Пятнадцатая Летняя многопредметная школа Кировской области



жүктеу 18.91 Kb.
Дата03.07.2018
өлшемі18.91 Kb.

Бесконечные конструкции





  1. а) Существует ли последовательность натуральных чисел, где каждый член делится на сумму любого подмножества чисел с меньшими номерами?

б) Существует ли строго возрастающая последовательность натуральных чисел, где каждый член не делится на сумму любого подмножества чисел с меньшими номерами?

  1. (Диагональный метод Кантора) Дана последовательность бесконечных двоичных дробей. Постройте еще одну такую дробь, отличную от всех дробей последовательности.

  2. а) Дана последовательность бесконечных в обе стороны двоичных дробей. Докажите, что есть еще одна такая дробь, отличная от всех данных.

б) Дана последовательность бесконечных в обе стороны двоичных цепочек (без запятой). Цепочки, отличающиеся друг из друга сдвигом, считаются равными. Докажите, что есть еще одна цепочка, не равная ни одной данной.

  1. Два бога по очереди выписывают цифры бесконечной десятичной дроби. Первый своим ходом приписывает в хвост любое конечное число цифр, второй – одну. Если в итоге получится периодическая дробь, выигрывает первый, иначе – второй. Кто выиграет при наилучшей игре сторон?

  2. Дана последовательность бесконечных двоичных дробей. Постройте еще одну такую дробь, отличную от всех дробей последовательности, при этом для каждого номера n она должна отличаться от nдроби как минимум в n знаках.

  3. Можно ли представить множество натуральных чисел в виде объединения двух непересекающихся множеств А и В, так, что в А никакие три члена не образуют арифметическую прогрессию, а В не содержит бесконечных арифметических прогрессий?

  4. Доказать, что в бесконечном полном графе M (множество вершин счетно), ребра которого раскрашены в r цветов, найдется бесконечный полный подграф с ребрами одного цвета.

  5. Докажите, что для любой биекции (т.е. взаимно-однозначного соответствия) f: ZZ множества целых чисел в себя найдутся еще две биекции g и h из Z в себя, что f(x)=g(x)+h(x) для всех x Z.

  6. Внутри квадрата со стороной 10 сидит невидимая блоха. Левша и блоха играют, ходя по очереди. Очередным nходом Левша проводит прямую, после чего блоха совершает прыжок длины 1/n, не пересекающий ни одной проведённой Левшой прямой и не выводящий за пределы квадрата. Если такой прыжок невозможен, блоха проигрывает. Может ли Левша выиграть, как бы ни играла блоха?

  7. Пусть дана бесконечная во все стороны шахматная доска, в клетки которой вписаны целые числа (возможно, с повторами). Рассмотрим всевозможные бесконечные маршруты короля по этой доске, и для каждого маршрута выпишем соответствующую последовательность чисел. Могут ли в результате получиться все возможные последовательности целых чисел?



Достарыңызбен бөлісу:


©kzref.org 2017
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет