Тұтас орта механикасының моделдері



жүктеу 458.28 Kb.
бет1/3
Дата05.04.2018
өлшемі458.28 Kb.
түріНұсқаулар
  1   2   3

Қазақстан Республикасының Білім және ғылым министрлігі
С. Торайғыров атындағы Павлодар мемлекеттік университеті


    1. ТҰТАС ОРТА МЕХАНИКАСЫНЫҢ МОДЕЛДЕРІ


пәні бойынша тәжірибелік және өздік жұмыстарға арналған әдістемелік нұсқаулар

Павлодар

Қазақстан Республикасының Білім және ғылым министрлігі


С. Торайғыров атындағы Павлодар мемлекеттік университеті
Физика, математика және ақпараттық технологиялар факультеті
Физика және аспап жасау кафедрасы

    1. ТҰТАС ОРТА МЕХАНИКАСЫНЫҢ МОДЕЛДЕРІ


пәні бойынша тәжірибелік және өздік жұмыстарға арналған әдістемелік нұсқаулар

Павлодар

Кереку


2013

ӘОЖ 538.94 (075)

КБК 22.365я7

Т 89



  1. С. Торайғыров атындағы Павлодар мемлекеттік университетінің

  2. физика, математика және ақпараттық технологиялар факультетінің оқу-әдістемелік кеңесімен

  3. басуға ұсынылды




Пікірсарапшы:

М. Қ. Жукенов – физика - математика ғылымдарының кандидаты.



Құрастырушылар: Н. А. Испулов, А. Қ. Сейтханова,

Ж. Д. Оспанова


Т 89 Тұтас орта механикасының моделдері : тәжірибелік және өздік

жұмыстарға арналған әдістемелік нұсқаулар / құраст. :

Н. А. Испулов, А. Қ. Сейтханова, Ж. Д. Оспанова. – Павлодар : Кереку, 2013. – 48 б.

«Тұтас орта механикасының моделдері» пәні бойынша тәжірибелік және өздік жұмыстарға арналған әдістемелік нұсқауында тақырыптар бойынша негізгі формулалар мен есеп шығару мысалдары және өздік жұмысы үшін тапсырмалар берілген.

Бұл әдістемелік нұсқау 5В060400 - «Физика», 6М060400 – «Физика» мамандығының оқу жұмыс жоспарына және пәннің жұмыс оқу бағдарламасына сәйкес жасалынған.

ӘОЖ 583.94 (075)

КБК 22.365я7
© Н. А. Испулов, А. Қ. Сейтханова, Ж. Д. Оспанова 2013

© С. Торайғыров атындағы ПМУ, 2013


Материалдардың дұрыс болуына, грамматикалық және орфографиялық қателіктерге авторлар мен құрастырушылар жауапты

Мазмұны





Кіріспе.......................................................................................................3

1

Тензорлық белгілену. Физикалық компоненттер.................................4

2

Координатаның қисықсызықты жүйелері.............................................7

3

Тензорлар.Ковариантты туындылар......................................................8

4

Эйлер және Лагранж айнымалылары. Жылдамдық, үдеу..................11

5

Уақыт бойынша туынды. Эйлер айнымалысында үдеу компоненттерін шешу............................................................................16

6

Ток және траектория сызықтары..........................................................19

7

Жылдамдық деформациясы және

деформацияның тензорлары.................................................................22



8

Кернеулік күй. Координатаның декарттық жүйесі.............................31

9

Кернеулік күй. Координатаның қисықсызықты жүйелері.................38

10

Кернеулік күйлердің қарапайым түрлері.............................................42

11

Шекаралық шарттар...............................................................................45




Әдебиеттер..............................................................................................48


Кіріспе
Әдістемелік нұсқау С. Торайғыров атындағы Павлодар мемлекеттік университетінің физика, математика және ақпараттық технологиялар факультетінде оқылатын «Тұтас орта механикасының моделдері» курсының жұмыс оқу бағдарламасына сәйкес жасалынған. Әдістемелік нұсқау 5В060400 - «Физика» және 6М060400 – «Физика» мамандығы бойынша оқитын білімді мамандарды қалыптастыруда күрделі математикалық және физикалық ғылымдарды - тұтас орта механикасының моделдерін ана тілінде меңгеруге арналған. Әдістемелік нұсқаудың міндеті студенттер мен магистранттардың тәжірибелік және өздік жұмыстарға дайындалудағы көмекші құрал.

Әдістемелік нұсқаудың мазмұнында негізгі теориялық түсініктер, есептеу үлгілері мен өздік жұмысқа арналған тапсырмалар берілген.

Жоғарыда аталған әдістемелік нұсқау кредиттік технологияға байланысты студенттер мен магистранттардың пән бойынша өз бетімен дайындалуға мүмкіншілік береді.

1 Тензорлық белгілену. Физикалық компоненттер
Тұтас орта механикасы – газ тәрізді, сұйық және қатты денелер деформациясының қозғалысына арналған механиканың жалпы бөлімі. Тұтас ортаны сипаттайтын геометриялық, физикалық шамалар және теңдеулер зерттелінетін координата жүйелеріне тәуелді болмауы қажет. Осы мақсатта кез-келген координата жүйелерінде дұрыс шешім табатындай теңдеулерді жазады. Осы идеяның іске асуы жалпы түрде ортақ тензорлы есептеуге әкеліп соғады. Тензор - координата жүйесінің (тығыздық, энергия, жылдамдық, кернеу, деформация және т.б.) таңдауынан тәуелсіз объект. Тұтас орта механикасының шектік тапсырмаларын шешудегі қарапайымдылық немесе оны шешудің мүмкіндіктерінің қол жетімділігі координаталардың қисықсызықты жүйелерін еңгізумен анықталынады. Қисықсызықты координаталардағы тензор компоненттері белгілі бір физикалық мағынаға ие болмайды (олар координата жүйелерінен тәуелді болады), сондықтан алынған нәтижелердің анализі үшін тензордың физикалық компоненттеріне ауысады. Физикалық компоненттер, мысалы векторлар, бұл оның ковариантты немесе контравариантты осіндегі қисықбұрышты немесе ортогоналды проекциялары. Координатаның ортогоналды жүйесінде барлық физикалық компоненттер қарапайыммен сәйкес келіп және базис осіндегі вектордың проекциясы болып табылады, сондықтан бұл жағдайда физикалық компоненттерді анықтау қарапайым базис векторын нормалауға әкеп соқтырады.

Мысал: ортогоналды координата жүйесінде екінші дәрежелі вектор берілсін . Оның соммасының туынды мүшесін қарастырайық ( - ді соммаламау қажет!)



мұндағы - бірлік вектор.
( - ді соммаламау қажет!) және ол тензорының физикалық компоненті деп аталынады.

1. Келесі белгіленуді шешу:





Сілтеу.

- үш компонент ;;;

; - квадраттық түр;

- үш теңдеу жүйесі

2. Келесіні көрсету



; ; ; ; ;



Сілтеу.

;

;

3. Егер ; келесіні көрсетеміз

а) ;

б)

в) егер , онда ;

г) егер онда және , онда .



Сілтеу.

а), б) анықтауыштарды шешумен тексеріледі;

в) .

4. Егер төмендегі өрнек орындалса, келесіні дәлелдеу керек

а) , онда ;

б) , онда ;

в) туындылары үшін болғанда, онда тең;

г) туындысы үшін ;

д) , онда ;

е) туындысы үшін болғанда, онда .



Сілтеу.

а) ;

в) , сонда ;

г) туындыларынан тәуелсіздерді алу қажет







2 Координатаның қисықсызықты жүйелері
1. Көрсету қажет

а) (- ді соммаламау қажет!);

б) элементар доғалардың қисықсызықты координаталар бойында өзара тең болады. (- ді соммаламау қажет!);

в) (- ді соммаламау қажет!)

мұндағы - қисық координаталар арасындағы бұрыш.
Сілтеу.

а), б) келесі өрнектерін қолдану қажет ;

в) (- ді қосу қажет!).

2. базис векторларында тұрғызылған параллеле-пипедтің көлемі тең екенің дәлелдеу қажет.



Сілтеу.

Параллелепипедтің көлемі координатаның декартты жүйе осінде проекциясынан құрылған анықтауышқа тең болады. Осы анықтауыштың туындысы берілген анықтауыштық жолдар және бағандары бойынша -ге тең.



3 Тензорлар. Ковариантты туынды
1. Дәлелдеу қажет

а) қандай да бір координата жүйесінде тензордың компоненттері нөлге тең болса, онда олар координатаның кез келген жүйесінде нөлге тең болады;

б) симметрия және антисимметрия тензорлардың инвариантты құрылымдары болып табылады;

в) тензорлардың соммасы тензор болып табылады;

г) өзара тең тензорлардың компоненттері кез келген координата жүйелерінде тең болады;

д) вектордың ұзындығы скаляр болып табылады;

е) екі вектор арасындағы бұрыш скалярдың өзі.

Сілтеу.

Тензор компоненттерін түрлендіру өрнегін қолданып



2. Цилиндрлік, сфералық және параболалық цилиндрлі координата жүйелеріндегі фундаменталды метрикалық тензордың және компоненттерін шешу қажет.

Сілтеу. өрнегін қолданамыз

3. Жоғарыдағы тапсырманы шешіп Кристоффель символын табуға болады



Сілтеу.

өрнегін алдын ала ортогональді координата жүйесі үшін түрлендіреміз.

4. Цилиндрлік координата жүйесіндегі және нүктелерінде өздерінің компоненттерімен А және В тензорлары берілген



;
Табу керек:

а);

б) осы тензорлардың симметрялық және антисимметриялық бөліктерін;

в) осы тензорлардың соммасы мен айырмашылығын.



Сілтеу.

а) ; өрнегін қолданамыз;

в) тензорларды қосқан уақытта олардың компоненттерін бір индекстік құрылымға келуі қажет.

5. Цилиндрлік және сфералық координата жүйелеріндегі ; тензорларының физикалық компоненттерін табу



Сілтеу.

; (- ді соммаламау қажет!)

6. Декартты координата жүйесінде төмендегі тензор берілген



осі айналасындағы координата жүйесінің бұрышымен бұрылу кезіндегі оның компоненттерінің түрлену заңын табу. осьтеріндегі -ға тәуелді М нүктелерінің геометриялық орынын табу керек.

Сілтеу.

және арналған өрнектерінен -ны шығару.

7. Екінші рангты симметриялық тензор мен оның девиаторының осьтері сәйкес келетінін дәлелдеу қажет.



Сілтеу.

Егер - тензордың компоненті болатын болса, онда -оның девиаторының компоненттері. Есепті шығара отырып, А және S тензорларының басты бағыттары бір теңдеуден шығарылатынын дәлелдеуге болады.

8. Декартты координата жүйесінде тензоры берілген. Екінші тензордың басты мәндері мен басты бағыттарын табу қажет.

Сілтеу.

Тензордың басты бағыттарын табу үшін қолдану қажет.

9. цилиндрлік координата жүйесінде тензорлық өрісі берілген. Оның компоненттерінің туынды коварианттарын табу керек.

Сілтеу.

өрнегін қолдану қажет.

4 Лагранж және Эйлер айнымалылары. Жылдамдық, үдеу
Қозғалыс заңы келесідей түрде болады
i=1,2,3 (4.1)
мұндағы - бақылау жүйесіндегі кеңістіктік координаталар,

- ортаның бөлшектерін даралаушы параметрлер.
Одан әрі параметрлерінің орнына уақыттың алғашқы кезіндегі бөлшектің координаталары қолданылады, яғни .

шамалары Лангранж айнымалылары деп аталынады, шамалары Эйлер айнымалылары деп аталынады.

Ортаның бөлшектік жылдамдығы келесі өрнекпен анықталынады



мұндағы - бөлшектің радиус векторы;
төмендегі индексі туындысы параметрінің мәндерінен алынады.
базисіндегі жылдамдық векторының компоненттері арқылы беріліп, келесі өрнек арқылы есептелінеді
(4.2)

Егер бөлшектің орын ауыстыру векторын енгізетін болсақ, онда


(4.3)
Тұтас ортаның үдеуін келесідей табамыз
мұндағы - үдеу векторының компоненттері.
Декарттық координата жүйесінде үдеуі келесі теңдеуге тең болады
(4.4)
Лангранж айнымалыларынан Эйлердің айнымалыларына ауысу функциясының шығынымен байланысты. Берілген жылдамдық өрісіндегі Эйлер айнымалысынан Лангранж айнымалыларына айналу қарапайым дифференциалдық теңдеуді шешуге әкеледі
(4.5)
Тапсырмалар. -базис векторлы координатаның ортогональды декартты жүйесі.

1. Эйлер айнымалыларындағы берілген жылдамдық өрісіндегі қозғалыс заңын, Лангранж айнымалыларындағы жылдамдық және үдеу компоненттерін анықтау қажет.

а) ;

б) ;

в) ; ; (,)

2. Егер , болғанда, Эйлер айнымалыларыдағы мәнін анықтау қажет.

Жауабы:

3. Тұтас ортадағы қозғалыс заңы берілген ,



,

.

Анықтау қажет:

а) Эйлер және Лангранж айнымалыларындағы орын ауыстыру векторы компоненттерін;

б) жылдамдық және үдеу векторларының компоненттерін.



Шешімі: якобианың анықтау қажет; қозғалыс теңдеуін түрлендіре отырып келесі өрнекті аламыз ,

,

.

өрнегі арқылы ,

,

,

Лангранж және ,



,

Эйлер айнымалыларындағы қозғалыс векторының компонеттерін табамыз.

(4.3) өрнегін қолданып ,

,

,

(4.4) бойынша үдеу векторының компоненттері: ,



,

.

4. Тұтас ортадағы қозғалыс заңы берілген:



,



Вектор компоненттерін анықтау қажет:

а) орын ауыстыру;

б) жылдамдық;

в) үдеу.

Жауабы:



,

,

,

,

,

,

5. Жылдамдық өрісі берілген , ,



. Үдеу мен жылдамдық векторларының қозғалыс заңы мен компоненттерін анықтау қажет.

Сілтеу.

шартын болғанда (4.5) өрнегін қолданып, берілген теңдеуді интегралдау қажет.

Жауабы: , ,

, ,

, ,


Достарыңызбен бөлісу:
  1   2   3


©kzref.org 2017
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет