1 Дискретно-выборочное представление сигналов с финитным спектром



жүктеу 47.61 Kb.
Дата26.04.2019
өлшемі47.61 Kb.



25.04.2019 21:31 Гл1_МдлнПредстППС_в_ОиЛзЭС

1.7. Дискретно-выборочное представление сигналов с финитным спектром


При анализе ППС в ОиЛзЭС часто встречаются сигналы s (х, у), ПЧС которых отличен от нуля в ограниченной (финитной) области. Такой сигнал, называемый сигналом с финитным спектром, можно точно восстановить по некоторым его выборочным значениям, взятым в дискретной совокупности точек плоскости ху. Геометрически это означает, что если задать внутри финитной области вполне определенное число точек, аппликаты которых изображают дискретные значения сигнала с финитным спектром, то непрерывная поверхность, представляющая собой график функции s (х, у), может быть проведена единственным образом [7, 11, 22, 23]. В основе дискретного представления сигналов лежит теорема Котельникова, которая устанавливает дискретно-выборочную линейную и связность сигналов с финитным спектром.

1.7.1. Теорема Котельникова (Уиттекера-Шеннона)


Теорема Котельникова утверждает, что оптический сигнал s (х, у) с финитным ПЧС можно восстановить без потери информации. Доказательство теоремы проведем для частного случая, когда ПЧС отличен от нуля в прямоугольной области . В этом случае сигнал можно с любой степенью точности представить в виде дискретной суммы значений (отсчетов), взятых через конечные промежутки , . Эту теорему называют также теоремой о дискретном представлении, или теоремой отсчетов, или теоремой выборки.

Пусть задан финитный ПЧС (рис. 1.7а)



Далее введем в рассмотрение выборочную функцию



(1.61)

фурье-образ которой равен двумерной бесконечной периодической сумме (рис. 1.7б) дискретно смещенных финитных спектров исходного сигнала , так что



. (1.62)

Тогда исходный финитный ПЧС на рис. 1.7а можно представить в виде произведения фурье-образа выборочной функции (1.62) и двумерного прямоугольного импульса



. (1.63)

В результате обратного преобразования Фурье из (1.63) с учетом (1.62) найдем



F -1 F -1

F -1

Откуда после несложных преобразований (прил. 3) имеем



Переставляя местами двойной интеграл и двойную сумму, с уче­том фильтрующего свойства -функции (прил. 5) получим окончательное выражение для ряда Котельникова





(1.64)

где .

Выражение (1.64) представляет сигнал с финитным ПЧС в виде бесконечной двойной суммы sinc-образных базисных типовых сигналов дискретно-выборочной линейной связности. Иначе говоря, для восстановления сигнала s (x, у) необходимо вычислить бесконечную двойную сумму в виде линейной комбинации сигналов с амплитудой из совокупности выборочных значений. Дискретно-выборочная связность сигналов осуществляется в результате последовательного сдвига функций в точки . Базисный типовой сигнал в теории информации называют интерполяционной функцией, или функцией отсчетов. График ряда Котельникова для одномерного сигнала s (x, 0) приведен на рис. 1.8.

Для одномерного временного сигнала s (t) с финитным спектром, отличным от нуля на интервале , ряд Котельникова имеет вид



.

При этом для восстановления сигнала s (t) в каждой точке выборки строится интерполяционная функция с амплитудой .

Строго говоря, сигналов с финитным спектром не существует. Однако для большинства реальных сигналов спектральная плотность на высоких частотах ничтожно мала. Поэтому большая часть энергии сигнала локализована в ограниченной частотной области, а сам сигнал хорошо аппроксимируется функцией с финитным спектром. Погрешность, возникающая при отбрасывании высших частотных гармоник, пренебрежимо мала.

1.7.2. Свойства выборочной функции


Функция (1.61)

(1.65)

называемая выборочной функцией представляет собой двумерную -решётку (рис. П.3) из функций с амплитудой . Рассмотрим её основные свойства.

1. Функция sвыб имеет размерность исходного сигнала s.

2. Объем выборки пропорционален сумме выборочных значе­ний





.

3. Спектр выборочной функции равен бесконечной двумерной сумме дискретно смещенных финитных спектров исходного сигнала и совпадает со вспомогательной функцией (1.62) на рис. 1.7б, так что



(1.66)

4. Свёртка с интерполяционной функцией восстанавливает исходный сигнал с помощью ряда Котельникова 1.64), который можно записать в виде .

На практике часто используют выборочную функцию , отличающуюся от (1.64) постоянным коэффициентом. Ее свойства совпадают со свойствами функции .

1.7.3. Переналожение спектров


Пусть выборка осуществляется через произвольные промежутки , т.е. . В этом случае вспомогательная функция (1.62) имеет вид

. (1.62)

Подставляя ее в (1.63), в результате обратного преобразования Фурье получим выражение для обобщенного ряда Котельникова



(1.64)

которое при переходит в ряд Котельникова (1.64).

Если теперь интервалы выборки т.е. , то для выборочной функции (1.65) имеем

. (1.67)

В свою очередь для спектра выборочной функции по аналогии с (1.66)



. (1.62)

На рис. 1.9 а,б приведены одномерные ПЧС и . Так как



, (1.68)

то использование низкочастотного ПЧФ с передаточной функцией при передаче по каналу связи в виде (1.67) не позволяет выделить ПЧС исходного сигнала в чистом виде. В отфильтрованном ПЧС (1.68) будут присутствовать частоты от соседних налагающихся спектров (рис. 1.9 б). В результате переналожения спектров возникают так называемые шумы дискретизации.



1.7.4. Теорема Котельникова в частотной области

Пусть оптический сигнал s (x, у) отличен от нуля в прямоугольной области



.

Тогда ПЧС финитного сигнала полностью определяется сово­купностью отсчетов, взятых через одинаковые интервалы , так что по аналогии с (1.64) запишем ряд Котельникова в частотной области в виде





.

Для ЧВС финитного импульса, отличного от нуля на временном интервале , получим



.


Достарыңызбен бөлісу:


©kzref.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет