А. А. Привалов и А. Г. Мякишев



Дата29.04.2019
өлшемі1.4 Mb.
#122883

О конкурентности некоторых чевиан треугольника

Научные руководители - А.А.Привалов и А.Г.Мякишев.

Выполнил Долгирев Павел.

Работа посвящена оному из разделов элементарной геометрии: конкурентные прямые – прямые, которые пересекаются в одной точке(подробнее можно прочесть в [1] и [3].

Введем необходимые обозначения:

Обозначим в треугольнике АBC: =α, =β и =γ; BC=a, AC=b, AB=c.

Материальной точкой называется парой (mA, A), где А – точка, а mА – число, соответствующее А (масса А) – [1] и [3].

Мотивировки

Cоответствующий текст не является необходимым для понимания формулировок основных результатов.

Как известно, если построить на сторонах произвольного треугольника равнобедренные треугольники с одним и тем же углом при основании (при положительных значениях угла проводим боковые стороны вовне, в противном случае – наоборот), а затем соединить их вершины с соответствующими вершинами исходного треугольника, то полученная тройка прямых всегда будет пересекаться в одной точке (ниже это будет очевидно из лемм 1 и 2), а множество всех таких точек заметает некоторую гиперболу (см. рис.1) – т.н. гиперболу Киперта.



А.А. Привалов поставил задачу о исследовании свойств прямых, отсекающих от сторон треугольника равные части его углов.



Теорема 1. Проведем в произвольном треугольнике ABC прямые AA1, AA2, BB1, , ,  таким образом:

A1AB ==A2AC, B1BC = β=B2BA , C1CA = γ=C2CB.

Тогда прямые (BY), (AX), (ZC) пересекаются в одной точке D, где X, Y и Zпопарные пересечения BB1 и CC2, AA2 и CC1, AA1 и BB2 соответственно (см. рис. 2 и 3) (при 0≤≤1, то прямые проведены внутренним образом, и при отрицательном k – внешним образом), пока у нас есть пересечение этих шести прямых (внешнее или внутреннее одновременно).









Доказательство.

  1. С начала докажем для внутренней точки:

Лемма 1: В произвольном треугольнике ABC проведены три чевианы AA1, BB1, CC1. Также известно, что A1AB=α1, A1AC=α2, B1BC=β1, B1BA= β2 (см. рис. 4). Тогда,

= .

Доказательство:



  1. Введем следующие обозначения: A1C=a1, A1B= a2, B1A=b1, B1C= b2.

  2. Запишем теорему синусов в треугольниках A1AB и B1СA:

 = ;  =  = .

  1. Аналогично: =;

  2. Запишем условие Чевы: =1

=.

Перейдем к основному доказательству:

Пусть A', B' и C' – точки пересечения прямых (BY), (AX), (ZC) со соответствующими сторонами.


  1. Запишем следующие отношения:

 = ;

 =;

=.

  1.  по теореме обратной теоремы Чевы следует, что прямые (BY), (AX), (ZC) пересекаются в одной точке.

Найдем точку D при k=0 и k=1:



=  =

= [по первому замечательному пределу] = = = 

Аналогично, следует, что:



 и , то есть D(0) имеет следующие барицентрические координаты [сравните с точкой I].

2. при k=1:



===

[по первому замечательному пределу] ==

Аналогично  и=, то есть D(1) имеет следующие барицентрические координаты ().


  1. Будем откладывать углы αk, βk, γk во внешнюю часть треугольника.

Доказательство. Здесь доказательство основывается на следующей лемме:

Лемма 2:

В произвольном треугольнике ABC на стороне BC достроен треугольник A'BC: A'BC1 и A'CB1 (см. рис. 5). Тогда, , где А1=(AA')(BC).

Доказательство:


  1. Запишем теорему синусов в треугольниках ABA1 и ACA1:  и  = .

  2. Запишем теорему синусов в треугольниках ABA' и ACA':  и

=



  1. Запишем также теорему синусов в треугольнике A'BC:  .

  2. Из пунктов 1, 2 и 3 следует, что

  3. .

Перейдем к основному доказательству:

В произвольном треугольнике ABC проведены внешним образом прямые AB', CB', CA', BA', BC', AC' таким образом, что B'AC=C'ABk, ACB'=BCA'=γk и C'BA=CBA'=βk (см. рис. 6) (т.е. возьмем k положительным, помня, что на самом деле он отрицателен). Тогда прямые (AA'), (BB') и (CC') конкурентные.





  1. По лемме 2:

=;

 =;

=.

  1. =1 по теореме обратной теореме Чевы следует, что (AA'), (BB') и (CC') пересекаются в одной точке.

Следует отметить, что отношение  есть нечто иное, как отношение масс, положенных в точки С и B. Следовательно, в случае внешнего пересечения отношение масс будет таким же только с другим знаком. И нужно отметить, что в этом случае будет еще одно внешнее пересечение. Тогда произведение всех трех отношений дадут 1 (более подробно об этом можно прочесть в [1], [3]).

Найдем P(1):



  1. При k=1:

=P(1) = H = D(-1), где Н – ортоцентр треугольника ABC.

Из этой теоремы можем сделать вывод, что барицентрические координаты точки D (см. отношения, выписанные в п. 1 и 2):



Найдем D', изогонально сопряженную D (см. в [1]):

Барицентрические координаты D':

то есть кривая, которую описывает точка D, при изогональном сопряжении переходит сама в себя. Вот экспериментальный график этой кривой:



Следует заметить, что на этой кривой лежит центр вписанной окружности(I), ортоцентр(H) и точка, образованная соответствующим пересечением вершины треугольника с точками, которые образованы пересечением соответствующих трисектрис углов треугольника (Второй центр Морлея (2nd Morley Centre) – имеет номер №357 по Кимберлингу). Вот барицентрические координаты этих точек:

I - ;

H – ;



2nd Morley Centre -



Немного истории: В 1914 году Френк Морлей опубликовал доказательство теоремы о трисектрисах: точки, образованные пересечением соответствующих трисектрис, образуют правильный треугольник. Доказательство этого факта можно прочесть в [2].

Для справки: А первый центр Морлея - точка номер №356 по Кимберлингу - это центроид треугольника Морлея.

Теорема 2.(6 точек на конике) В произвольном треугольнике ABC проведены прямые AA1 и AA2, BB1 и BB2, CC1 и CC2 таким образом, что AB=AC=kα, CA=CB=kγ, BC=BA=kβ (см.рис 7). Тогда A1, A2, B1, B2, C1, C2 всегда лежат на одной конике.



Доказательство.

  1. Запишем теорему синусов в треугольниках CAA1 и ABA2:  и .

  2. Тогда . Аналогично  = .

  3. Тогда

= 

и

==1.

Следовательно A1, A2, B1, B2, C1, C2 лежат на одной конике – подробнее в [4], стр. 43.

Литературa:

[1]. А.Г. Мякишев «Элементы геометрии треугольника», МЦНМО, Москва, 2002.

[2]. Журнал Квант 1978г. №8, Г. Тоноян и И.Яглом http://kvant.mirror1.mccme.ru/1978/08/index.htm.

[3]. М.Б. Балк, В.Г. Болтянский «Геометрия масс», http://www.math.ru/lib/files/djvu/bib-kvant/kvant_61.djvu.

[4]. А. В. Акопян, А. А. Заславский. «Геометрические свойства кривых второго порядка», МЦНМО, Москва, 2007.

[5]. А.Г. Мякишев «Элементарная геометрия и компьютер», Москва, 2006.






Достарыңызбен бөлісу:




©kzref.org 2022
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет