11. Алгебраические линии и поверхности второго порядка, канонические уравнения, классификация

Определение : Уравнение линии 2-го порядка имеет вид , где , при этом

, , .

Обозначим I₁=trA = a₁₁ + a₂₂, I₂=|A|, I₃=|B|, где , .

Теорема : Переносом начала координат и поворотом плоскости уравнение можно привести к одному их следующих типов : I. ( I₂  0 )

2. 
   ( I₂ = 0, I₃  0 )
   
3. 
   ( I₂ = 0, I₃ = 0 )
   

Алгебраические линии 2-го порядка

I тип : I­­­­₂  0, , ,

1. 
   Линии эллиптического типа. (I­­­­₂ > 0)
   

a) , I₃< 0 , канонический вид ; a, b > 0. Эллипс

б) , I₃> 0 , канонический вид ; a, b > 0. Мнимый эллипс

в) a₀=0, I₃= 0 , канонический вид ; a, b > 0. Пара пересекающихся мнимых прямых (ПМП_хП)

2. 
   Гиперболический тип. , (I­­­­₂ > 0)
   

а) a₀0, I₃ 0 , канонический вид . Гипербола

б) a₀=0, I₃= 0 , канонический вид . Пара пересекающихся прямых (ПП_хП)

I₁ = ₂, I₂ = 0, I3 = , канонический вид , p>0. Парабола.

III тип : I₁ = ₁, I2 = 0, I₃ = 0

1. 
   , канонический вид . Пара параллельных прямых (ПП_||П)
   
2. 
   , канонический вид. Пара мнимых параллельных прямых (ПМП_||П)
   
3. 
   C₀=0, канонический вид y²=0. Пара слившихся прямых (ПСП)
   

, , ,

1. 
   (I30)
   
2. 
   (I3=0)
   
3. 
   
   
4. 
   
   
5. 
   
   

а) — элипсоидб) — мнимый элипсоид

в) —вырожденный элипсоид. 

а)-однополостный гиперболоид б)—двухпол. гиперболоид

в) — эллиптический конус

1) — эллиптич. параболоид— гиперболич. -||-

а) — эллиптич. цилиндрб) — мнимый эллиптический цилиндр

в) — вырожденный цилиндр 

a)- гиперболич. цилиндрб) - пара пересек-ся плоскостей

параболический цилиндр

1. 
   — пара параллельных плоскостей
   
2. 
   — пара мнимых параллельных плоскостей
   
3. 
   — пара совпадающих параллельных плоскостей