1 Дискретно-выборочное представление сигналов с финитным спектром

1.7.1. Теорема Котельникова (Уиттекера-Шеннона)

Пусть задан финитный ПЧС (рис. 1.7а)

Далее введем в рассмотрение выборочную функцию

фурье-образ которой равен двумерной бесконечной периодической сумме (рис. 1.7б) дискретно смещенных финитных спектров исходного сигнала , так что

Тогда исходный финитный ПЧС на рис. 1.7а можно представить в виде произведения фурье-образа выборочной функции (1.62) и двумерного прямоугольного импульса

В результате обратного преобразования Фурье из (1.63) с учетом (1.62) найдем

Откуда после несложных преобразований (прил. 3) имеем

Переставляя местами двойной интеграл и двойную сумму, с уче­том фильтрующего свойства -функции (прил. 5) получим окончательное выражение для ряда Котельникова

где .

Выражение (1.64) представляет сигнал с финитным ПЧС в виде бесконечной двойной суммы sinc-образных базисных типовых сигналов дискретно-выборочной линейной связности. Иначе говоря, для восстановления сигнала s (x, у) необходимо вычислить бесконечную двойную сумму в виде линейной комбинации сигналов с амплитудой из совокупности выборочных значений. Дискретно-выборочная связность сигналов осуществляется в результате последовательного сдвига функций в точки . Базисный типовой сигнал в теории информации называют интерполяционной функцией, или функцией отсчетов. График ряда Котельникова для одномерного сигнала s (x, 0) приведен на рис. 1.8.

Для одномерного временного сигнала s (t) с финитным спектром, отличным от нуля на интервале , ряд Котельникова имеет вид

При этом для восстановления сигнала s (t) в каждой точке выборки строится интерполяционная функция с амплитудой .

Строго говоря, сигналов с финитным спектром не существует. Однако для большинства реальных сигналов спектральная плотность на высоких частотах ничтожно мала. Поэтому большая часть энергии сигнала локализована в ограниченной частотной области, а сам сигнал хорошо аппроксимируется функцией с финитным спектром. Погрешность, возникающая при отбрасывании высших частотных гармоник, пренебрежимо мала.

1.7.2. Свойства выборочной функции

называемая выборочной функцией представляет собой двумерную -решётку (рис. П.3) из функций с амплитудой . Рассмотрим её основные свойства.

1. Функция s_выб имеет размерность исходного сигнала s.

2. Объем выборки пропорционален сумме выборочных значе­ний

3. Спектр выборочной функции равен бесконечной двумерной сумме дискретно смещенных финитных спектров исходного сигнала и совпадает со вспомогательной функцией (1.62) на рис. 1.7б, так что

4. Свёртка с интерполяционной функцией восстанавливает исходный сигнал с помощью ряда Котельникова 1.64), который можно записать в виде .

На практике часто используют выборочную функцию , отличающуюся от (1.64) постоянным коэффициентом. Ее свойства совпадают со свойствами функции .

1.7.3. Переналожение спектров

Подставляя ее в (1.63), в результате обратного преобразования Фурье получим выражение для обобщенного ряда Котельникова

которое при переходит в ряд Котельникова (1.64).

Если теперь интервалы выборки т.е. , то для выборочной функции (1.65) имеем

. (1.67)

В свою очередь для спектра выборочной функции по аналогии с (1.66)

На рис. 1.9 а,б приведены одномерные ПЧС и . Так как

то использование низкочастотного ПЧФ с передаточной функцией при передаче по каналу связи в виде (1.67) не позволяет выделить ПЧС исходного сигнала в чистом виде. В отфильтрованном ПЧС (1.68) будут присутствовать частоты от соседних налагающихся спектров (рис. 1.9 б). В результате переналожения спектров возникают так называемые шумы дискретизации.

Пусть оптический сигнал s (x, у) отличен от нуля в прямоугольной области

Тогда ПЧС финитного сигнала полностью определяется сово­купностью отсчетов, взятых через одинаковые интервалы , так что по аналогии с (1.64) запишем ряд Котельникова в частотной области в виде

Для ЧВС финитного импульса, отличного от нуля на временном интервале , получим