Санау жүйесінің түрлері



жүктеу 243.19 Kb.
Дата02.12.2017
өлшемі243.19 Kb.


Тақырыбы :Санау жүйесi
Жоспар :

1.Кіріспе

2. Сандардың тарихы және санау жүйелері

2. Санау жүйесі

3. Санау жүйесінің түрлері.

4. Бір санау жүйесінен екіншісіне өту жолы.

5. Қорытынды

І. Кіріспе

Қандай үлкен санды болсын небәрі он цифр арқылы жазып көрсетуге болады. Цифрларды да, арифметика ережелері сияқты, ешкім бірден ойлап шығарған не тапқан емес. Осы заманғы цифрлар сан ғасырлар бойы қалыптасып жасалған. Цифрлардың сызба таңбалары жазудың дамуымен қатар жетіліп кемелдене берген. Әуелде әріптер болмаған. Адам ойын, сөзін жартастардың, үңгір қабырғаларының, тастардың беттеріне салған суреттері арқылы білдірген. Сандарды есте сақтау үшін адам ағаштарға, таяқтарға кертіп белгі салуды және жіптерге түйіндер салуды қолданған. Мұнан кейін бір санын бір сызықшамен, екі санын екі сызықшамен, үш санын үш сызықшамен, т.с.с. белгілеудің келіп шығуы табиғи нәрсе. Мұндай цифрлардың жұрнақтары, мысалы, римдік санау жүйесінде бар: І, ІІ, ІІІ. Алайда өндіріс пен мәдениет өркендеп, үлкен сандарды жазып көрсету керек болғанда сызықшаларды қолдану қолайсыз болған. Сонда жеке сандарды жазып көрсету үшін ерекше таңбалар қолданылған. Әрбір сөз секілді, әрбір сан да ерекше таңбамен, иероглифпен белгіленген. Мысалы, мұны қытайдың иероглиф цифрларынан көруге болады. Ежелгі Мысырда бұдан 4000 жылдай бұрын сандарды белгілеу үшін басқа таңбалар мен иероглифтер қолданылған. Бірлік қазықпен, ондық қос қол тәрізденіп белгіленген, жүздік бүктелген пальма жапырағымен, мың молшылық символы ретіндегі лотос гүлімен, жүз мың бақамен белгіленген, өйткені Ніл тасығанда бақалар көбейетін болған. Мұнан беріректе жеке дыбыстарды белгілеу үшін айрықша табалар, яғни әріптер пайда бола бастады. Әріптер цифрлар ретінде де қолданылған уақыт болған. Ежелгі гректер, славяндар және басқа да халықтар осылай жасаған. Әріптерді сандардан айыру үшін славяндар сандарды белгілейтін әріптердің үстіне «титло» деп аталатын ерекше таңба салатын. Алфавиттік нумерация деп аталған бұл нумерация да бара – бара қолайсыз болып шықты, өйткені бұл нумерация бойынша айтарлықтай үлкен сандарды тікелей жазып көрсетуге болмайтын еді. Практика қажеттері, өндіріс пен сауданың дамуы осы заманғы қолайлырақ цифрлардың жасалуына және қазіргі жазбаша нумерацияның пайда болуына септігін тигізді.

ІІ. Сандардың тарихы және санау жүйелері

Ерте замандарда адамдарға өздерінің күнделікті өмірінде кездесіп отыратын әртүрлі нәрселерді санауға тура келген. Сонда адамның тек екіге дейін ғана санай білетін шағы болған. Екі саны адамның көру және есту мүшелерімен, жалпы алғанда нәрселердің нақтылы жұбымен байланыстырылған. Үнділердің «көз», тибеттіктердің «қанат» деген өздері «2» санын білдіретін болған. Егер заттар саны 2-ден артық болса, алғашқы қауым адамы олар туралы тек «көп» дейтін болған. Адам бірте – бірте ғана үшке дейін, одан кейін беске, онға дейін т.с.с. санап үйренген. Біздің он – оннан санауымыз бойынша он бірліктен бір ондық, он ондықтан бір жүздік, т.с.с құралады. Осындай он – оннан топтап санау тәсілін ондық санау жүйесі деп атайды. Балалар саусақтарын санап үйренетіні сияқты, адамдар да қоғам дамуының алғашқы кезеңдерінде санау үшін екі қолының он саусағын пайдаланған. Қазіргі күні де «саусақпен санағандай…» деп айтамыз. Осыдан ондық санау жүйесі шыққан. Басқа жерлерде, мысалы, Африкадағы тайпалар мен халықтар санағанда бір қолының бес саусағын ғана пайдаланған, олар бес – бестен санаған, оларда негізі бес саны болатын бестік санау жүйесі қалыптасқан. Бұл санау жүйесінде алғашқы бес санның ғана атаулары бар. Олар «алты» санын «бес – бір» деп атаған. Осы санау жүйесінің жұрнақтары Скандинавия халықтарының тілдерінде сақталған. Ең көне санау жүйесі – екілік санау жүйесі, ғалымдардың болжауы бойынша, бұл жүйені бір кездері мысырлықтар пайдаланған. Екілік санау жүйесінде небары сандық екі таңба ған бар, ол 1 мен 0 цифрлары. Бұл жүйенің артықшылығы – есептеулердің жеңіл орындалуы болса, кемшілігі – сандардың жазылуының шұбыраңқлығы қолайсыз. Қазіргі жылдам есептейтін электронды машиналард жасауға екілік санау жүйесі пайдаланылады. Жиырмалық санау жүйесінің жұрнақтары осы уақытқа дейін, қазіргі француз және грузин тілдерінде сақталып қалған: ол тілдерде «80» санынының орнына «төрт жиырма» делінеді. Бұл санау жүйесін қолданған халықтар санағанда қолдарының саусақтарын да, аяқтарының башайларына дейін пайдаланған. Бұл жүйемен Майя тайпасының индеецтері де пайдаланған. Ежелгі вавилондықтар алпыстық санау жүйесін пайдаланған. Бұл санау жүйесі – дүние жүзіндегі 1-ші позициялық санау жүйесі. Көп уақытқа дейін, ҮІІ ғасырға дейін ғылымда пайдаланылып келді, оның ізі әлі де сақталған.



ІІІ. Санау жүйесі

Сандар арнайы символдар – цифрлардың көмегімен жазылады.


Сандарды жазу және атау ережелері мен әдістерінің жинағы

  • санау жүйелері деп атайды.

Санау жүйесі дегенімізарнайы белгілер (цифрлар) жиынтығының көмегімен сандарды атау мен белгілеу тәсілі. Қазіргі кезде пайдаланылатын санау жүйелерінің позициялық және позициялық емес болып бөлінетін екі түрі бар.

Позициялық санау жүйесінде – санға енген ірбір цифрдың мәні, оның санда тұрған орнына (позициясына) байланысты. Мысалы, 757,7 санында бірінші 1-лік цифры 7 жүзді, екіншісі бірлікті, үшіншісі – бірдің оннан жетілік үлесін білдіреді, яғни мына өрнектің қысқартылған жазбасын білдіреді:

700+50+7+0,7=7*102+5*101+7*100+7*10-1=757,7.



Позициялық емес санау жүйесінде – санды құраған әрбір цифрдың мәні, оның санда тұрған позициясына байланысты емес. Ондай санау жүйенің мысалы ретінде римдік санау жүйесін келтіруге болады. Римдік жүйеде цифр ретінде латын әріптері қолданылады:

 


Сан

Римдік таңбасы

1

I

5

V

10

X

50

L

100

C

500

D

1000

M

Сан түсiнiгi – математикалық сияқты ақпараттануда да басты негiз. Егер математикада сандрды өңдеу әдiстерiне көп көңiл бөлiнетiн болса, онда ақпараттану үшiн сандарды ұсынуды пайдаланады. Себебi, тек солар ғана жадтың қажеттi қорын, жылдамдықты есептеуде жiберетiн қатенi анықтайды.

Санау жүйесi деп белгiлi бiр мөлшердегi таңбалардың көмегiмен сандарды өрнектеу мен жазудың жиынтығы.

Санау жүйесi екi топқа бөлiнедi .




позициялық позициялық емес.
1.Позициялық емес санау жүйесiнде әрбiр цифрдық мәнi оның алатын орнына байланысты емес. Мұндай санау жүйесiнiң мысалы ретiнде римдiк жүйенi алуға болады. Осы жүйеде жазылған ХХХ санында Х цифры кез келген позицияда 10-ды бiлдiредi. Позициялық емес санау жүйесiнде арифметикалық әрекеттердi орындау қиын болғандықтан, позициялық санау жүйесi қолданылады.
Мысал: римдік С.Ж.

I-1, V-5, X-10, L-50, C-100 D-500, M-1000


Позициялық емес СЖ құрылымы қарапайым .
Римдік санау жүйесін қарастыратын болсақ, I,X,V, L(50), C(100), D(500), M(1000) және т.б. белгілер жиынтығынан тұрады.
Мұнда бірнеше сан негізгі (I,X,V),

ал қалғандары осы негізгі сандарға қосу (VI, VII)

немесе алу (IV, IX) арқылы алынады.

Мысал: CCXXXII саны екі жүздіктен, үш ондықтан және екі бірліктен тұрады.
Римдік санау жүйесінде сандағы цифрлар солдан оңға қарай кемуі бойынша жазылса, онда олардың мәндері қосылады.

Мысал :

XXVII 10+10+5+1+1+=27

MMMD 1000+1000+1000+500=3500

MDCCLXVII

1000+500+100+100+50+10+5+1+1=1767

Ал санның жазылуында цифрдың мәні өзінің оң жағындағы цифрдан кем болса, онда ол сан оң жақтағы саннан азайтылады.
IV 5-1=4

XIX 10+(10-1)=19

MCMXCIV

1000 + (-100+1000) + (-10+100) + (-1+5)=1994.



MCMXCVIII

1000+ (-100+1000) +(-10+100) + 5+1+1+1=1998.


2. Позициялық санау жүйесiнде цифрдық мәнi оның орнына байланысты болады. Позициялық мән санау жүйесiнiң негiзiнде дәрежесi арқылы анықталады. Позициялық санау жүйесiнiң негiзi деп қолданылатын цифрлар санын айтады.

Позициялық санау жүйелері ЭЕМ-да қолданылады.
Мысал: 759,310

мұндағы 10 - санның негізі 10


Позициялық санау жүйесінде сан коэффициенттерінің санау жүйесінің негіз дәрежесіне көбейтінділерінің қосындылары түрінде беріле алады.

Санау жүйесi төртке бөлiнедi:



  1. ондық санау жүйесi;

  2. екiлiк санау жүйесi;

  3. сегiздiк санау жүйесi;

  4. оналтылық санау жүйесi.



Ондық санау жүйесi


Көне мысырлықтар ертеден ондық санау жүйесін қолдануды білген, бірақ оның әрбір орындағы сандардың жазылу ережесін білмеген, мысалға 111-ді жазу үшін, 1-ді үш рет қайталап жазбаған, керісінше әр орындағы 1-лерді әр түрлі белгілермен бейнелеген. Көне мысырлықтардың негізгі амалы қосу болған, ал көбейту қосудың қайталанып келуі ретінде есептелген. Олар бір айнымалысы бар бірінші дәрежелі теңдеулерді шеше алған, әрі арифметикалық, геометриялық прогрессиялардың қарапайым есептерін шеше алатын болған.


деген теңдеудің иероглифтермен жазылып берілуі.



Ондық санау жүйесі жаңа эраның VI ғ. шамасында Индияда пайда болған деп есептеледі. Санау жүйесінің негізі -10.

Ондық санау жүйесінде санда жазу үшін он цифр қолданылады – 0,1,2,3,....9, бірақ мағананы тек қана цифр ғана емес оның тұрған орны да береді.


Ондық санау жүйесі

мысалы, 1062 – ондық санау жүйесінің саны




і

3

2

1

0

aі

1

0

6

2

аты

мыңдықтар

жүздіктер

ондықтар

бірліктер

x=1

103

102

101

100

Хі

1000

100

10

1

1062

1*1000 +

0*100 +

6*10 +

2*1

1062

1000 +

0 +

60 +

2

Ондық санау жүйесiнегi сандарды өрнектеу үшiн 0-9 дейiнгi араб цифрлары қолданылады:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Мыс: 234=200+30+4

2 жүздiктер разрядынан, 3 ондықтар разрядынан, 4-бiрлiктер разрядынан тұрады.

Ондық жүйе позициялық болып табылады, өйткенi ондық санды жазуда цифрдың мәнi оның позициясына немесе санда орналасқан орнына байланысты. Санның цифрына бөлiнетiн позицияны разряд деп атайды.

Егер 234 санын қосынды түрiнде былай жазамыз: 2*102+3*101+4*100 Бұл жазбадағы 10-саны санау жүйесiн негiздеушi. Санның әрбiр цифры үшiн 10 негiздеушi цифрлың орнына байланысты дәрежеленедi және осы цифрға көбейтiледi.

Бiрлiктер үшiн – 0; ондықтар үшiн – 1, жүздiктер үшiн – 2-ге тең негiздеушi дәреже және т.с.с

Егер сан ондық бөлшек болса, ол терiс дәрежеде жазылады. Мыс: 38,956=3*101+8*100+9*10-1+5*10-2+6*10-3

Компьютерде ондық емес екiлiк санау жүйесi, яғни екi негiздеушiсi бар санау жүйесi қолданылады.
Көбейту ережесі
Бұл жағдайда берілген бөлшек санды санның бөлшек бөлігін және шыққан көбейтінділерді р негізіне тізбектеп көбейту қажет. Шыққан көбейтіндінің бүтін бөліктері берілген санның р негізді жүйедегі цифрларын береді.
Көбейтуді ізденімді р негізді сандар салмағы берілген q негізді санның кіші разряды салмағынан кем аз разрядтарға дейін жүргізу керек. Жалпы жағдайда бұл үрдіс шексіз болуы мүмкін. Сондықтан алынған код көп жағдайда жуық сан болады. Тәжірибеде осы операциялар үтірден кейін берілген цифр саны алынғанша орындалады.

Оң ондық бөлшекті екілік санау жүйесіне ауыстыру үшін бөлшекті

2-ге көбейту қажает. Көбейтіндінің бүтін бөлігі екілік бөлшектің үтірден кейінгі бірінші цифры ретінді алынады. Екілік бөлшектің келесі цифры ретінде осы көбейтіндіні алады, ал көбейтіндінің бөлшек бөлігін қайтадан 2-ге көбейтеді және т.с.с.

Мысал 6. Ондық бөлшекті А = 0,5625 екілік санау жүйесіне ауыстыру (q2=2)
0, 5625*2
1 1250*2
0 2500*2
0 5000*2
1 0000 Жауабы: 0,5625 10 – 0,10010 2

Мысал 7 :

line 4 0,375*2=0,75

0,75*2=1,5

0,5*2=1

0,37510=0,0112

Екiлiк санау жүйесi

Екілік санау жүйесін ЭЕМ жасаушы инженер-конструкторлар ойлап шығарды деген жаңсақ пікір. Екілік санау жүйесін компьютерлердің пайда болуынан көп уақыт бұрын (XVII-XIX ғасырлар) математиктер мен философтар ойлап шығарған.


Атақты неміс ғалымы Лейбниц былай деп жазған: «Екілік сандармен есептеу – ғылым үшін негізгі болып табылады және жаңа ғылыми жаңалықтар ашуға жол береді... Сандарды 0 мен 1 сияқты қарапайым түпнегізге келтіргенде, барлық жерде таңғажайып тәртіп пайда болады». Кейіннен қолданыс таппаған екілік жүйе ұмытылды, тек қана 1936-1938 жылдары электронды схемаларды құрастыру кезінде американдық инженер-математик Клод Шеннон оған керемет қолданыс тапты.

Екiлiк жүйеде кез келген сан екi 0 және 1 цифрларының көмегiмен жазылады және екiлiк сан деп аталады. Екiлiк санның әрбiр разрядын (цифрын) бит деп атайды. Кез келген санау жүйесiнiң негiзiн осы санау жүйесiнде қолданылатын цифрлар санын анықтап ЭЕМ-де ақпаратты өрнектеу үшiн екiлiк жүйе қолданылады. Екiлiк жүйеде қосындыда негiздеушi ретiнде 2 санын қолданады. Мысалы, 1001,11 екiлiк сан үшiн қосынды мына түрде болады:

1*23+0*22+0*21+1*20+1*2-1+1*2-2

Бұл қосынды ондық сан үшiн жазылған қосындының ережесi бойынша жазылады.

Екiлiк жүйенiң маңыздғы құндылығы – цифрды ұсыну ыңғайлылығы және компьютер аппаратурасының қарапайымдылығы.

Екiлiк жүйенiң кемшiлiгi – мұнда санды жазу үшiн 0 мен 1 цифрлары көп қажет болады. Бұл адамның екiлiк санды қабылдауын қиындатады. Мысалы 156 ондық санының екiлiк жүйедегi түрi мынадай:10011100. Сондықтан екiлiк жүйе әдетте компьютердiң “iшкi қажеттiлiгi” үшiн қолданылады, ол адамның компьютермен жұмыс iстеуi үшiн үлкен негiздеуiшi санау жүйесi таңдалды. Бұл сегiздiк және он алтылық жүйелер. Осы екi жүйелердiң және екiлiк жүйенiң арасында санды бiр жүйеден басқаға ауыстыруды жеңiлдететiн қарапайым байланыс бар.



Екілік санау жүйесі
Мысалы, &1010 – екілік санау жүйесіндегі сан


a3*x3



a3a2a1a0 =

+ a2*x2

+ a1*x1

+ a0*x0



i

3

2

1

0

ai

1

0

1

0

x=2

23

22

21

20

xi

8

4

2

1

&1010

1*8 +

0*4+

1*2+

0*1

&1010

8 +

0 +

2 +

0

Екілік санау жүйесінің негізгі жағымды жағы - аппараттық қолданысқа барынша ыңғайлы арифметика амалдарының орындалу қарапайымдылығы. Екілік санау жүйесі компьютерге ыңғайлы болғанымен, адам үшін жазылуының ұзындығы мен еске сақтауға қиындығынан қолайсыз.



Сегiздiк санау жүйесi

1950-70 жылдарда бағдарламалауда кең қолданылған.

Сегіздік санау жүйесі санды сегіз цифрдың (0,1,....7.) көмегімен көрсетеді (негізі – 8).

Мысал:



5368= 5*82 + 3*82 + 6*80 = 5*64 + 24 + 6 = 35010

53610 = 3508

8 саны 2 санының дәрежесі болатындықтан сегіздік санау жүйесін екілік сандарды жазудың ықшам нұсқасы ретінде қарастыруға болады.

Сегiздiк санау жүйесi, яғни сегiздiк негiздеушi санау жүйесi, сегiз цифрдың көмегiмен санды көрсетедi: 0,1,2,3,4,5,6,7.

Мысалы, 356 санын негiздеушi 8 қосындысы түрiнде жазайық:

356=3*82+5*81+6*80

Он екілік санау жүйесi


Он екілік санау жүйесі ертеректе кең қолданыста болған.Оның пайда болу тарихы да саусақпен санауға байланысты. Мұнда бас бармақты және қалған төрт саусақтың фалангаларын санаған : олалдың саны -12.

Он екілік санау жүйесінің элементтері Англияда әлі күнге дейін сақталып қалған ( 1 фут 12 дюйм ), 1 шиллинг (12 пенс).

Бұл санау жүйесімен біз тұрмыста жиі кездесеміз : асханалық және шай сервистерінің саны 12 ,т.с.с.
Оналтылық санау жүйесi

Оналтылық санау жүйесiнде санды жазу үшiн ондық санау жүйесiнiң цифрлары 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 және жетпейтiн алты цифрды белгiлеу үшiн ондық сандарының мәнi 10,11,12,13,14,15 болатын сәйкес латын алфавитiнiң алғашқы үлкен әрiптерi: A,B,C,D,E,F қолданылады. Сондықтан оналтылың сандарда, мысалы, 3Е5А түрi болуы мүмкiн. Осы санды негiздеушi 16 қосындысы түрiнде жазайық:

3Е5А=3*163+Е*162+5*161+А*160

Мысал, 3Е5А1 санын негіз қосындысы түрінде жазсақ, мынаны аламыз:

Мысал: ондық жүйедегі 891 санын 16-лық санау жүйесіне көшіру үшін:

891 : 16 =55 қалдық 11 (16-лық санау жүйесінде 11=В)

55 : 16 = 3 қалдық 7

3 : 16 = 0 қалдық 3 Жауабы: 37В16

Сандардың қандай сандық жүйеде тұрғанын бiлу үшiн, оның төменгi жағына индекс жазылады және индекске қандай жүйеде екенi көрсетiледi.




Алпыстық санау жүйесi

Алғашқа позициялық санау жүйесі ертедегі Вавилонда (б.ғ. д. 2000 ж.) құрылған, ол негізі 60-қа тең алпыстық санау жүйесі болған. Айта кететіні, уақытты біз осы кезге дейін негізі 60-қа тең өлшеммен есептейміз.Сол сияқты шеңберді 360 бөлікке бөлеміз.

Негіздері q=2, q=8 және q=16 болатын санау жүйелері арасындағы байланыс екі теорема арқылы анықталады.

Теорема 1.

Негізі q=2n болатын санау жүйесінде бүтін екілік санды жазу үшін, берілген екілік санды оңнан солға қарай (ең кіші разрядынан үлкеніне қарай) әрбірінде n цифр болатындай топтарға (грани) бөлу керек. Одан кейін осы топтың әрқайсысын n разрядты екілік сан ретінде қабылдап оны негізі q=2n болатын санау жүйесінің цифры етіп жазу.

Мысал: 101100001000110010 екілік санын оған сәйкес келетін 8-дік санау жүйесінің (басқаша айтқанда негізі q = 23 ) санымен ауыстыру.

101 100 001 000 110 010

5 4 1 0 6 2

Сонымен, екілік 101 100 001 000 110 010 саны

сегіздік санау жүйесінде 541 062




Теорема 2.
Негізі q=2n болатын санау жүйесінде жазылған бүтін санды оған сәйкес екілік санау жүйесіндегі санмен ауыстыру үшін, берілген санның әрбір цифырын n разрядты екілік санмен ауыстыру жеткілікті.

Мысал: 3 5 6 7 сегздік санын өзіне сәйкес екілік санмен ауыстыр

3 5 6 7
011 101 110 111 3 5 6 7 - 011 101 110 111

Сонымен, екілік санды оған сәйкес сегіздік санға ауыстыруды ешқандай есептеулерсіз, механикалық түрде жүзеге асыруға болады.

0 1 2 3 4 5 6 7

000 001 010 011 100 101 110 111


Сандардың сәйкестік кестесі


Жүйе негізі

Жүйе цифрлары

Жазылу мысалдары

2

01

&101011111

10

01 2 3 4 5 6 7 8 9

351

16


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b c d e f

10 11 12 13 14 15





255 = &11111111 = #ff

Екілік цифрлардың үштік топтарынтриада деп атайды.


Мысал 13.

Екілік 1100101101 санын үштен топқа бөлгенде, 001 100 101 101 сияқты жазуға болады және әрбір топты сегіздік цифрдың біреуімен ауыстырып жазғанда, 1455 сегіздік санын аламыз.




Цифр-

лар

8-дік с.ж

16-лық с.ж.

0

000

0000

1

001

0001

2

010

0010

3

011

0011

4

100

0100

5

101

0101

6

110

0110

7

111

0111

8

 

1000

9

 

1001

A

 

1010

B

 

1011

C

 

1100

D

 

1101

E

 

1110

F

 

1111

Санды екілік санау жүйесінен сегіздік не он алтылық жүйеге ауыстыру үшін, кестені пайдаланамыз:


11111000100




Оңнан солға қарай үш үштен бөлеміз

Енді кестенің көмегімен жауабын жазамыз.

Мысалы, екінші бағандағы 011 саны, біріншідегі

3 санына сәйкес (эквивалентті)

сол сияқты 111 = 7; 000 = 0; 100 = 4

жауабы:

(11111000100)2 = (3704)8

Санау жүйелеріндегі түрлендірулер.
Компьютер екілік кодтармен жұмыс жасайды. Ал пайдаланушы ондық, он алтылық кодтармен жұмыс жасайды. Сондықтан қандай бір q негізді санау жүйесіндегі А санын р негізді санау жүйесіндегі А санына түрлендіру және кері түрлендірулер қажет болады.

Мұндай түрлендірулер негізгі екі әдіспен жүзеге асады:

ауыстыру ережелері арқылы;

бөлу, көбейту ережелері арқылы.



Ауыстыру ережесі бірінші формуланың көмегімен жүзеге асырылады және көбінесе, ондық емес санау жүйесінен ондық санау жүйесіне көшу үшін қолданылады. Ауыстыру ережесі санның жаңа жүйедегі кодымен арифметикалық операциялар жүргізуді ескертеді.

Бөлу, көбейту ережелері.

Көбінесе ондық санау жүйесінен басқа санау жүйесіне көшу үшін қолданылады. Бұл ереже санның алғашқы q негізді жүйедегі кодымен арифметикалық операциялар жүргізуді ескертеді. Бөлу ережесі бүтін санды түрлендіру үшін, көбейту дұрыс бөлшек санды түрлендіру үшін қолданылады.


Б ө л у е р е ж е с і.

Ол үшін берілген q негізді санды және шығатын бөлінділерді р негізіне тізбектеп бөлу қажет. Бөлуді бөлінді р негізінен кіші болғанша жалғастыру қажет. Санның жаңа р негізді жүйедегі орнын алу үшін ең соңғы бөліндіден бастап, бөлуге кері бағытта қалдықтарды тізбектеп жазу қажет.

Ондық жүйедегі бүтін санды немесе санның бүтін бөлігін екілік жүйеге көшіру үшін, бөлінді 0-ге немесе 1-ге тең болғанша бөлу керек. Ең соңғы бөліндіден бастап, қалдықтарды тізбектеп кері бағытта жазғанда шыққан сан – берілген санның екілік жүйедегі коды болып табылады.
Мысал: 25/2=12 (қалдық 1)

12/2=6 (қалдық 0)

6/2=3 (қалдық 0)

3/2=1 (қалдық 1)

1/2=0 (қалдық 1)

2510=110012
Ондық 25 санын екілік санау жүйесіне көшіру

Тексеру:
1* 24 + 1*23+ 0*22 + 0*21 + 1*20 =
1*16 + 1*8 + 0*4 + 0*2 + 1*1 =
16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 2

Сандарды бiр санау жүйесiнен басқа санау жүйесiне ауыстыру

Ондық санау жүйесiндегi сандарды басқа санау жүйелерiне ауыстыру


Ондық санау жүйесiндегi санды екiлiк санау жүйесiне ауыстыру үшiн санды 2-ге бөлу керек. Алынған бөлiндi екiден кiшi болғанша бөлiнедi де, қалған қалдықты керi бағытта жазады. Мыс:

129:2=64 (1) 12910=100000012

64:2=32 (0)

32:2=16 (0)

16:2=8 (0)

8:2=4 (0)

4:2=2 (0)

2:2=1 (0)

1:2=0 (1)


Ондық санау жүйесiндегi санды сегiздiк санау жүйесiне ауыстыру үшiн екiлiк жүйесiне ауыстырған әдiстi қолданады. Бiрақ бұл кезеде санды сегiзге бөледi. Мыс:

129:8=16 (1) 12910=2018

16:8=2 (0)

2:8=0 (2)
Ондық санау жүйесiндегi санды оналтылық санау жүйесiне ауыстыру үшiн тек санды сегiздiң орнына он алтыға бөлу керек. Мыс:

129:16=8 (1) 12910=8116

8:16=0 (8)



Басқа санау жүйесiндегi сандарды ондық санау жүйесiне ауыстыру


Екiлiк санау жүйесiндегi санды ондық санау жүйесiне аудару:

100000012=1*27+0*26+0*25+0*24+0*23+0*22+0*21+1*20=128+1=12910
Сегiздiк санау жүйесiндегi санды ондық санау жүйесiне аудару:

2018=2*82+0*81+1*80=128+1=12910


Оналтылық санау жүйесiндегi санды ондық санау жүйесiне аудару:

8116=8*161+1*160=128+1=12910


Екiлiк санау жүйесiндегi санды сегiздiк және он алтылық санау жүйелерiне ауыстыру

Екiлiк жүйедегi санды сегiздiк жүйеге аудару үшiн екiлiк санды оңнан солға қарай цифрларды үштен жеке-жеке топқа бөледi. Содан кейiн цифрлардың әрбiр тобын кестеде көрсетiлген цифр түрiнде жазады.




Екiлiк жүйе

Сегiздiк жүйе

000

0

001

1

010

2

011

3

100

4

101

5

110

6

111

7


Мыс: 1001011012=4558


Екiлiк жүйедегi санды оналтылық жүйесiне аудару сегiздiкке ұқсас жүредi, тек айырмашылықы әрбiр түрленетiн екiлiк сан оңнан солға қарай цифрларды төрттен жеке-жеке топқа бөлiп, цифрлардың әрбiр тобын кестеде көрсетiлген цифр түрiнде жазады.



Ондық жүйе

Екiлiк жүйе

Оналтылық жүйе

0

0000

0

1

0001

1

2

0010

2

3

0011

3

4

0100

4

5

0101

5

6

0110

6

7

0111

7

8

1000

8

9

1001

9

10

1010

A

11

1011

B

12

1100

C

13

1101

D

14

1110

E

15

1111

F


Мыс: 0001001011012=12D16


Екiлiк сандармен орындалатын арифметикалық әрекеттер
Екiлiк санау жүйесiнде арифметикалық әрекеттер ондық жүйедегi ереже бойынша орындалады, тек қана айырмашылығы – санау жүйесiнiң негiздеушiсi екiге тең және тек екi цифр қолданылады.

Қосу


Екiлiк санды қосу тасымалдау есебiмен сәйкес разрядтар қосумен жүредi.

Екi екiлiк санды қосу кезiнде мынадай төрт ереже қолданылады:

0+0=0

0+1=1


1+0=1

1+1=10 бiрлiктердi көршi разрядқа тасымалдайды

М: 101 мен 11 екi екiлiк санды қосайық.

+

1000

Қосу – екiлiк арифметикадағы маңызды амал.



Компьютердегi екiлiк сандармен жүзеге асатын басқа амалдар қосудың көмегiмен орындалады.

Азайту


Екi екiлiк санды азайту кезiнде мынадай төрт ереже қлданылады:

0-0=0


0-1=1 бiрлiктi көршi үлкен разрядтан алады

1-0=1


1-1=0
М: 1010 мен 101 екiлiк сандарының айырмасын табайық.

-

101

Көбейту


Екi екiлiк санды көбейту ондық сандарды көбейтумен бiрдей жүредi:

М: 1001 мен 101 екiлiк сандарын көбейтейiк.

*

1001


0000

1001

101101


Қорытынды:

Қазіргі уақытта дүние жүзінің барлық халықтары дерлік ондық санау жүйесін пайдаланады. Ондық санау жүйесінде 999 миллионға дейінгі барлық натурал сандарды атау үшін тек 13 сөз ғана қолданылады: бір, екі, үш, төрт, бес, алты, жеті, сегіз, тоғыз, он, жүз, мың, миллион. Жылдам есептеу машиналарында екілік санау жүйесі қолданылуымен байланысты, қазіргі уақытта ондық санау жүйесімен қатар екілік санау жүйесі де практика жүзінде кеңінен қолданылып жүр.



Пайдаланылған әдебиеттер тізімі:


1. Т.Н. Мираков Развивающие задачи на уроках математикив V-VIII классах.- Львов,1991 г.
2. М.Н. Ильясов Сборник избранных задач математических олимпиад школьников.- Павлодар, 2009
3. А.А. Леман, В.Г. Болтянский Москвада өткізілген математикалық оимпиадалараның есептер жинағы.- Алматы,1977
4. Т.Т. Абылайханов, Т.Т. Абылайханов Математика есептері.- Алматы, 1995 ж.
5. А.Г. Цыпкин Справочник по математике.- Москва,1984 г.
6. Көбенқұлов Н. Алгебра 8 сынып.- Алматы, 1996 ж.
7. Р. Мұқаева, Р. Ыдырысова Алгебра 9 сынып.- Алматы, 1993 ж.
8. 2010 ж. Павлодар облысынң математика пәні мұғалімдерінің олимпиадасының есептері.
Каталог: wp-content -> uploads -> lessons
lessons -> Қалалық көркемсурет лицейі – юнеско клубы «Графика және оның түрлері»
lessons -> Сабақтың тақырыбы : Кинотеатрға барамыз. Сабақтың мақсаты
lessons -> Сабақтың тақырыбы: Түбінде адам болатын бала "Менің атым Қожа"
lessons -> Сабақ№ Сыныбы Күні
lessons -> Сабаќ жоспары бекітемі
lessons -> Сабақтың тақырыбы: Есептер шығару. Сабақтың мақсаты: Білімділігі
lessons -> Ќайырбек Оразов атындаѓы
lessons -> «Мектепке дейінгі және бастауыш оқыту теориясы мен әдістемесі» кафедрасы
lessons -> Диктант 5 сынып


Достарыңызбен бөлісу:


©kzref.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет