КОШИ-БУНЯКОВСКИЙ ТЕҢСІЗДІГІН ҚОЛДАНУ АРҚЫЛЫ РЕСПУБЛИКАЛЫҚ МАТЕМАТИКА ОЛИМПИАДА ЕСЕПТЕРІН ШЫҒАРУ
Батырбек Қайрат
Асатана қаласы, Сарыарқа ауданы
№61 орта мектебінің математика пәнінің мұғалімі
Теорема: Кез келген нақты және сандары үшін
теңсіздігі орындалады. Бұл теңсіздікті Коши-Буняковский теңсіздігі деп атайды.
Дәлелдеуі: Берілген теңсіздіктен , деп белгілейік.
Кез келген нақты саны үшін
теңсіздігі орындалатыны белгілі. Ендеше, осы теңсіздікті қолданамыз:

Осыдан,
теңсіздігі алынады. Демек, теорема дәлелденді.
Мұнда, болғанда теңсіздік теңдікке айналады.
Коши-Буняковский теңсіздігін көптеген есептерде мына теңсіздік
түрінде қолдануға тура келеді.
№1. Кез келген нақты сандары үшін
теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз.
Шешуі: Коши-Буняковский теңсіздігін қолдану арқылы теңсіздікті дәлелдейміз:
Мұнда, болғанда теңсіздік теңдікке айналады.
№2. Кез келген нақты сандары үшін
теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз.
Шешуі: Берілген теңсіздіктің оң жаңын түрлендіріп, оған Коши-Буняковский теңсіздігін қолдану арқылы теңсіздікті дәлелдейміз:
Бұдан,
Мұнда, болғанда теңсіздік теңдікке айналады.
№3. Кез келген оң сандары үшін
теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз.
Шешуі: Коши-Буняковскийдің мына
теңсіздігін қолданамыз.
болсын. Осы таңдап алған айнымалыларды Коши-Буняковский теңсіздігіне орналастырсақ, онда
Бұдан,
Енді, бұл теңсіздікті түрлендіріп, оған Коши теңсіздігін қолданамыз:
Демек, берілген теңсіздік дәлелденді.
№4. (Математика Республикалық Олимпиада-2009. ІІ-кезең, 10-сынып) Кез келген оң нақты және сандары үшін
теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз.
Шешуі: Коши-Буняковский теңсіздігін қолданамыз:
Бұдан,
Соңғы теңсіздікті берілген теңсіздікке қолданамыз:
немесе
Осы теңсіздікке сәйкес қалған теңсіздіктерді жазамыз:
Бұл теңсіздіктерді берілген теңсіздікке орналастырып, оған Коши теңсіздігін пайдалансақ теңсіздік дәлелденеді.
№5. (Математика Республикалық Олимпиада-2010. ІІ-кезең, 9-сынып) теңдігі орындалатын теріс емес және оң нақты сандары үшін
теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз.
Шешуі: Алдымен берілген теңсіздіктің екі жағын ге көбейтіп, мына теңсіздік
түрінде келтіреміз. Осы теңсіздіктің сол жағын түрлендіріп, оған Коши-Буняковский теңсіздігін қолданамыз:
Енді, бұған Коши-Буняковскийдің теңсіздігін қолданамыз:
Бұдан,
теңсіздігі алынады. Демек, теңсіздік дәлелденді.
Достарыңызбен бөлісу: |