Вводные замечания



жүктеу 22.07 Kb.
Дата20.04.2019
өлшемі22.07 Kb.




Вопросы на экзамен по проективной геометрии
и методам изображений

Вводные замечания


О термине «Геометрия». Семейство евклидовых геометрий (евклидова, аффинная, проективная плоскости). Несобственные элементы.

Основные понятия проективной геометрии


Аксиоматическое определение проективной плоскости (4 аксиомы). Проективное преобразование. Перспективные фигуры. Инварианты относительно проективных преобразований: инцидентность, коллинеарность, конкуррентность. Принцип двойственности на плоскости и в пространстве, взаимно-двойственные элементы, операции, фигуры, теоремы. Перспективность относительно точки, относительно прямой. Особые случаи перспективности относительно прямой.

Двойное (сложное) отношение


Двойное (сложное) отношение точек на прямой, двойное отношение прямых, двойное отношение плоскостей. Случаи (ABCD) = –1 (гармоническое отношение), (ABCD) = 1. Инвариантность двойного отношения относительно перестановки точек. Свойства двойного отношения (различные его значения и теоремы о перестановках).

Однородные координаты


Введение неоднородных координат, их особенности. Несобственные элементы в неоднородных координатах. Точка и прямая в неоднородных координатах. Связь между точкой и прямой в неоднородных координатах. Аналитическое выражение принципа двойственности. Переход между однородными и декартовыми координатами. Примеры использования однородных координат, треугольник цветов.

Конфигурации


Понятие конфигурации. Основные свойства. Плоские и пространственные конфигурации. Примеры конфигураций: (1111), (1nn1), (n11n), (3232), (6243). Симметричные (сбалансированные) конфигурации. Конфигурации (93). Конфигурация Паппа. Конфигурации (103). Конфигурация Дезарга. Примеры конфигураций, не реализуемых на действительной плоскости (конфигурация Мёбиуса-Кантора – (83)).

Конфигурационные теоремы


Теорема о четырёхстороннике (о гармоническом отношении). Теорема Дезарга (проективная формулировка). Пространственное доказательство теоремы Дезарга. Теорема Паскаля (проективная формулировка) о шестистороннике (62). Теорема Паппа (проективная формулировка) о шестистороннике (62). Теорема Брианшона.

Перспективные и проективные ряды и пучки


Понятие пучка, ряда, сечения пучка. Проективность и перспективность ряда, пучка. Примеры.

Конические сечения


Метрические определения конических сечений. Проективные свойства конических сечений. Двойное отношение на коническом сечении. Проективное определение конического сечения. Конические сечения как «линейчатые кривые». Принцип двойственности для конических сечений.

Методы изображений


Позиционные и метрические задачи. Построение сечений пространственных фигур (призмы, пирамиды, конуса) плоскостью, примеры. Метод следа, метод внутреннего проектирования, примеры. Способы решения метрических задач, примеры.

Достарыңызбен бөлісу:


©kzref.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет