Тұтас орта механикасының моделдері


Уақыт бойынша туынды. Эйлер айнымалысында үдеу компоненттерін шешу



жүктеу 458.28 Kb.
бет2/3
Дата05.04.2018
өлшемі458.28 Kb.
түріНұсқаулар
1   2   3

5 Уақыт бойынша туынды. Эйлер айнымалысында үдеу компоненттерін шешу
Дара, субстанциондық немесе температурасы функциясынан толық уақыты бойынша туынды- туындысы деп аталады, ол ортаның жекелеген бөлшегі үшін уақыт өте келе температура өзгерісін сипаттайды. Ол көп жағдайда деп белгіленеді. Аймақтық, локальды немесе температурасы функциясынан толық уақыты бойынша туынды, туындысы деп аталады, ол кеңістіктің берілген нүктесіндегі бірлік уақыт бойынша температура өзгерісін сипаттайды және символымен белгіленеді. Дара және аймақтық уақыт бойынша туындылар өзара келесі өрнек арқылы байланысты
(5.1)
шамасы бөлшектің жылдамдығына тәуелді және уақыт бойынша конвективті туынды деп аталынады. Егер жылдамдық компоненттері Эйлер айнымалыларында берілген болса, онда жылдамдық компоненттерін қозғалыс заңын анықтамай келесі өрнекті қолдана отырып табуға болады
(5.2)
мұндағы -ковариантты туынды.

Декартты координата жүйесінде


(5.3)
Тапсырмалар.

1. декартты координата жүйесі болсын. Эйлер айнымалысындағы берілген жылдамдық өрісіндегі үдеу вектор компоненттерін анықтау қажет.

а) , , .

Сілтеу:

(5.3) өрнегін қолдану қажет, мысалға:

а);

б) , , ;

в) ;

г) , , .

2. 1 - тапсырмадағы жылдамдыққа арналған өрнекті интегралдап, қозғалыс заңын алу қажет; осы бойынша Лангранж айнымалыларындағы үдетілу компоненттерін, кейін Эйлер айнымалыларындағы үдетілу компоненттерін тауып, шыққан нәтижені 1-тапсырмадағымен салыстыру қажет.

3. Эйлер айнымалысындағы цилиндрлік координата жүйесінде жылдамдық өрісі берілген. Үдеу векторының тензорлық векторын анықтау қажет.

а) , , ;

б) , , ;

в) , , ;

г) , , .



Сілтеу:

Үдеудің ковариантты компоненттерін (5.2) - өрнегін қолданып шешеміз, мұндағы , - Кристоффель белгісі.

Мысалы: 3- тапсырманың а)-сі үшін



, ; цилиндрлік жүйесінде -дің мәні нөлге тең, сондықтан

6 Ток сызықтары және траекториясы
Ток сызықтары деп ток сызығына жанама әрбір берілген t момент уақыты үшін оның кез келген нүктесіндегі моменті жылдамдық бағытымен сәйкес келетін сызықты айтады. Туынды вектор өрісі үшін осындай сызықтар векторлы сызықтар деп аталынады. Ток сызықтарының дифференциалды теңдеулері келесі түрге ие болады
(6.1)
мұндағы - скалярлы параметр;

- ток сызығы бойынан алынған элементінің компоненті;

- жылдамдық векторының компоненттері.
Орта бөлшектерінің қозғалыс заңын анықтайтын дифференциалдық теңдеуі келесі түрде жазылады
(6.2)
Токтың сызықтары мен траекториясы бір-бірімен анықталынған қозғалыс кезінде сәйкес келеді, ал анықталынбаған қозғалыс кезінде керісінше сәйкес келмейді.

1. (5, 1.б) тапсырмасына негізделінген жылдамдық өрісі үшін ток сызығы мен траекториясы бір-бірімен сәйкес келетінін дәлелдеу қажет.

(3.2) өрнегі арқылы ток сызықтарының дифференциалдық теңдеуін табамыз. шартын ескере отырып, болғанда ток сызығының теңдеуін аламыз
, ,
(5.1) тапсырмасында , , . Берілген қозғалыс заңы бойынша ток сызығының теңдеуімен сәйкес келетін траектория теңдеуін аламыз.

2. тағайындалынған қозғалыста ток сызықтары траекториямен сәйкес келетінін дәлелдеу қажет.



Сілтеу:

(6.1) және (6.2) өрнектерін қолданамыз.

3. берілген өрістегі үшін ток сызықтары траекториямен сәйкес келетінін дәлелдеу қажет.

4. Берілген өріс үшін , , ток сызықтары шеңбер болатынын дәлелдеу қажет.

5. Тұтас ортадағы қозғалыс заңы келесі түрде берілген

, , . Траектория түрін, жылдамдық шамасын, және арасындағы байланысты, сонымен қатар А және В контакттарды анықтау қажет.

Жауабы: Шеңбер радиусы , , .

6. Тұтас ортадағы қозғалыс заңы декартты координата жүйесінде берілген , , . Сфералық координа жүйесіндегі траекторияны анықтау қажет.

Жауабы: Сферамен қиылысу сызығы , цилиндрдің .



7 Деформация тензорлары және жылдамдық деформациясы
Екінші дәрежелі тензорлар деформация тензорлары деп аталынады. Олар түрлі базиске қатысты: - уақыт моментінің денесіндегі М нүктесінің контравариантты вектор базисі, - уақыт моментінің денесіндегі М нүктесінің контравариантты вектор базисі, екі тензор да бірдей ковариантты және олар келесі түрге ие
(7.1)
мұндағы және - және уақыт моментіне сәйкес метрикалық тензорының іргелі ковариантты компоненті.
Олар келесі өрнектер арқылы беріледі
(7.2)
және контравариантты және аралас тензор компоненттері бір-бірімен сәйкес келмейді, олар және ; және деп белгіленеді. Деформацияланатын ортаның әрбір нүктесін тензор деформациясының бас осіндегі ортогоналды триэдрді жалғауға мүмкіндік бар, ол осындай орын ауыстыруда ортогоналды болып қалады және қатты денеге ұқсас орын ауыстырады. Бас элементтері орын ауыстыру кезінде тек сығылып және созыла алады. Бас осьте бір уақытта диагональды түрге келесі матрицалар болады: Қозғалыстағы ортаның әрбір жекелеген нүктесін қарапайым деформацияланған тензордың бас осі бойымен өтетін ортогональды декартты координата жүйесін жалғауға болады. Қозғалыс уақытында бұл жүйе қосымша қарапайым декартты ортогональды координата жүйесіне өте алады. Деформацияланған тензор компоненттері және бұл координата жүйесінде басты компоненттер болып табылады. Олар өзара келесі өрнек арқылы байланысады

Үздіксіз аз деформациялар кезінде және тензорлары арасында айырма болмайды. Деформация тензорының бас компоненттері өрнегінің түп тамыры болып саналынады
(7.3)

мұндағы - біршама сандық параметр.


коэффициенттері - координата жүйесіне инвариантты қатысты және келесі өрнекпен көрсетіледі

(7.4)

Егер орын ауыстыру векторын енгізетін болсақ, мұндағы және - уақыттың алғашқы моментінде және сәйкес қатысты моментіндегі тұтас ортаның М нүктесінің , қатысты радиус-векторы, деформацияланған тензордың ковариантты компоненттері келесі өрнек арқылы анықталынады
(7.5)
мұндағы және - актуалды және алғашқы кеңістіктегі орын ауыстырудың ковариантты туынды вектор компоненттері болады.
Координатаның декартты жүйесінде, шексіз аз орын ауыстырулар кезінде келесі түрге ие болады
(7.6)
Екінші дәрежелі симметриялық тензордың компонеттері келесі өрнек арқылы анықталынады және ол жылдамдық тензоры деп аталады
(7.7)
Тапсырмалар.

1. берілген қатысты ортогональды декартты координата жүйесіндегі қозғалыс заңына сәйкес анықтау қажет:

а) Лангранж және Эйлер айнымалыларындағы үдеу векторының компоненттерін;

б) координата жүйесінің уақыт бойынша трансформациясын;

в) басты күйдің координатты осіне бағытталынған қатысты қиықтың ұзартылу коэффициентін;

г) актуалды координата жүйесіндегі орын ауыстыру векторының компоненттерін;

д) жылдамдық деформациясы мен деформацияланған тензордың ковариантты компоненттерін және осы тензорлардың басты бағыттары мен басты мәндерін;

е) үздіксіз аз деформация күйін зерттеу;

ж) орта бөлшектеріндегі көлемдік өзгерісінің қатысты жылдамдығын анықтау.

1)


(7.8)
мұндағы , -тұрақты, .
2) ;

3) ;

4) .

Сілтеу:

Бірінші мысалдың шешімін қарастырамыз:

а) (7.8) - қозғалыс заңының өрнегі келесі түрге ие болады

(7.9)

Эйлер мен Лангранж айнымалыларындағы қозғалыс векторының компоненттері
, , (7.10),
(7.11)
(4.3) өрнегіне сәйкес Эйлер мен Лангранж айнымалыларындағы жылдамдық компоненттерін анықтаймыз
, , (7.12),
(7.13)
Үдеу компоненттерін алуға мүмкіндік бар, себебі координата жүйесі декартты, (4.4) және (5.3) өрнектерін сәйкестендіре отырып мәнін аламыз.

б) актуалды координата жүйесіндегі метрикалық түпкі тензор компоненттерін шешеміз


, осыдан (7.14)
мәні мәніне тәуелді болмау себебінен, актуалды координата жүйесі декартты болып есептелінеді, бірақ та ол қисық бұрышты ( және осьтері арасындағы бұрыш түзу болып қалмайды). және осьтері созылмалы, себебі .

в) координата осьтеріндегі доғалардың элементар ұзындықтары келесі өрнекпен анықталынады . Осы жағдайда


, (7.14)
өрнегімен берілген
, ,
(7.15)
, ,
Анықтаушы қатысты ұзындық коэффициенттері - ге тең, онда төмендегіні аламыз
, (7.16)
г) вектор болып саналыну себебінен, түрлендіргіш вектор компоненті өрнегінен және (7.9), (7.11) өрнектеріне сүйене отырып келесіні аламыз

, , (7.17)
д) деформацияланған тензор компоненттерін (7.1) және (7.14) өрнектерінен аламыз. Себебі , мұндағы - Кронеккер символы болғандықтан, онда (7.1) өрнегінен келесі шығады
, , (7.18)
алынған нәтижені (7.5), (7.11) және (7.17) өрнектері арқылы тексеру қажет. Жылдамдық деформациясының ковариантты тензор компоненттерін (7.7) өрнегінен аламыз. Себебі сәйкес келетін координата жүйесі декартты, (7.7) өрнегі келесі түрге ие болады
(7.19)
ковариантты вектор компоненттерін (7.12) және (7.8) актуалды вектор компоненттерінен аламыз, - дан алынатын нәтиже
, , (7.20)
(7.20) және (7.19) өрнектерін қолданып келесіні аламыз
, , (7.21)
бақылаушы координата жүйесіндегі компоненті ковариантты тензор компоненттерін түрлендіре отырып, - ден немесе (7.7) және (7.13) өрнектерінен анықталады.

е) шексіз аз деформациялар кезінде (7.18) өрнегінен А-ның аз шаманың бірінші ретті шамасы екенін аламыз, сондықтан


, ,,

,

,,

, ,
Осындай деформация таза жылжу деп аталады. Деформацияланған тензордың басты осьтері мен жылдамдық деформациялары сәйкес келеді, ал олардың теңдеулері келесі түрге ие болады
,
ж) өрнегінің қатысты көлемдік өзгерісі келесі өрнек арқылы анықталынады: . Үздіксіз аз деформация кезінде .

2. Үздіксіз аз деформация кезінде тензорының тензорлық және физикалық компоненттерін цилиндрлік координат жүйесінен есептейміз.



Сілтеу:

, өрнектерін қолдану қажет.

3. Үздіксіз аз деформациялар кезінде - ге тең болсын. Ортаның қатты дене тәріздес орын ауыстыратынын дәлелдеу қажет.



Сілтеу:

теңдеу жүйесін шешеміз.

8 Кернеулік күй. Декартты координата жүйесі

көлемі бар денені қарастырамыз, дене ауданымен шектелінген. Ортадан денеге ішкі жағынан әсер ететін күшті ішкі деп атаймыз. Егер олар дененің сыртқы аймағына әсер ететін болса оларды сыртқы деп атап векторымен белгілейміз (ауданның бірлігіне), оны массалық деп атайды және оның интенсивтілігін көлемдік бірліктегі деп белгілейді.

Қарастырылатын денеге ішкі күштердің нәтижесінде деформация пайда болады (дененің бөлшектерінің өзара әсер ету күштері). Осы күштерді анықтау мақсатында қиылысу әдісін қолданады. Кез келген денеде нүктесі арқылы ойша нормалі бар жазықтық жүргіземіз. Жазықтық денені екі бөлікке бөледі. Осы бөлшектердің өзара әсерлесуі ішкі күштерді береді, олар қиылысу бетімен үздіксіз орналасқан. нүктесінде ауданын белгілеп, ондағы ішкі күштің мәнін есептейміз. Берілген аудандағы кернеулік вектор деп нормальды кернеу деп атайды, ол келесідей анықталынады



Кернеу векторының аудан нормальға түсірген проекциясын нормальды кернеу деп атайды. Вектордың екінші компоненті аудан жазықтығында жататын жанама кернеу деп аталады.

, , бағыттауыш векторлары бар декартты координаттар жүйесін енгіземіз. Бұл жүйедегі вектордың компоненттерін , , , деп белгілейміз. Нүктедегі кернеулік күй және векторларының жиынтығы арқылы анықталынады. Ауданда орналасқан өзара перпендикуляр үш нүктенің кернеулік векторын біле отырып, нүктедегі кернеулік күйді толығымен сипаттауға болатынын көрсетуге болады. координатты ауданындағы кернеу векторы деп белгіленіп, оның компонентін арқылы белгілейді.

Әрбір компонентасы белгілі физикалық мағынаға ие. - кернеу векторының құраушысы. ішкі нормалі жәнебағыты бар ауданға әсер етеді. Суретте оң деп қабылданатын бағыты көрсетілген. Өзара әсер етуші Ньютон заңын қолданып, ішкі нормаль бағыттарын кері өзгерткен уақытта кернеу компоненттерінің оң бағыттары сәйкесінше кері бағытқа ауысады. Белгілі болғандай координатты аудандардағы нормаль кернеуін анықтайды. Егер олар ішкі нормальмен әсер ететін болса, болып есептелінеді. Ал координаттық ауданның қалған компоненттері жанама болып табылады. Егер кернеу тензорының компоненттері белгілі болса, нормалі бар туынды ауданның кернеу векторы келесі өрнек арқылы есептелінеді: . Егер қарастырылатын аудан ішкі жүгі белгілі дене бетіне қатысты болса, онда келесі шарт орындалуы қажет: ауданында .

Кернеу тензоры өзара ортогональды үш бағытқа ие; аудандар, басты бағыттарға ортогональ, олар басты аудан деп аталынады, ал олардағы кернеу - басты кернеу деп аталады. Басты кернеулерді анықтай отырып, басты аудандардағы кернеу векторы нормаль бойынша бағытталынған, ал жанама кернеулер болмайды




басты кернеу шамасы кубтық өрнектен анықталынады

Басты бағыттауыштағы бағыттауыш конустары келесі өрнектен алынады

Кернеу векторын аудан компонентіне жанама және нормаль етіп орналастыра отырып және нормалінің өзгерісіне сәйкес жанама кернеудің өзгерісін зерттей отырып, дене ауданының әрбір нүктесінде максимал жанама кернеуі әрқашан белгілі бір бұрышпен бағытталынған
, , ,
, , ,
, , ,
мұндағы - басты кернеу бағыты.

- кернеу тензоры нүктедегі кернеулік күйді толығымен сипаттайды. Оны біле отырып, басты кернеуді сонымен қатар максимал және минимал жанама кернеулерді анықтауға болады. Кернеу тензоры ортадағы ішкі күштердің тепе-теңдігін сипаттауы қажет. Осы нәтиже бетіндегі берілген теңсіздікте және дененің әрбір нүктесінің тепе-теңдігі өрнегінде көрсетілген. Декартты координаталардағы тепе-теңдік теңдеуі келесі түрге ие



Кернеу тензорының теңсіздігінен оның симметриялық құрылымы көрсетілінеді (классикалық жағдайда)
.
Тапсырмалар.

1. Дененің нүктесінде кернеу компоненті белгілі



, , ;

, , ;

Бағыттауыш косинус нормалі бар ауданды анықтау қажет , , , толық кернеуді, нормаль және жанама.



Шешімі. Кернеу векторының компоненттерін кернеу тензорының компоненттері көмегімен анықтаймыз. Ауданға нормаль векторының проекциясын және векторының скаляр туындысы арқылы анықтаймыз. Кернеу векторының жанама компонентін толық және нормаль кернеуді біле отырып табамыз.

2. Өзара ортогональ аудандарда жанама кернеулер өзара ортогональ бағытта тең.

3. Алдыңғы теңдеуді қолданып, бос бетті цилиндрдің көлденең қиылысында контур нүктесінде ішкі жүктің әсерінен жанама вектор кернеуі контурға жанама бағытталынған.

4. Дене бетіндегі нүктеде нормалы берілген. тензор векторының компонентасын беттік жүктемені өзгертпей анықтау мүмкін бе?

Жауабы: мүмкін.

5. Дененің перпендикуляр бетіндегі ауданның нормаль кернеуі шектік шартқа еңбейтінің дәлелдеу қажет.

Шешімі: Координата жүйесі ретінде үшшектік мәнін қолданамыз , , , мұндағы - бетке нормаль, , - бетке жанама жазықтық векторлары. Алынған жүйеде кернеу компонентінің координаталарын , ал бетке нормаль , компоненталарына ие. Шектік шартты қолданып, туындысынан шығатынын аламыз.

6. Нүктедегі басты бағыттауыш декартты координата жүйесіне қатысты бағыттаушы косинустары бар үш векторымен берілсін, басты кернеуді біле отырып декарттық координата жүйесіндегі кернеу тензорын анықтау қажет.



Ескерту.

Басты осьтегі кернеу тензорын жазып, осы тензордағы нормалі бар ауданның кернеу компоненттерін анықтау қажет.

7. Декартты координата жүйесіндегі кернеу тензорының компоненттері , , берілген. Аудан мен оған әсер етуші жанама максимал кернеуді табу қажет.

Жауабы: , . Осьтік координаталарына аудан бұрышымен бұрылған.

8. Екі жағдай үшін басты бағыттар мен кернеуді анықтау қажет.

а) ;

б) .

Жауабы: а) , , ;

б) ,

9. Туынды аудандағы жанама кернеуге сипаттама беру қажет, кернеуді , , басты аудандарға қатысты ауданға бағыттауыш косинустар мен басты кернеу арқылы сипаттаймыз.

Жауабы:

10. ; кернеулері үшін келесі белгіленулер көрсетілген. Егер көлемдік күштер жоқ болса мәніне нақты функциясымен сипаттама беру.

Жауабы:

11. Көлдененнен майысқан турабұрышты пластинканың кернеуі үшін



, ,,

,.

, - пластинка жазықтығына - осі перпендикуляр болып табылады. Статика бойыншы осындай кернеулер бар екенін тексеру қажет.

Жауабы:




Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3


©kzref.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет