Тік бұрышты үШБҰрышқа байланысты әр түрлі қиындық деңгейдегі есептерді шешу жолдарын үйретудің Әдістемелік ерекшеліктері садықов Ж. С., Әбдібекова К. Ж., Дауытова Ж.Қ



жүктеу 114.03 Kb.
Дата22.04.2019
өлшемі114.03 Kb.

ТІК БҰРЫШТЫ ҮШБҰРЫШҚА БАЙЛАНЫСТЫ ӘР ТҮРЛІ ҚИЫНДЫҚ ДЕҢГЕЙДЕГІ ЕСЕПТЕРДІ ШЕШУ ЖОЛДАРЫН ҮЙРЕТУДІҢ ӘДІСТЕМЕЛІК ЕРЕКШЕЛІКТЕРІ

Садықов Ж.С., Әбдібекова К.Ж., Дауытова Ж.Қ.

2010 ж.

Жоғары дәрежелі білім алуға ұмтылған жастардың барлық мамандық бойынша тестілік сынаққа көшуі, мұғалімдер алдына жаңа талап қойып отыр. Әсіресе 30 есепті 45 минут ішінде шығаруға мыңнан бір ғана оқушының шамасы келіп жүр. Осы мәселені шешу мақсатымен әл-Фараби атындағы ҚазҰУ-дың дайындық факультетінде қиындығы әртүрлі деңгейдегі есептерді шешудің тиімді жолдарын анықтау мәселесімен математика пәнінің оқытушылары көптен бері айналысып жүр. Төменде тік бұрышты ұшбұрышқа байланысты есептерді шешудің әр түрлі жолдары, әдістемелік нұсқаулар, біздің ойымызша есептерді үш деңгейде топтау принципі қарастырылды. Біріншіден, үшбұрышты шешу (біздің жағдаймызда тік бұрышты үшбұрышты) мағынасын оқушыларға жеткізу. Үшбұрыштың негізгі элементтері – үш қабырғасы және үш бұрышы, қосалқы элементтері - медиана, биіктік, биссектриса, аудан, үшбұрышты іштей және сырттай сызылған шеңбердің радиустері, қабырғаларының жанасу нүктесінде қандай бөліктерден тұратыны т.б.

Бірінші деңгейдегі қиындыққа жататын есептер: берілген екі катеті, бір катеті мен гипотенузасы, бір қабырғасы және бір сүйір бұрышының мәні бойынша үшбұрыштың барлық қалған элементтерін табу.

Екінші деңгейдегі есептер: іштей сызылған шеңбердің радиусы және үшбұрыштың ауданы, іштей сызылған шеңбердің радиусы мен жарты периметрі, катеттердің гипотенузадағы проекцияларының мәндері, екі катеттің қосындысы мен іштей немесе сырттай сызылған шеңбердің радиустері, биіктігі мен бір катеті берілген жағдайда үшбұрыштың кез келген басқа элементтерін анықтау.

Үшінші деңгейдегі есептер: гипотенузаның іштей сызылған шеңбермен жанасу нүктелеріндегі бөліктері, іштей сызылған шеңбердің центрінен сүйір бұрыштарының төбелеріне дейінгі ара қашықтықтары, тік бұрыштың төбесінен гипотенузаға түсірілген биіктіктің табан нүктесінен оның катеттеріне дейінгі ара қашықтықтары, үшбұрыштың ішіндегі әртүрлі кесінділердің қиылысу нүктелерінде қандай бөліктерге бөлінетіні, немесе сол кесінділердің қиылысуынан пайда болған үшбұрыштың ауданы берілген жағдайда және оларға керісінше берілген есептерден олардың қалған элементтерін анықтау.

Ескерту. Есептерді қиындығына сәйкес әртүрлі топқа бөлу біздің елімізде бұрыннан белгілі. Басқа авторлармен салыстырғанда ұсынып отырған жолымыз оқушыларға ыңғайлы, тиімдірек. Алғырлы жастардың бірталайы өте күрделі есептерді шешудің, «жеңіл» жолдарын табатындары да белгілі.

Есепті шығара білуге үйретуде оқушыларға айтар кеңестеріміз:



  • жұмыс орнында көңіліңді бөлетін артық заттар жатпасын. Алдыңда жұмыс дәптерің, қалам, сызғыш пен циркуль болсын.

  • орындығыңа ыңғайланып, денеңді еркін ұстап, «рахаттанып» отыр. Деміңді ішіңе зорлап сақтама;

  • ең алдымен есептің мазмұнын дұрыстап оқып шық; бірден түсінбесең қайталап оқы;

  • есепте берілген және белгісіз шамаларды анықта; бірден көзге түсетін олардың арасындағы байланыстарды ізде;

  • осыған ұқсас есепті бұрын шығарғаныңды (сыныпта, немесе үй тапсырмасы ретінде) есіңе түсір;

  • бірінші деңгейдегі есептерді жылдам, мүмкіндігінше тиімді формулаларды пайдаланып шығара білуге машықтан;

  • күрделірек есептерді шығару барысында бірден жеңіл, ыңғайлы байланыс табылмайды, оған қынжылма.

  • есіңе ертеден келе жатқан ауыл қалжыңын түсір: қатты ашаршылық жылы салқын үйде екі абысын әңгімелесіп отыр екен (жұбайлары көрші ауылға жұмыс іздеп кетсе керек) дейді. Сонда біріншісі: «Әттең, ұнның жоғы -ай, май табылса көршінің табасын сұрап алып, құймақ пісіріп жер едік» депті дейді. Екеуі де мәз болып күліп, жүздеріне қуаныш кіріпті-міс.

Математика есептерін шығаруда дәл осы жағдайға көптеген оқушы тап болады. Сенде соның бірісің, тестілік тапсырмаларда әйтеуір шешудің бір жолы міндетті түрде бар. Жігерленіп, сол жолды ізде!

Әдістемелік әдебиетінде тірек есептер (теорема, формулалар) ұғымы бар. Біздің тақырыптарға сәйкестері:



  • Пифагор теоремасы;

  • , , теңдіктері;

  • сүйір бұрыштың функциялары синус, косинус және тангенс, котангенс;

  • олардың арасындағы негізгі қатынастар

sin+cos=1, tgctg=1және олардың салдары , ;

  • әртүрлі аудан формулалары S = =;

  • радиустерді табуға арналған формулалар: .

  • шеңберден тыс орналасқан нүктеден жүргізілген жанамалардың өзара тең болу қасиеті;

  • үшбұрышты іштей сызылған шеңбердің жанасу нүктелеріндегі қабырғаларының бөліктері (1-сурет);

  • үшбұрыштың биссектрисасы қарсы қабырғаны іргелес қабырғаларының қатынасына пропорционал бөліктерге бөлетіні;

  • Фалес, косинустер, синустер теоремалары;

  • Чева теоремасы: АВС үшбұрышында AA, BB және CC кесінділері бір О нүктесінде қиылысса, онда теңдігі орындалатыны және оған керісінше теорема;

  • үшбұрыштағы 4 тамаша нүктелер туралы теореманың салдары;

  • =c + 2, =, байланыстары;

  • тік бұрышты ұшбұрышта СD биіктігі (C=90) ұшбұрышын 2 тік бұрышты және ұшбұрыштарына бөлсе және осы 3 үшбұрышты іштей сызылған шеңберлердің радиустері ,, болса, онда ++ теңдігі орындалатыны;

- тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасы жанасу нүктесінде және бөліктерге бөлінсе, онда оның ауданы формуласымен табылуы.

Енді тік бұрышты үшбұрыштың осындай және тағы да басқа тамаша байланыстарын бір қоржында сақтайық. Тыңдаушылар немесе оқытушылар қажет болғанда пайдаланады.

Жаттығу ретінде бірнеше есептерді қарастырайық.


1 сурет



1-есеп. үшбұрышында . және кесінділері нүктесінде қиылысқан. Дәлелдеу керек: 1. , 2. .

Дәлелдеуі. 1)|| болсын. Сонда .



=.

Осымен (1) дәлелденді.

2) || болсын. Сонда .

..

2-есеп. Егер де болса, онда , болса, онда ;

3-есеп. C=90, см, см, АА- биссектриса, ВВ -медиана, ВВ және АА кесінділері О нүктесінде қиылысқан. BO:OB және АO:OА қандай?

Шешуі. 2-есептегі қатынастар арқылы анықтаймыз; с = 15 см.



; .

2-сурет


4-есеп. C=90, см, см, АА- биссектриса, ВВ -медиана, ВВ және АА кесінділері О нүктесінде қиылысқан. үшбұрышының ауданы 16,2 см болса, үшбұрышының ауданы қандай?

Шешімінде пайдалансақ, үшбұрышының ауданы 27 см, ал



S=2S=54 см.

5-есеп. , C=90, - жанасу нүктелері және , болсын. үшбұрышының ауданын табу керек.

3 сурет


Шешуі:

1-тәсіл. (3-сурет) Есептің шартында

, , . Сонымен бірге , , , теңдіктерін ескереміз.

S =



2-тәсіл. .

3-тәсіл. , ,

Төменде көп жылдан бері оқу процесінде қолданып жүрген, қарастырып отырған тақырыптағы екінші, үшінші деңгейдегі кейбір есептерді бірінші деңгейге келтіріп, оларды пайдаланудың алгоритмдері көрсетілген.

Тік бұрышты АВС үшбұрышындағы негізгі элементтерді белгілейік (4-сурет). , , , , , , - катеттері, - гипотенуза, - биіктік, - жанасу нүктелері, - үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің радиусы, - сырттай сызылған шеңбердің радиусы, , - катеттердің гипотенузадағы проекцялары. , – жанасу нүктесіндегі гипотенузаның бөліктері, , .

4-сурет


6-есеп. , . Үшбұрыштың барлық элементтерін табу керек.

Шешуі. , , . Ендеше , , .

1)

2) Жүйені шешеміз:

Мұнда





т.с.с.

Немесе теңдігінен екенін анықтап,



жүйесінен және катеттерін табуға болады.



7-есеп. , , ABC үшбұрышының қалған элементтерін табу керек.

Шешуі. Егер болса, онда , , .



теңдігінен .

см; см; cм, cм, см.

Жауабы: ; см; см; =3см, см, см, см, см.



8-есеп. , .

Негізгі элементтерін анықтау керек.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. .

9-есеп. , см, cм. Басқа элементтерін табыңыздар.

1.

2.

3. ; т.c.c.



10-есеп. , және R белгілі. Басқа элементтерін табыңыздар.

Шешуі.


1. ;

2.

3. ;

4. S=

Осы формула келешекте тағыда бір кәдеге жарайды.

5. ; теңдіктерін пайдаланып, катеттерін анықтаймыз.



11-есеп. үшбұрышында бұрышы , үшбұрышты іштей және сырттай сызылған шеңберлердің радиустерінің қатынысы . Үшбұрыштың сүйір бұрыштарын табу керек. Жауабы.

Шешуі. 1-тәсіл., , . - катеттері, - гипотенузасы. -?-?

1) , , . (1)

2) , ; ;

3) ; ; (2)

4)

5) ;

Көңіл аудар! теңдіктерінен тестілік есептер құруға болады.

1. болса,

2. болса,

2-ші тәсіл. , , болса, болады, мұнда =1,2,3,...

1. болса, см, см, см, см, см.

2. =2 болса, см, см, см, см, см, т.с.с.

(1)

; .

; (2)

Виет теоремасы бойынша (1) және (2) теңдіктерден квадрат теңдеу құрамыз:



;

Сондықтан





12-есеп (Сканави 10.365).

Берілгені:

Шешуі: ;



Катеттерге байланысты екі теңдік құрдық:



(1)
(2)

квадрат теңдеуден және мәндерін анықтап аламыз.













Есептің шарты орындалса, бұрыштары болатын үшбұрышта Радиустың мәндері болғанда осытеңдіктерді пайдаланып, басқа да көптеген есептер құруға болады!!!



5 сурет


13-есеп. . Үшбұрыштың ауданын табу керек (5-сурет).

Шешуі.




1) - тік бұрышты.

2) -тік бұрышты.





Келесі дәлелі.





14-есеп. (6-сурет) катеттері, -гипотенуза.


6-сурет


1. Берілгені см, см. Басқа элементтерін анықтау керек.

Шешуі. 1) см.

2) немесе

см.

см.

3) см.

4) см.

5) см.

6) см немесе см.

7) , см.



15-есеп. үшбұрышында катеттерінің қосындысы , биіктігі белгілі. Үшбұрыштың негізгі элементтерін анықтау керек.

Шешуі. , , , . , ,



, (1)

, . Ендеше , , оң таңбасын аламыз. Жүйе құрып, , . Одан катеттердің мәндерін анықтау қалады. Есеп бірінші деңгейге түсірілді. . Осы теңдеуден , .

16-есеп. Тік бұрышты үшбұрышында , катеттерінің қосындысы , биіктігі . Үшбұрыштың қабырғаларын, сүйір бұрыштарының мәнін анықтау керек.

Шешуі. , .

Жоғарыда

. Жүйе құрамыз: , .

, .



.

17-есеп. , , см.

Жауабы:


Әдебиеттер

  1. Садықов Ж. С., Садықова А. Ж., Дауытова Ж.Қ. Геометрия. 1-бөлім. 2009ж.

  2. 2005-2009 жылдағы тестілік жинақтар. Астана қ.


Достарыңызбен бөлісу:


©kzref.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет