1-Та›ырып. Метрикалы› кеЈістіктер. 1-дЩріс. Дщріс мазм±ны



Дата13.03.2018
өлшемі480.04 Kb.
#20588

ДЩрістерді о›у“а Форма

Щдістемелік жетекшілік ФМО ПГУ 7 18 207





  1. математика кафедрасы



  2. 3.2 ДЩрістер материалдарын оуа методикалыжетекшілік


1-Та›ырып. Метрикалы› кеЈістіктер.

1-дЩріс. ДЩріс мазм±ны. Метрикалы› кеЈістіктіЈ аны›тамасы, мысалдары. Метрикалы› кеЈістік кез келген Х жиынында ›±рылады.

Анытама 1. Х жиыныныЈ кез келген х жЩне у элементтерінде, тймендегі аксиомаларды ›ана“аттандыратын теріс емес саны:

1. (тепе-теЈдік аксиомасы);

2. (симметрия аксиомасы);

3. Х жиыныныЈ кез келген x, y, z элементтерінде теЈсіздігі орындалады (Їшб±рыш аксиомасы),

осы элементтердіЈ арасында“ы ашыты деп аталады.

Анытама 2. ЭлементтерініЈ арасында“ы ›ашы›ты› аны›тал“ан Х жиыны метрикалыкеЈістік деп аталады.

Сонымен, метрикалы› кеЈістік – жиын мен осы жиында аны›тал“ан ›ашы›ты›тан т±ратын ›оса›: .



Метрикалы› кеЈістіктердіЈ жиі кездесетін мысалдары:

жЩне бас›алар (1. 57-65 беттер).

Метрикалы› кеЈістіктерде Їшб±рыш аксиомасыныЈ орындалатынын тексергенде жиі ›олданылатын теЈсіздіктер:

1. Коши-Буняковский теЈсіздігі:

.

жЩне оныЈ салдары:



.

2. Гельдер теЈсіздігі:



3. Минковский теЈсіздігі:



Осы теЈсіздіктердіЈ дЩлелдеуін білу керек (1, 62-65 беттер).


2-дЩріс. МетрикалыкеЈістіктеріндегі топологикалы› ±“ымдар. Метрикалы› кеЈістіктердегі топологикалы› ±“ымдар“а шар жЩне шар ар›ылы аны›талатын нЇктеніЈ маЈайы жатады. Ашы›, т±йы› жиындар жЩне жиынныЈ т±йы›тамы туралы ±“ымдар. Осы жиындардыЈ ›асиеттері мен олардыЈ арасында“ы байланыстар туралы теоремалар.

Метрикалы› кеЈістіктердіЈ негізгі типтері:

* толы› метрикалы› кеЈістік,

* сепарабельді метрикалы› кеЈістік.

Осы та›ырып бойынша студенттер білуі керек:

- метрикалы› кеЈістік жЩне осындай кеЈістіктегі тополгиялы› ±“ымдарды (шар, нЇктеніЈ маЈайы, олардыЈ жиі ›олданылатын метрикалы› кеЈістіктердегі мысалдары)

- жиынныЈ ішкі, сырт›ы, шектік, оЈаша нЇктеледіЈ аны›тамаларын.

- метрикалы› кеЈістіктегі ашы›, т±йы› жиындарды, мысалдарын;

- жиынныЈ т±йы›тамын;

- метрикалы› кеЈістіктегі ашы› жЩне т±йы› жиындар туралы теоремаларды;

- берілген жиында ты“ыз жЩне барлы› жерде ты“ыз жиындар туралы ±“ым;

- толы› жЩне жЩне сепарабельді кеЈістіктер жЩне олардыЈ мысалдары.



Екінші та›ырып›а 2 дЩріс жЩне 4 жатты“у саба“ы жоспарлан“ан

3-дЩріс. Толы› метрикалы› кеЈістіктер туралы теоремалар.

Анытама 1. R=(X, ) кеЈістігіндегі нЇктелер тізбегі берілсін. Егер кез келген оЈ саны бойынша санын, теЈсіздігін ›ана“аттандыратын барлы› n мен m нймірлі нЇктелері теЈсіздігін ›ана“аттандыратындай етіп табу“а болса, ода берілген тізбек фундаменталды деп аталады.

Определение 2. Барлы› фундаменталды тізбектері йз ішінде жина›талатын R=(X, ) метрикалы› кеЈістігі толы› деп аталады.

Теорема 1. Толы› метрикалы› кеЈістіктегі радиусы нйлге ±мтылатын, бірініЈ ішінде бірі орналас›ан т±йы› шарлар тізбегініЈ ›иылысуы бос жиын болмайды.

Б±л теорема бірініЈ ішінде бірі орналас›ан сегменттер туралы лемманыЈ кез келген т±йы› кеЈістіктегі жалпылануы болып табылады.



љысыл“ан бейнелер принципі.

Анытама 3. R=(X, ) метрикалы› кеЈістігініЈ йзіне йзі А бейнеленуі осы кеЈістіктіЈ барлы› нЇктелері Їшін

теЈсіздігін ›ана“аттандыратын саны табылса, б±л бейнелеу ысылу деп аталады.



Теоремаысылан бейнелер принципі). Толы› R метрикалы› кеЈістікте аны›тал“ан кез келген ›ысылу бейтеленуініЈ тек ›ана бір ›оз“алмайтын нЇктесі болады.

Б±л принципті, Щдетте, польша математигініЈ атымен Банах теоремасы деп атайды.

(1, стр., 67-97 беттер).

кеЈістіктері толы› метрикалы› кеЈістіктіЈ мысалдары болып табылады. Рационал сандар кеЈістігі Q жЩне кеЈістіктері толы› болмайтын метрикалы› кеЈістіктердіЈ мысалдарына жатады.

Толыемес метрикалыкеЈістіктіЈ толытамасы. Толы› емес Q кеЈістігін толы› кеЈістігіне дейін толы›тау процесін игеру. Осы процессті толы› емес кез келген кеЈістіктіЈ толы›тамасын ›±ру“а пайдалану“а болатынын кйрсету. Осы Щдісті кеЈістігініЈ толы›тамасын ›±ру“а пайдалану. Толы›таманыЈ нЇтесі ретінде толв›талатын кеЈістіктіЈ фундаменталды тізбегі алыналатынына кйЈіл аударылуы керек. Б±л факт осы ЩдістіЈ шешуші элементі екеніне назар аудару керек.

Изометрлі метрлік кеЈістіктер.

Анытама 2. Егер метірлік кеЈістіктерініЈ йзара бірмЩді жЩне Їзіліссіз бейнеленуі бар болса, онда б±л бейнелеу гомеоморфизм деп, ал кеЈістіктер гомеоморфты деп аталады.

Анытама 3. Егер кеЈістігініЈ кез келген нЇктелерінде теЈдігін ›ана“аттандыратын кеЈістігін кеЈістігіне йзара бірмЩнді f бейнелеуі бар болса, онда б±л кеЈістіктер изометрлі деп аталады.

* Толы› емес метрикалы› кеЈістікті толы›тау. Метрикалы› кеіЈстікті толы›тау теоремасыныЈ дЩлелдеуін игеру.

* БірініЈ ішЈнде бірі орналас›ан шарлар туралы теорема.
Осы дЩріс бойынша игерілуі тиіс т±жырымдар мен теоремалар:

* определение Фундаменталды тізбектіЈ аны›тамасы;

* толы› метрикалы› кеЈістіктіЈ аны›тамасы;

* бірініЈ ішінде бірі орналас›ан шарлар туралы теорема;

* ›ысылу бейнелеудіЈ аны›тамасы;

* ›ысыл“ан бейнелер принципі (Банах теоремасы);

* толы› емес метрикалы› кеЈістіктіЈ толы›тамасы;

* толы› жЩне толы› емес метрикалы› кеЈістіктердіЈ мысалдары;

* изометрлі метрлік кеЈістіктер, мысалдары;

* толы› емес метрикалы› кеЈістікті толы›тау процесі.


4-дЩріс. Сызы›ты кеЈістіктер

1. Сызы›ты кеЈістіктіЈ аны›тамасы.



Сызыты кеЈістік деп (СК) элементтерін ›осу мен сан“а кйбейту амалдарына ›атысты т±йы› жиынды айтады. Сонымен (СК): Їштігі, осымен ›атар ›осу амала коммутативті, ассоциативті, СК нйлдік элемент бар: «0» жЩне б±л элемент Їшін барлы› нЇктелерінде (нйлдіЈ бар болуы) жЩне (›арама ›арсы элементтіЈ бар болуы).

Элементті сан“а кйбейту мына аксиомаларды мына аксиомларды ›ана“аттандыруы керек:



.

Егер СК на›ты сан“а кйбейту амалы аны›талса, онда СК на›ты, ал кешен сан“а кйбейту амалы аны›талса кешен СК деп аталады

2. СК мысалдары:

1.

3. Изоморфты СК аны›тамасы.

жЩне СК изоморфты деп аталады, егер осы кеЈістіктердіЈ элементтері арасында ›осу жЩне сан“а кйбейту амалдарыныЈ мЩндерін са›тайтын йзара бірмЩнді бейнелеу бар болса.

4. Изоморфты СК мысалдары. М±ндай СК ›арапайым мысалдарына жЩне Щрежесі -ден арты› болмайтын кйпмЇшеліктер кеЈістігі жатады.

5. СК сызы›ты тЩуелді элементтер жЇйесі.

6. СК сызы›ты тЩуелсіз элементтер жЇйесі.

7. СК кеЈістіктіЈ йдшемділігі.

8. СК базисі.

9. СК ішкеЈістігі.

10. Меншікті ішкеЈістік.

11. Меншікті ішкеЈістіктіЈ мысалдары.

12. элементтер жЇйесінен туындайтын меншікті ішкеЈістік. Сызы›ты› ›абы›ша.

13. Фактор-кеЈістік.

14. Сызы›ты функционал.

15. Сызы›ты функционалдыЈ геометриялы› ма“ынасы.

Шдебиет (1, Гл. 111,п.1, стр.159-161)



4-дЩріс бойынша ОСиЖ тапсырма: осы дЩрістіЈ пункттеріндегі ±“ымдарды игеру.

®шінші та›ырып›а 2 дЩріс жЩне 4 жатты“у саба“ы жоспарлан“ан

5-дЩріс. Нормаланан СК (НЛП). СК элементініЈ нормасы. ІшкеЈістік, оныЈ йлшемділігі. Тізбек элементтерініЈ нормасы бойынша жина›тылы›. Банах кеЈістігі. Гельдер жЩне Минковский теЈсіздіктері. Банах кеЈістіктерініЈ мысалдары. ЛебегтіЈ ›осындыланатын функциялар кеЈістігі , Їзіліссіз функциялар кеЈістігініЈ кеЈістігіндегі норма бойынша толы›тамасы. Евклид кеЈістігі. Гильберт кеЈістігі, оныЈ мысалдары. ВектордыЈ ±зынды“ы, векторлар арасында“ы б±рыш. Банах кеЈістігінде ортогонал дерлік элементтер жЇйесініЈ бар болатынды“ы.

Нормалан“ан СК та›ырыбына бір дЩрЩс жЩне 2 жатты“у саба“ы бйлінген.

Осы та›ырыл бойынша суденттер білуі керек.

- нормалан“ан СК ±“ымын;

- элементтіЈ нормасын;

- НСК-тегі элементтер тізбегі жина›тылы“ынын;

- ішкеЈістік жЩне оныЈ йлшемділігін;

- Банах кеЈістігін;

- Гельдера жЩне Минковский теЈсіздіктерін;

- Банах кеЈістігініЈ мысалдарын;

- ЛебегтіЈ кеЈістіктерін;

- ЛебегтіЈ ›осындыланатын функциялар кеЈістігі , Їзіліссіз функциялар кеЈістігініЈ кеЈістігіндегі норма бойынша толы›тамасы болатынды“ын;

- Евклид кеЈістігін;

- Гильберт кеЈістігін;

- вектор ±зынды“ын;

- векторлар арасында“ы б±рыштыЈ аны›тамасын жЩне Банах кеЈістігінде ортогонал дерлік элементтер жЇйесініЈ бар болатынды“ын.
6-дЩріс. Гильберт кеЈістігі. Изоморфизм туралы теорема

ДЩріс мазм±ны. Гильберт кеЈістігініЈ аны›тамасы, мысалдары. Изоморфизм туралы теорема. ІшкеЈістік, ортогонал толы›тауыш, тура ›осынды. Понятия о комплексных Кешен Евклид кеЈістігі туралы ±“ым (Щдебиет 1, 111 т., 6 – 9 пп, стр.180 – 190 беттер).

Анытама. Шексіз йлшемді толы› евклид кеЈістігі Гильберт кеЈістігі деп аталады.

Толы“ыра›, жиыны гильберт кеЈістігіне айналады, егер б±л жиын скалярлы› кйбейтінді аны›тал“ан, шексіз йлшемді толы› кеЈістік болса. Изоморфты гильберт кеЈістіктері тепе-теЈ кеЈістіктер деп ›арастырылады. Гильберт кеЈістіктерініЈ изоморфтылы“ы бойынша, барлы› гиьберт кеістіктері йзара изоморфты болады. б±л теорема барлы› гильберт кеЈістіктері кеЈістігіне изоморфты екендігін кйрсету ар›ылы дЩлелденеді. (изоморфизм туралы теорема 1, 181,182 беттер). Б±л теорема толы› евклид кеЈістігінде орындалатын Рисса-Фишера теоремасына сЇйеніп дЩелденеді. Гильберт кеЈістігіндегі маЈызды ±“ымдар“а ішкеЈістік жЩне оныЈ ортогонал толы›тауышы жатады. Осы ±“ым ар›ылы гиьберт кеЈістігініЈ кез келген векторы йзара ортогонал ішкеЈістіктерде жат›ан векторлар“а жіктеледі. (Б±л теоеманыЈ толы› мЩтінін о›улы›тыЈ 183-187 беттерінен табасыздар). Евклид кеЈістігініЈ сипаттамасы 8-теоремадан (187-191 беттер) табасыздар.



СиЖ тапсырма. издік ж±мыста тймендегі ±“ымдар мен т±жырымдарды игеру керек:

* Гильберт кеЈістігініЈ аны›тамасын;

* Гильберт кеЈістігініЈ мысалдарын;

* Гильберт кеЈістіктерініЈ изоморфтылы“ы туралы теореманы;

* Гильберт кеЈістігініЈ сепарабельді болатынды“ы туралы теореманы;

* ішкеЈістік жЩне оныЈ ортогонал толы›тауышын;

* Гильберт кеЈістігініЈ ортонормалан“ан ішкеЈістіктер жЇйесін

* Гильберт кеЈістігін ортонормалан“ан ішкеЈістіктердіЈ ›осындысы ретінде йрнектеу;

* Евклид кеЈістігініЈ сипаттаыш ›асиеті.

Жатты“у саба›тарында 6-дЩрістіЈ теориялы› материялдары тал›ыналады.


Тйртінші таырыпа 2 дЩріс жЩне 4 жаттыу сабаы жоспарланан.

7,8-дЩрістер. «Сызыты нормаланан метрикалыкеЈістіктегі компактылы» та›ырыбына екі дЩріс тйрт жатты“у саба› бйлінген. Б±л та›ырыпта студенттер шенелген, жете шенелген, компакт, шалакомпакакт жиындар туралы ±“ымдарды игеруі керек. Б±л та›ырыпта“ы негізгі мЩселе метрикалы› кеЈістіктегі жиындардыЈ компакт немесе шалакомпакакт болу критерийлерін игеру. Осымен ›атар, жеке метрикалы› кеЈістіктегі жиынныЈ компакт болу шарттарын игеру. ЖиынныЈ метрикалы› кеЈістіктегегі компакт болу белгісі – Хаусдорф теоремасы. Б±л жалпылама теореманы жеке ›арастырылатын метрикалы› кеЈістікте ›олдану кйптеген ›иын мЩселелерді шешуді керек ›ылады. Сонды›тан жекелеген метрикалы› кеЈістікте ›олдану“а ›олайлы критерилер ›алаптас›ан. Мысалы кеЈістігіндегі жиын компакт болуы Їшін оныЈ шенеулі болуы жеткілікті, ал кеЈістігіндегі жиын компакт болуы Їшін Арцель теоремасыныЈ шарттары орындалуы керек.

Осы та›ырып бойынша студенттер білуі керек:

- шенелген жЩне жете шенелген жиында𠱓ымын;

- метрикалы› кеЈістіктегі жиынныЈ компакт болу шартын (Хаусдорф теоремасын).

- шала компактылы› критериін;

- жекелеген метрикалы› кеЈістіктегі жиынныЈ компактылы› шарттарын;

- Арцел теоремасын;

- а›ырлы йлшемді кеЈістіктегі жиынныЈ компакт болу шартын.

Шдебиет: Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. Элементы функционального анализа, «НАУКА» М. 1965. (Гл. 5. пп.1, 2, стр. 228-256).
Бесінші таырыпа 2 дЩріс жЩне 4 жаттыу сабаы жоспарланан.

9-дЩріс. Сызы›ты функционалдар.

Анытама 1. Сызы›ты нормалан“ан кеЈістікте аны›тал“ан функционалы сызы›ты деп аталады, егер б±л функционал

1) аддитивті ,

2) біртекті болса.

ФункционалдыЈ геометриялымаынасы (1, стр. 147).

Сызыты функционалдыЈ ядросы. Сызы›ты функционалы шартын ›ана“аттандыратын сызы›ты L кеЈістігініЈ барлы› нЇктелер жиыны осы функционалдыЈ ядросы деп аталады да, деп белгіленеді.

Тапсырма 1. -тіЈ L кеЈістігініЈ ішкеЈістігі болатынын кйрсетіЈіздер.

2. Покажите, что -тіЈ койлшемі 1-ге теЈ болатынын кйрсетіЈіздер.



Анытама 2. Сызы›ты нормалан“ан L кеЈістігінде аны›тал“ан функционал , осы кеЈістіктіЈ нЇктесінде Їзіліссіз деп аталады, егер кез келген санына сЩйкес санын, теЈсіздігін ›ана“аттандыратын барлы› нЇктелерінде теЈсіздігі орындалса.

Анытама 3. Нормалан“ан сызы›ты кеЈістікте аны›тал“ан функционалы шенеулі деп аталады, егер осы кеЈістікте теЈсіздігін ›ана“аттандыратын М саны табылса L.

Анытама 4. теЈсіздігін ›ана“аттандыратын М саныныЈ еЈ кіші мані функционалыныЈ нормасы деп аталады да . символымен белгіленеді.

Сонымен, , барлы› нЇктелерінде.



Сызы›ты функционал нормасыныЈ геометриялы› ма“ынасы

Егер гипержазы›ты“ыныЈ координат басынан ›ашы›ты“ы d болса, онда , болатынын дЩлелдеЈіздер. сызы›ты функционал -тіЈ нормасы d ›ашы›ты“ына кері сан. (1, стр. 204-208).

Сызы›ты функционалдыЈ Їзіліссіздігі мен шенеулілігі йзара эквиваленті ±“ымдар.

Теорема 1. Егер сызы›ты функционал сызы›ты L кеЈістігініЈ ›андайда болмасын бір нЇктесінде Їзіліссіз болса, онда б±л функционал осы кеЈістікте Їзіліссіз болады.

Теорема 2. Шрбір Їзіліссіз функционал шенеулі жЩне шенеулі функционал Їзіліссіз болады

ХанБанах теоремасы. На›ты нормалан“ан сызы›ты E кеЈістігініЈ сызы›ты L ішкеЈістігінде аны›тал“ан шенеулі сызы›ты функционалыныЈ Е кеЈістігне дейінгі сызы›ты созындысын, нормасын йзгертпей аны›так“а блады. Демек, егер б±л созынды болса, онда барлы› нЇктелерде теЈдігі орындалады жЩне болады.

СиЖ тапсырма:

* сызы›ты функционалдыЈ аны›тамасы;

* сызы›ты функционалдыЈ ядросы;

* сзы›ты функционалдыЈ геометриялы› ма“ынасы;

* -тіЈ койлшемі;

* сызы›ты функционал ЇзіліссіздігініЈ аны›тамасы;

* шенелгендік жЩне Їзіліссіздік;

* сызы›ты функционалдыЈ нормасы жЩне оныЈ геометриялы› ма“ынасы;

* Берілген сызы›ты кеЈістіктіЈ сызы›ты ішкеЈістігінен берілген кеЈістікке дейінгі сызы›ты функционалдыЈ жал“асы туралы Хан – Банах теремасы.
Шешуге ±сынылатын есептер. И.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С.Соболева, Задачи и упражнения по функциональному анализу.

№ 11.2, 11.3, 11.4, 11,5.



10-дЩріс. Анытама. Сызы›ты Е кеЈістігінде аны›тал“ан барлы› сызы›ты функционалдар жиыны йз кезегінде сызы›ты кеЈістік болады (дЩлелдеЈіздер). Б±л кеЈістік берілген кеЈістікке тЇйіндес кеЈістік деп аталады да, деп белгіленеді.

Сонымен, , м±нд“ы Е кеЈістігінде аны›тал“ан сызы›ты функционал.

ТЇйіндес кеЈістіктегі норма: немесе . Сонымен, тЇйіндес кеЈістіктік – нормалан“ан сызы›ты кеЈістік.

ТЇйіндес кеЈістіктегі Щлді топология – осы кеЈістіктегі топология бойынша жина›тылы›.



Теорема 1. ТЇйіндес кеЈістік Щр›ашан толы›.

ТЇйіндес кеЈістіктіЈ мысалдары (1, стр. 215 бетке ›ара).

1-6 мысалдарды игеру керек.

Екінші тЇйіндес кеЈістік. изіне тЇйіндес жЩне рефлексивті кеЈістіктер. Осындай кеЈістіктердіЈ мысалдары.

СиЖ тапсырма:

* -ныЈ толы› сызы›ты кеЈістік болатынын дЩлклдеу;

* -дегі Щлді жина›тылы›;

* т±йіндес кеЈістіктіЈ мысалдары (1-6-шы мысалдар);

* екінші тЇйіндес кеЈістік;

* йзіне тЇйіндес жЩне рефлексивті кеЈістіктер, мысалдары.


Алтыншы та›ырып›а 2 дЩріс жЩне 4 жатты“у саба“ы жоспарлан“ан

ТЇйіндес кеЈістіктіЈ мысалдары.

кеЈістігіндегі функционалдыЈ жалпы тЇрі.

кеЈістігіндегі сызы›ты функционалды деп алайы›.

Сызы›ты функционалдыЈ аны›тамасы бойынша, .



, деп белгілеп алса›, болады. Енді

шарттарын ›ана“аттандыратын сызы›ты функционалддары Їшін

теЈдіктері орындалатынын ескеріп, функционалын



тЇріне келтіремізде оныЈ нормасын аны›таймыз. Осы ма›сатпен, Їшін



.

теЈсіздігінен тймендегі с±лба“а келеміз:



. (*)

Осымен ›атар, элементі



жЩне теЈдіктері орындалатынын ескеріп, болатынын кйреміз. Демек, (*) теЈсіздігінде элементе теЈдік орындалатынын кйркміз. Сонды›тан,

болады.

Сонымен біз -ге тЇйіндес кеЈістігіне келеміз. Я“ни, йлшемді евклид кецістігіне тЇйіндес кеЈістік йлшемді евклид кецістігі болады.



СиЖ тапсырма. кеЈістіктеріне тЇйіндест кеЈістіктерді табыЈыздар.

Шдебиет. Л.А.Люстерник, В.И.Соболев. Элементы функционального анализа. М. 1968, 180-196 беттер.


Сегізінші таырыпа 2 дЩріс жЩне 4 жаттыу сабаы жоспарланан.

12-дЩріс. Сызы›ты операторлар

Сызыты оператордыЈ анытамасы. Айтвлы› нормалан“ан сызы›ты кеЈістіктер болсын. Сызы›ты оператор деп мен нЇктелерінде

(1)`

шартын ›ана“аттандыратын бейнелеуін айтамыз.

ОператордыЈ сызы›ты болатынын дЩлелдеу Їшін (1) шартыныЈ орындалуын тексерсе жеткілікті. 1 – 7 мысалдарын шы“ару осы шарттыЈ орындалуын тексеруге саяды. ОператордыЈ Їзіліссіздігі мен шенеулілігі функционалдыЈ осындай ›асиаттарінЈ ±›сас.

Тапсырма 1. ОператордыЈ Їзіліссіздігі мен шенеулілігініЈ аны›тамасын жазыЈыздар.

2. Сызы›ты кеЈістіктіЈ бір нЇктесінде Їзіліссіз оператор осы кеЈістікте Їзіліссіз болатынын дЩлелдеЈіздер.

3. Сызы›ты кеЈістіктіЈ нЇктесініЈ ›андайда болмасын бір маЈайында шенеулі оператор осы нЇктеле Їзіліссіз болатынын жЩне керісінше осы нЇктеде Їзіліссіз оператор шенеулі болатынын дЩлелдеЈіздер.

ОператорлардыЈ кйбейтіндісі. Операторлар кйбейтіндісін аны›тау с±лбасы:

.

Белгілеулер : операторатормен байланысты ±“ымдарды тймендегі символдармен белгілейміз.

D(A) – А операторыныЈ аны›талу айма“ы,

R(A) – А операторыныЈ мЩндер айма“ы,

ОператордыЈ нормасы: немесе . Осы аны›тамалардыЈ эквиваленттілігін дЩлелдеЈіэдер.



Сызыты шенеулі операторлар кеЈістігі. деп белгіленген барлы› сызы›ты шенелген операторлар жиыны, нормалан“ан сызы›ты кеЈістік болатынын дЩлелдеЈіздер. Операторларды ›осу жЩне сан“а кйбейту амалдары мына: теЈдіктер ар›ылы аны›талады.

Сызы›ты шенелген операторлардыЈ негізгі ›асиеттерініЈ айтылуын В.А ТреногинніЈ есеп кітабынан табасыздар 51, 52 беттер.

Осы ›асиеттердіЈ дЩлелдеулері А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин кітабында 251-265 беттер.

СиЖ тапсырма 1. Операторлар арасында“ы ›осу, сан“а кйбейту, жЩне операторлпрды кйбейту амалдарын білу керек..

2. Шенеулі операторлар кеЈістігініЈ аны›тамасын білу керек. осындай кеЈістіктіЈ мысыалдарын игеру керек.

3. Шенеулі операторлар кеЈістігініЈ толы› болу шартын білу керек.
13-дЩріс. Кері оператор, оператордыЈ керіленуі.

X кеЈістігінен Y кеЈістігіне Щрекет ететін А операторы берілсін.



Анытама 1. Егер ® кеЈістігініЈ кез келген у элементінде Ах = у теЈдеуініЈ Х кеЈістігінде жататын жал“ыз шешімі бар болатын болса, онда А операторы керіленеді деп айтылады да кері оператор деп белгіленеді.

Теорема 1. Сызы›ты А операторына кері операторы сызы›ты болады.

Теорема 2. ( БанахатыЈ кері оператор туралы теоремасы). Егер сызы›ты А операторы Е банах кеЈістігін сызы›ты банах кеЈістігіне йзара бірмЩнді бейнелесе, онда онда осы оператор“а кері операторы бар болады. (ДЩлелдеуі 1, 259-262 беттерде).

Салдар 1. (Ашы› бейнелеу туралы). Е банах кеЈістігін банах кеЈістігіне сызы›ты Їзіліссіз А операторы ар›ылы толы› бейнелеу ашы› болады.

Салдар 2. Е кеЈістігін фактор-кеЈістігіне Щрбір сыбайлас клас›а осы клкастыЈ х элементін сЩйкестендіретін В бейнелеуі ашы› болады.

Теорема 4. Егер шенеулі кері операторы бар операторы Е-ні -ге толы› бейнелесе, онда операторыныЈ да шенеулі кеті операторы бар болады.

Теорема 5. Егер Е кеЈістігін йзіне бейнелейтін А операторы Їшін шарты орындалса, онда шенеулі операторы бар болады. (1, 164, 265 беттер).

Тапсырма. Осы дЩріс бойынша егжей-тегжейлі конспект ›±рыЈыздар. 14-дЩріс. Оператор спектрі. Резольвента

Анытама 1. Айталы› А: сызы›ты оператор болсын. теЈдеуініЈ ешімі болатын саны А операторыныЈ меншікті мЩні деп аталады.

Анытама 2. А операторыныЈ барлы› меншікті мЩндер жиыны осы оператордыЈ спектірі дап аталады. -ныЈ барлы› бас›а мЩндері регулярлы мЩндер деп аталады.

Анытама 3. мардымсыз емес шешімдері меншікті элементтер деп аталады.

А›ырлы йлшемді кеЈістікте екі жа“дай болуы мЇмкін:

1) теЈдеуініЈ нйлден йзгеше шешімі болуы мЇмкін. Б±л жа“дайда меншікті мЩн болады да осы шешім А операторыныЈ меншікті мЩні болады. Б±л жа“дай операторы бар болма“анда орындалады, демек опреаторы керіленбейтін жа“дай.

2) Шенеулі операторы бар болады, демек А операторыныЈ регуляры мЩні болады.

Егер А операторы а›ырсыз йлшемді кеістікте Щсер етсе; онда тймендегі Їшінші жа“дай орындалуы мЇмкін.

3) оператор бар болады,демек теЈдеуініЈ тек ›ана нйлдік шешімі бар болады, біра›та А операторы аны›талма“ан немесе шенелмеген Е кеЈістігініЈ ішжиыны бар болады.



Анытама 4. операторы А операторыныЈ резольвентасы деп аталады.

Очевидно, число cаны регулярлы болады, егер А оператораторы Е кеЈістігінде аны›талып шенеулі болса А. Б±л жа“дайда -ныЈ бас›а мЩндері осы оператордыЈ спекторын ›±райды.

ОператордыЈ спектірі нЇктелік немесе Їзіліссіз болуы мЇмкін.

Егер теЈдеуініЈ нйлдік емес шешімі болса, онда спектр нЇктелік болады. ®шінші жа“дайда спектр Їзіліссіз болуы мЇмкін.



Теорема 1. ОператордыЈ регулярлы нЇктелері ашы› жиын болады (Т.4, 264 бет).

Теорема 2. Егер А банахтыЈ Е кеЈістігінде шенеулі сызы›ты оператор болса жЩне болса, онда - регуляры нЇкте болады.

Мысал 1. В пространстве кеЈістігінде аны›тал“ан . операторыныЈ спектрін табыЈыздар.

Мысал 2. кеЈістігінде А операторы тймендегі бейнелеу пр›ылы аны›тал“ан

.

Осы бейнелеуді талдаЈыздар.

(Шдебиет, гл. 111, $$ 5, стр. 161-164, гл. У11, $$ 1-5)

То“ызыншы та›ырып›а 1 дЩріс жЩне 1 жатты“у саба“ы жоспарлан“ан

14-дЩріс. Жалпылан“ан функция

1. Функция туралы ±“ымды кеЈейту проблемасы. Бізді ›орша“ан ЩлемніЈ ›±былыстары Щдеттегі функция а›ылы спаттал бермейді. Мысалы, егер тЇзу бойында Їлестірілген масса бір нЇктеде шо“ырланса, онда материяныЈ осы нЇктедегі ты“ызды“ын Щдеттегі функция ар›ылы сипаттау мЇмкін емес. МатематиканыЈ йзінде берілген нЇктеде немесе функцияныЈ аны›талу жиынында туындысы болмайтын функциялар кездеседі. Осындай жа“дайлар функция“а деген кйз›арасты йзгертуді талап етеді. Функция туралы ±“ымды кеЈейту оныЈ ›олдану аясын кеЈейтеді. Б±л йз кезегінде функция туралы ±“ымды тЇбегейлі йзгертуді талап етеді..

Жалпыланан функцияны анытау жолдары. Сандар йсінде аны›тал“ан жане кез келген а›ырлы интервалда интегралданатын белгіленген функциясы ›арастырылады. Осымен ›атар, ›андайда болмасын бір интервалдыЈ сыртында нйлге айналатын, Їзіліссіз функциялар жиыны ›арастырылады. М±ндай функциялар финитты деп аталады. Финитті функциялар жиыны сызы›ты кеЈістік ›±райтыны кйрсетіледі.

Б±л кеЈістік негізгі функциялар кеЈістігі деп аталып К Щріпімен белгілену ›алыптас›ан. Шрбір кеЈістік осы кеЈістіктегі жина›тылы› ар›ылы сипатталады, Ал жина›тылы› нЇктеніЈ маЈайы ар›ылы (осы маЈай ар›ылы аны›тал“ан топология ар›ылы) аны›талады (1, 237 бет). КеЈістіктегі топология финитті функциялар кеЈістігіне ›ойылатын талаптар“а сЇйенеді. Финитті функциялар шексіз дифференциалданады деген талап ›алыптас›ан. Кейін б±л ›атаЈ талап жалпылан“ан функциялар класын тарылтпайтыны ай›ындал“ан.

Сонымен Щрбір финитті функциясына функциясы ар›ыты санын сЩйкестендіруге болады, демек б±л функция сызы›ты функционал ретінде аны›талады.

Аны›тама 1. Обобщенной функцией, заданной на тЇзуінде аны›тал“ан жалпылан“ан фукнция деп негізгі К кеЈістігінде аны›тал“ан функционалын айтады.

Сонымен, шенеулі интервалда интегрелданатын кез келген функциясы ар›ылы жалпылан“ан функция аны›талады. Мысалы м±ндай функция финитті функциялар кеЈістігінде (К кеЈістігінде) мына теЈдік ар›ылы аны›талуы мЇмкін:

.

Осылай аны›тал“ан жалпылан“ан функция регулярлы деп, ал барлы› бас›аша аны›тал“ан жалпылан“ан функция сингулярлы деп аталады.

Сингулярлы жалпылан“ан функцияныЈ мысалдары:.

1. « функция»: . .

2. «Жылжытыл“ан функция».

3. « функцияныЈ туындысы». Шрбір функциясына саны сЩйкестендіріледі де функцияняЈ туындысы деп ›абылданады.

4. жалпылан“ан функция интегралы ар›ылы аны›талады. Шлбетте б±л функция К кеЈістігініЈ Щрбір функциясына санды сЩйкестендіреді. Б±л сан

,

теЈдігі ар›ылы бірмЩнді аны›талады.


Жалпылан“ан функциялар жиынында“ы амалдар.

1. Шекке кйшу Жина›тылы› осылай аны›тал“ан жлпылан“ан функциялар кеЈістігі символымен балгіленеді.

2. Жалпылан“ан функцияларды кйбейту. Жалпылан“ан функцияныЈ а›ырсыз дифференциалданатын функциясына кйбейиіндісі мыны теЈдік а›ылы

аны›талады.



Жалпылан“ан функцияныЈ туындысы.

Аны›тама 2. Жалпылан“ан Т функцияныЈ туындысыф деп



.

теЈдігі ар›ылы аны›тал“ан жалпылан“ан функцияны айтады.



Жалпылан“ан функцияныЈ туындысын аны›тайтын теЈдік интегралын бйліктеп интегралдау ар›ылы дЩлелденеді. Финитті функция а›ырсыз дифференцалданатын бол“анды›тан жалпылан“ан функция а›ырсыз дифференциалданады.

Тапсырма. Осы та›ырып бойынша жан-жа›ты конспект жасаЈыздар.

Оныншы та›ырып›а 1 дЩріс жЩне 1 жатты“у саба“ы жоспарлан“ан



Каталог: arm -> upload -> umk
umk -> Жұмыс бағдарламасы қазақстан тарихының тарихнамасы пәні бойынша 050203-Тарих мамандығының студенттеріне арналған
umk -> Программа дисциплины Форма для студентов ф со пгу 18. 2/07
umk -> Жұмыс бағдарламасы шет елдер тарихының тарихнамасы пәні бойынша 050203-Тарих мамандығының студенттеріне арналған Павлодар
umk -> АќША, несие, банктер
umk -> Жұмыс оқу бағдарламасының титулдық парағы
umk -> Пәннің жұмыс Нысан
umk -> Web-технологияныњ ±ѓымдары
umk -> Программа дисциплины для студентов
umk -> Ф со пгу 18. 2/05 Қазақстан Республикасының Білім және ғылым министрлігі
umk -> Јдістемелік нўсќаулыќ


Достарыңызбен бөлісу:




©kzref.org 2023
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет