Соприкосновение линейчатых развертывающихся поверхностей А. С. Нитейский, К. Л. Панчук



жүктеу 90.57 Kb.
Дата14.05.2019
өлшемі90.57 Kb.

Соприкосновение линейчатых развертывающихся поверхностей
А.С. Нитейский, К.Л. Панчук

ОмГТУ, каф. ИГ и САПР, г.Омск

В работах [1,2] были представлены результаты исследования соприкосновения косых (неразвертывающихся) линейчатых поверхностей по их общей образующей прямой.

Рассмотрим применение этих результатов для соприкасающихся линейчатых развертывающихся поверхностей (ПЛР).

Уравнение линейчатой поверхности может быть выражено в дуальной векторной форме [3]:

, ω2=0, где - единичный вектор образующей прямой; - момент вектора относительно начала координат системы отнесения; - дуальный единичный вектор с координатным представлением , при этом ; tвещественный параметр T0 tT1 . Полагаем, что дуальная векторная функция обладает на отрезке изменения параметра т непрерывными производными любого порядка. В центральной точке А образующей линии линейчатой поверхности существует ортонормированный триэдр с дуальными ортами [3]:

; ; .

Деривационные уравнения триэдра имеют известный вид [3]:



, (1)

Дуальная дуга образующей ЛП зависит от вещественного параметра .

Пусть для другой ПЛР с уравнением , ω2=0 имеют место геометрические предпосылки, аналогичные указанным для первой . Если разложить дуальные векторные функции и в ряд Тейлора по степеням приращения ∆t их образующих t0 и то, учитывая существование функции , можно получить дуальный вектор расхождения соприкасающихся ПЛР в их общей образующей: , представимый также в виде разложения в ряд Тейлора. Вектор , характеризующий близость обеих ЛП в окрестности их общей образующей, определяется двумя образующими и , каждая из которых смещена по своей ЛП на одну и ту же дуальную дугу от общей образующей.

Если и - поверхности ПЛР, но не цилиндрические и не конические, то параметры Р иих образующих равны нулю и поэтому элементы их дуальных дуг ∆s и - вещественные числа s0 и . Стрикционные линии рассматриваемых поверхностей будут их ребрами возврата. В этом случае, например для ПЛР , ее образующая будет касательной в точке А ребра возврата, - главной нормалью и - бинормалью, поскольку по определению определяет ось вещественного угла , принадлежащего соприкасающейся плоскости ребра возврата (А), где k и - соответственно кривизна и элемент дуги линии (А).

Для соприкосновения порядка n=1 из условий обеспечения данного порядка:

;;, (1)

с учетом следует [1]:



.

В итоге получаем Поскольку , то получаем



(2)

Таким образом, соприкосновение n = 1 для двух ПЛР приводит к совпадению их триэдров и к выполнению равенства (2). Если к первым двум равенствам (1) добавить ; то получим условия обеспечения соприкосновения второго порядка двух линейчатых поверхностей. Поскольку имеют место уравнения



; , (3)

то в общей образующей соприкасающихся ПЛР выполняются условия:



;;, (4)

из которых следуют равенства: ; ; , в которых



и - элементы дуальных дуг ЛП, образованных бинормалями и соответственно стрикций (ребер возврата) соприкасающихся ПЛР, при этом .

Из дифференциального уравнения стрикции линейчатой поверхности [3]

с учетом условий для ПЛР: h1=0, q1≠0, следует уравнение ее стрикции . Из него следует . Таким образом, с произвольным знаком получаем:



(5)

Из с учетом (5) можно получить:



(6)

Из третьего дуального равенства (4) следуют вещественные равенства что позволяет записать



(7)

Учитывая (2), получаем итоговый результат



(8)

Для элемента дуальной дуги, образованной перемещением бинормали , можно записать [3] дуальные равенства: , из которых, по разделению главных и моментных компонент, на основании (7) следует:



;

Таким образом, имеет место следующий результат:



(9)

Элемент дуальной дуги бинормали ребра возврата ПЛР может быть выражен известным образом [4]:



(10)

где – кручение линии (А) в точке А. Поскольку имеет место результат (9), то следует



(11)

т.е. кручения ребер возврата (А) и () соприкасающихся ПЛР в центральных точках их совмещенных образующих также равны. Из (10) и предыдущих результатов, следует: что позволяет получить следующие результаты: Для параметра элемента дульной дуги имеют место соотношения



(12)

что приводит с учетом (11) к равенству



(13)

Определим теперь элемент дуальной дуги, описываемой главной нормалью линии (А) на основании дуального уравнения [4]



(14)

Разделяя в нем главную и моментную компоненты и учитывая вышеприведенные результаты, получим:



После подстановки в это уравнение ранее полученных результатов, а именно , приходим к следующей формуле:

Из формулы (14), с учетом ранее доказанных равенств и , следует

(15)

Для параметра дуального элемента на основании (8) и (11) можно записать:



(16)

Для дуальной кривизны линейчатой поверхности в ее образующей известна дуальная формула [4]




Рис.1 К соприкосновению двух ПЛР

, (17)

в которой – дульный угол между образующей поверхности ПЛР и соответствующей ей прямой, определяемой единичным винтом , представляющем собой главную часть единичного дуального вектора (Рис. 1).

Если подставить в формулу (17) выражение элементов и , то получим уравнение

(18)

из которого, с учетом (8) и (11), следует



(19)

Если же деривационные уравнения триэдров линейчатой поверхности представить в дуальной координатной форме, то для случая ПЛР получим уравнения



(20)

где тройки {x,y,z}, {x1,y1,z1} и {α,β,γ} суть координаты единичных дуальных векторов , исоответственно.

Из следует

Из равенства с учетом следует



где - единичный дуальный вектор главной нормали поверхности ПЛР для ее образующей прямой . С учетом изложенного и уравнений (20) получаем: где Таким образом, у соприкасающихся ПЛР вдоль их общей образующей совмещены триэдры эволют первого порядка:

Из равенства следует . По этому уравнению можно определить вторую производную

(21)

(21) по существу представляет собой преобразованное выражение среднего условия (4). Определим производную дуальной кривизны линейчатой поверхности со стрикционной линией () исходя из (17) и (21):



.

На основании (21) следует:



;.

Предшествующее уравнение для с помощью подстановок выражений для и можно последовательно привести к окончательному виду:



(22)

Очевидно, что , но Из формулы (17) и следует равенство



Учитывая, что выполняются условия из последнего равенства получаем Но представляет собой дуальный изгиб δ поверхности ПЛР в ее образующей [4]. Следовательно, выполняется равенство



(23)

из которого следует, что соприкасающиеся ПЛР в их общей образующей имеют равные дуальные изгибы. Поскольку для линейчатой поверхности в ее образующей линии



имеет место формула [4]: где - дуальный угол, соответствующий эволюте () ПЛР (Рис.1), то из следует

(24)

что позволяет утверждать о совмещении триэдров эволют второго порядка соприкасающихся ПЛР:

Предположим, что трехгранники стрикций (А) и () двух соприкасающихся ПЛР в точке А= совмещены, т.е. . Можно показать, что этих условий достаточно для получения соприкосновения n = 1 данных ПЛР. Имеют место равенства и .

Если совпадают трехгранники стрикций двух соприкасающихся ПЛР и имеет место условие , то из следует Нетрудно показать, что в этом случае не нарушаются условия соприкосновения n = 1 и не выполняются условия соприкосновения n = 2.

Если выполняется условие при совпадении трехгранников стрикций соприкасающихся ПЛР, то получаем равенство и совмещены дуальные триэдры эволют первого порядка Но поскольку в исходных условиях отсутствует задание непрерывного изменения дуальной кривизны ε у соприкасающихся ПЛР, то их соприкосновение не является полным для n = 2, поскольку не выполняется одно из условий (4) этого соприкосновения. На основании (17) можно получить

(25)

Следовательно, для полного выполнения условий соприкосновения n = 2 двух ПЛР в их общей образующей необходимо существование в этой образующей значения дуального изгиба Значение же последнего, как следует из (25), зависит от кривизны k, дуального угла R и от дуальной величины , которая, согласно (18), определяется k и χ, их производными и , и значениями этих производных в точке А ≡ двух стрикций (А) и () – ребер возврата соприкасающихся ПЛР.

На рисунках 3 и 4 приведены иллюстрации примеров стыковки торсовых поверхностей, образующих линейчатые развертывающиеся полосы и ребра возврата которых представляют собой сегменты пространственного кусочного сплайна. В качестве сегментов выбраны эрмитовы сплайны [5]. Расчет полос выполнен в системе компьютерной алгебры Maple.



Рис. 3 Линейчатая полоса первого порядка гладкости стыковки

сегментов ПЛР



Рис. 4 Замкнутая линейчатая полоса

полного второго порядка гладкости

стыковки сегментов ПЛР




Литература:
1. Панчук, К.Л. Вопросы теории соприкасающихся линейчатых поверхностей / К.Л. Панчук. – Омск: ОмПИ, 1987. – 11 с. – Деп. в ВИНИТИ 22.05.87, №4496 – В87.

2. Панчук, К.Л. О соприкосновении линейчатых поверхностей / К.Л. Панчук // Начертательная геометрия и машинная графика в практике решения инженерных задач: межвуз. темат. сб. науч. тр. – Омск, 1987. – С. 62-66.

3. Бляшке, В. Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна. В 2-х т. Т.1. Элементарная дифференциальная геометрия [Текст] / В. Бляшке. – М.; Л.: Объед. науч.-техн. изд-во НКТП СССР, 1935. – 330с.

4. Зейлигер, Д. Н. Комплексная линейчатая геометрия [Текст] / Д. Н. Зейлигер. – М.; Л.: Гос. техн.-теорет. изд-во, 1934. – 196с.



5. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука,. 1980. 352 с.

Достарыңызбен бөлісу:


©kzref.org 2017
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет