • Группы и Алгебры Ли, 3 курс

  • Basic Representation Theory, магистратура 1 курс.

    Но знания этих двух дисциплин не необходимы.



Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями:

  • Линейная алгебра; в том числе, Джордановы стандартные формы матриц, разложение в собственные пространства, бесконечномерные линейные пространства,

  • Основные знания алгебры; в том числе, алгебры и их модули, точная последовательность, формальный ряд Лорана.



  • Хотя аффинные алгебры Ли – бесконечномерный аналог простых конечномерных алгебр Ли, знание о них не требуется. Дисциплина – также для тех студентов, которые не знакомятся с таким сюжетом.


5Тематический план учебной дисциплины







Название раздела

Всего часов

Аудиторные часы

Самостоя­тельная работа

Лекции

Семинары

Практические занятия




1 семестр

180




32




148

1

Аффинные алгебры Ли







4







2

Разложение операторного произведения и конструкция Сугавара







8







3

Вершинные операторы







8







4

Модель Годэна







12










2 семестр

180




40




140

1

Конформные блоки на проективной прямой







10







2

Вершинные алгебры







10







3

Аффинные W-алгебры







10







4

Теория представлений аффинных алгебр Ли и вершинных алгебр







10










Итого:

360




72




288


6Формы контроля знаний студентов


Тип контроля

Форма контроля

1 год

2 год

Параметры **

1

2

3

4

1

2

3

4

Текущий

(неделя)


Домашнее задание




8




8
















Промежу­точный

Зачет




V



















письменный экзамен 90 мин

Итоговый

Экзамен











V
















2 домашних задания


6.1Критерии оценки знаний, навыков



Домашние задания проверяют степень владения теоретическим материалом, а также корректность и строгость математических рассуждений.

Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.



6.2Порядок формирования оценок по дисциплине



Результирующая оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему контролю следующим образом:

Отекущий = Осам. работа

Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов: правильность выполнения домашних работ, задания для которых выдаются на семинарских занятиях, правильность решения задач на семинаре. Оценки за самостоятельную работу студента преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка - Осам. работа определяется перед промежуточным (итоговым) контролем.


Результирующая оценка за промежуточный (итоговый) контроль складывается из результатов накопленной результирующей оценки за текущий контроль, удельный вес которой составляет k1 = 0,5 и оценки за экзамен/зачет, удельный вес k2 = 0,5.

О промежуточный/итоговый = 0,5 * Отекущий + 0,5 * Оэачёт/экзамен

Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме зачета/экзамена в пользу студента.


Студент может получить возможность пересдать низкие результаты за текущий контроль.
В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей оценкой по учебной дисциплине.

7Содержание дисциплины


  1. Раздел 1. Аффинные алгебры Ли как центральные расширения: Определение алгебр Ли петель. Определения аффинных алгебр Ли и алгебры Гейзенберга как центральных расширений алгебр Ли петель. Понятие универсального центрального расширения. Когомология алгебр Ли и расширение алгебр Ли. Универсальность расширения алгебр Ли петель соответствующего аффинным алгебрам Ли. Литература: [W], [IK].

  2. Раздел 2. Разложение операторного произведения и конструкция Сугавара: Понятие токов. Нормально упорядоченное произведение. Разложение операторного произведения (operator product expansion; OPE). OPE токов. Равносильность OPE и коммутационных соотношений. Правила (формула) Вика. Конструкция Сугавара и определение алгебры Вирасоро. Алгебра Вирасоро как центральное расширение. Литература: [BF], [F].

  3. Раздел 3. Вершинные операторы: Треугольное разложение аффинных алгебр Ли. Понятие весов и корней аффинных алгебр Ли. Модуль со старшим весом. Определения модулей Верма и модудь Вейля. Основные свойства неприводимых представлений со старшим весом. Определения пространств конформных коинвариантов и конформных блоков. Структура пространств конформных коинвариантов модулей Вейля. Вершинные операторы. OPE вершинных операторов. Литературы: [BZ], [K], [TK].

  4. Раздел 4. Модель Годэна: XXX цепочка Гейзенберга. Шесть-вершинная модель. Квантовая R-матрица и трансфер матрица. Квазиклассический предел XXX цепочки и модель Годэна. Классическая R-матрица. Модель Годена как модель WZW с критическим уровнем. Литература: [G], [FFR].

  5. Раздел 5. Конформные блоки на проективной прямой: Структура модулей со старшим весом. Структуры пространства конформных блоков модулей со старшим весом. Связность Книжника-Замолодчикова. Литература: [BF], [K], [TK].

  6. Раздел 6. Вершинные алгебры: Тождество Борчердса. Аксиомы вершинных алгебр. Примеры вершинных алгебр, в том числе, аффинные вершинные алгебры и вершинная алгебра Вирасоро. Определение и основная структура алгебр Жу. Основные свойства вершинных алгебр. Литература: [BF], [FLM], [K-va], [TK].

  7. Раздел 7. Аффинные W-алгебры: Квантовая редукция Дринфельда-Соколова. Определение когомологии BRST. Определение и основные свойства многообразий Слодови. Построение аффинных W-алгебр как когомология BRST. Определение центра Фейгина-Френкеля вершинных алгебр. Примеры аффинных W-алгебр. Литература: [A], [BF].

  8. Раздел 8. Теория представлений аффинных алгебр Ли и вершинных алгебр: Неприводимые модули алгебры Гейзенберга. Реализация аффинных алгебр Ли с помощью свободных полей. Построение и основные свойства модулей Вакимото. Операторы скрининга аффинных W-алгебр. Реализация аффинных W-алгебр с помощью свободных полей. Введение в теорию киральных дифференциальных операторов. Литература: [BF].

8Образовательные технологии


В рамках семинара предусмотрены мастер-классы экспертов в различных разделах теории представлений квантовых алгебр. Предусмотрены научные и научно-популярные доклады студентов, научные дискуссии, в том числе, на английском языке.

9Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента

9.1Тематика заданий текущего контроля


Примерные вопросы/ задания для домашнего задания:

  1. Вычисления когомологий алгебр Ли.

  2. Вычисления разложения операторного произведения.

9.2Вопросы для оценки качества освоения дисциплины


Примерный перечень вопросов к зачету (экзамену) по всему курсу или к каждому промежуточному и итоговому контролю для самопроверки студентов.

  1. Соотношение центральных расширений алгебр Ли и когомологий.

  2. Выведение коммутационных соотношений с помощью разложения операторного произвединея.



10Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

10.1Базовый учебник


Нет. Должны быть обеспечены ридеры.

10.2Основная литература


[BF] E. Frenkel and D. Ben-Zvi, Vertex Algebras and Algebraic Curves, Second Ed., AMS, 2004.

10.3Дополнительная литература


[A] T. Arakawa, Representation theory of W-algebras, Invent. Math. 169 (2007), 219-320. [F] J. Fuchs, Affine Lie Algebras and Quantum Groups, Cambridge University Press, 1992. [FFR] B. Feigin, E. Frenkel and N. Reshetikhin, Gaudin model, Bethe Ansatz and critical level, Communications in Mathematical Physics 166 (1994), 27-62. [G] M. Gaudin, La Fonction d'Onde de Bethe, Masson, 1983. [FLM] I. Frenkel, J. Lepowsky and A. Meurman, Vertex Operator Algebras and the Monster, Academic Press, 1989. [K] V. Kac, Infinite dimensional Lie algebras (third edition), Cambridge University Press, 1990. [K-va] V. Kac, Vertex Algebra for Beginners (second edition), University Lecture Series, AMS, 1998. [IK] K. Iohara, Y. Koga, Representation Theory of the Virasoro Algebra, Springer, 2011. [TK] A. Tsuchiya and T. Kuwabara, Introduction to Conformal Field Theory (in Japanese), Mathematical Society of Japan, 2004.

10.4Справочники, словари, энциклопедии


http://www.wikipedia.org,

article: Affine Lie algebra, Cartan subalgebra, Casimir element, Kac-Moody algebra,

Killing form, KnizhnikZamolodchikov equations, Lie algebra, Lie algebra cohomology, Lie algebra

representation, Operator product expansion, Poincare-Birkoff-Witt theorem, Root system, Weights

(representation theory), Universal enveloping algebra, Vertex operator algebra, Virasoro algebra,

Wess-Zumino-Witten model, Witt algebra.



10.5Программные средства


    Специальные программные средства не предусмотрены.

10.6Дистанционная поддержка дисциплины


Специальные дистанционные ресурсы не предусмотрены. Однако должна быть обеспечена возможность дистанционных консультаций и получений записок лекции по электронной почте.

11Материально-техническое обеспечение дисциплины


Для проведения семинаров не используется специальное оборудование, кроме, возможно, компьютерного проектора и системы видеозаписи учебных занятий.

Достарыңызбен бөлісу:


©kzref.org 2017
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет