Формирование готовности старшеклассников к самостоятельной деятельности


Решение некоторых типов задач на планирование действий



жүктеу 1.71 Mb.
бет6/17
Дата21.04.2019
өлшемі1.71 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   17

Решение некоторых типов задач на планирование действий

Особый интерес среди занимательных задач занимают задачи на планирование действий – задачи на нахождение и описание процесса достижения поставленной цели при определённых условиях. Изначально известны конечная цель и условия, накладывающиеся на процесс её достижения, требуется спланировать и описать этот процесс, т.е. установить, какие действия и операции надо последовательно совершить, чтобы достигнуть поставленной цели.

Такого рода задачи нередко нам диктует жизнь. Так, например, мы не всегда можем организовать переправу рациональным способом, набрать определённое количество воды, имея сосуды другого объема. Здесь на помощь тоже приходит умение решать задачи на планирование действий.

Несмотря на высокую эмоциональность, практическую значимость, задачам на планирование действий не уделяется должного внимания в курсе математики. На уроках данные задачи предлагаются, в основном, для устного коллективного решения, в результате над ними работает небольшое число учащихся. Задачи на планирование действий редко предлагаются для письменного решения, т.к. многих учащихся пугает сам процесс описания решения, который предполагает большой объём записи в отличие от самой формулировки задачи.

Существенную помощь в разрешении этой трудности может оказать применение разработанных в информатике различных форм записи алгоритмов (таблицы, блок-схемы).

Условно задачи на планирование действий, доступные младшим школьникам, можно разделить на следующие виды: переливания, взвешивания, расстановки, разъезды, дележи, перемещения, переправы, задачи на движение, разные задачи.



1. Переливания

Это задачи, в которых требуется путём переливаний жидкости из одного сосуда в другой, опустошения сосуда, получить определённое количество жидкости, которое нельзя получить сразу путём наполнения одного из сосудов. При этом можно выполнять следующие операции: наливать сосуд доверху, выливать всю жидкость из сосуда, доливать жидкость в сосуд доверху.

Среди всех задач на переливание выделяются такие, в которых количество воды не ограничено.

Задача 1. Как при помощи семилитрового и пятилитрового сосудов получить 6 литров воды, не используя другие сосуды.

При решении данного вида задач можно руководствоваться общей тактикой: из каждой предыдущей ситуации получать новую, которой ещё не было. Так как сосуда всего два, то происходит движение только вперёд, пока не будет достигнута требуемая ситуация. Однако, такой подход к решению задачи нерационален.

Такие задачи имеют особый способ разбора. Задачи на переливание можно решать «от конца к началу». Покажем разбор задачи на приведённом примере. Надо, чтобы в 7-литровом сосуде было 6 литров воды. Это можно получить, если из 7-литрового сосуда отлить 1 литр, а 1 литр можно отлить в 5-литровый сосуд, если там будет 4 литра. Четыре литра можно получить, если из 7-литрового сосуда отлить 3 литра. Три литра отольём, когда в 5-литровом сосуде будет 2 литра, а 2 литра получить просто: из 7-литрового сосуда отлить 5 литров путём наполнения 5-литрового сосуда. Останется восстановить решение в обратном порядке. Рационально решение можно оформить в виде таблицы.



№ столбца

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11



7

2

2

0

7

4

4

0

7

6

6



0

5

0

2

2

5

0

4

4

5

0

Таблицу понимать нужно так: наполняем сосуд объемом 7 литров (первый столбец), затем переливаем из него 5 литров во второй сосуд (второй столбец) и опустошим пятилитровый сосуд (третий столбец). Затем оставшиеся 2 литра из семилитрового сосуда выливаем в пятилитровый сосуд (четвертый столбец) и вновь наполняем семилитровый сосуд (пятый столбец). Переливаем из семилитрового сосуда в пятилитровый 3 литра так, чтобы пятилитровый сосуд был заполнен доверху, при этом в семилитровом сосуде останется 4 литра (шестой столбец). Вновь опустошаем пятилитровый сосуд (седьмой столбец). Переливаем 4 литра воды из семилитрового в пятилитровый сосуд (восьмой столбец), и вновь заполняем семилитровый сосуд (девятый столбец). Доливаем 1 литр в пятилитровый сосуд, при этом в семилитровом сосуде остается 6 литров воды.

Существует ещё один способ поиска решения задач на переливание – составление числового выражения с использованием чисел, данных в задаче. Значение выражения должно быть равно искомому числу. В нашем примере получается такое равенство: 7 · 3 – 5 · 3 = 6.

Записи 7 · 3 и 5 · 3 говорят о том, что при решении задачи необходимо три раза наполнить 7-литровый сосуд и три раза опустошить 5-литровый. Из выражения также видно, что первым действием при решении задачи будет наполнение семилитрового сосуда.

Можно составить еще одно выражение для решения этой задачи: 5 · 4 – 7 · 2. В этом случае решение задачи начинаем с наполнения 5-литрового сосуда. По выражению видно, что оба способа решения данной задачи предполагают выполнение одинакового количества операций.

Однако так бывает далеко не всегда. Например, требуется налить 3 литра воды, пользуясь 9-лировым и 5-литровым сосудами. Можно составить следующие выражения:

9 · 2 – 5 · 3 = 3 и 5 · 6 – 9 · 3 = 3. По выражениям явно видно, что решение следует начинать с наполнения 9-литрового сосуда.

Для решения задач на переливание существует ещё один способ – практический, когда предлагаются сосуды меньшей ёмкости, но в таком же соотношении, и неограниченное количество воды. Для проверки правильности решения используется контрольный сосуд.

Второй разновидностью задач на переливание является задача с ограниченным количеством жидкости и сосудов предлагается от трёх и более.

Задача 2. У хозяина есть три бочонка вместительностью 6, 3, 7 ведер. В 6-ведерном и 7-ведерном бочонках соответственно 4 и 6 вёдер кваса. Половину кваса он решил продать. Требуется, пользуясь только этими тремя бочонками, разделить квас на две равные части.

При решении такого вида задач лучше всего руководствоваться общей тактикой: прежде всего узнаем, по сколько ведер кваса мы должны получить. Разделив общее количество кваса, получим, что в двух бочонках мы должны получить по 5 литров кваса; такое количество кваса может быть только в 6-ведерном и 7-ведерном бочонках. Чтобы получить 5 ведер кваса, мы можем отлить из 6-ведерного бочонка одно ведро кваса, для этого в 3-ведерном бочонке должно быть 2 ведра кваса, или из 7-ведерного бочонка отлить 2 ведра кваса, для этого в 3-ведерном бочонке должно быть одно ведро кваса. Таким образом, мы должны получить в трехведерном бочонке 1 или 2 ведра кваса. Имеет смысл начинать переливание из 6-ведерного в трехведерный бочонок или из 7-ведерного в трехведерный бочонок. Следует заметить, что при решении такого типа задач количество жидкости ограничено, в данной задаче имеется 10 ведер кваса, поэтому надо следить за тем, чтобы в каждом столбце таблицы количество жидкости было постоянным и равным количеству данной жидкости.

Решение задачи также заносим в таблицу:


6 в.

4

1

1

6

5

5

3 в.

0

3

2

2

3

0

7 в.

6

6

7

2

2

5

Таблицу понимаем так: переливаем 3 ведра из 6-ведерного бочонка в 3-ведерный, при этом в 6-ведерном бочонке остается 1 ведро кваса (второй столбец). Чтобы получить в 3-ведерном бочонке 2 ведра кваса, достаточно перелить 1 ведро из 3-ведерного в 7-ведерный бочонок (третий столбец). Поскольку в 3-ведерном бочонке 2 ведра кваса, а нам надо получить 5 ведер, то нам надо иметь 6 ведер в одном бочонке, для этого переливаем квас из 7-ведерного бочонка в 6-ведерный. Остается перелить ведро кваса из 6-ведерного бочонка в 3-ведерный, в 6-ведерном бочонке будет 5 ведер кваса и весь оставшийся квас перелить в 7-ведерный бочонок.

Задача имеет и другое решение:



6 в.

4

4

6

2

2

5

3 в.

0

3

1

1

3

0

7 в.

6

3

3

7

5

5

2. Дележи
Первый тип задач. В них предлагается определённое число предметов разделить между некоторым числом людей поровну, при условии, что каждый предмет нельзя делить на определённое число частей.

Задача 3. Требуется разделить пять яблок между двенадцатью детьми, при этом яблоко нельзя делить на 12 частей.

Решение. Будем искать наиболее рациональный вариант деления. Во всех задачах на дележи требуется мелкие доли перевести в более крупные.

Решение задач на дележи предполагает предварительные вычисления. Приведём разбор на предложенном примере.

Каждый из детей получит по яблока, но яблоко нельзя делить на 12 частей, поэтому необходимо перейти к более крупным долям, заменяя числитель дроби суммой удобных слагаемых так, чтобы в результате получилась сумма сократимых дробей.



Каждый ребёнок получает по одной четвёртой и по одной шестой доле. В нашем случае это будет единственное решение.

Решение оформим в виде рисунка. Для этого изобразим яблоки в виде круга, разделим три яблока на 4 равные части, т.к. четвертинок должно быть 12, и 2 яблока разделим на 6 равных частей. Осталось закрасить те части кругов, которые получит один ребенок.

Мы рассмотрели рассуждения, которые может при решении данной задачи провести учитель. Ученики младших классов еще не умеют складывать дроби с одинаковыми знаменателями и сокращать дроби, поэтому можно рассуждать иначе. Одно яблоко нельзя делить на 12 равных частей, поэтому разделим два яблока на 12 равных частей, при этом каждое из них делим на 6 частей. Оставшиеся 3 яблока снова делим между 12 детьми поровну, получается, что каждое из оставшихся яблок делим на четыре равные части.



Второй тип задач: в большинстве этих задачах требуется разделить деньги, которые один человек должен двум или большему числу людей за то, что они его накормили или временно внесли его долю при покупке чего-либо.

Задача 4. Два крестьянина расположились у лесной опушки закусить. В это время к ним подошел путник и попросил поделиться завтраком, пообещав уплатить, что следует. Те согласились и достали свой скудный завтрак: у одного крестьянина было 2 хлебца, а у другого такой же один. Все втроем закусили, причем ели поровну. Уходя, путник уплатил за свою долю 6 копеек. Как крестьяне должны разделить эти деньги между собой?

Решение. Первое желание, которое возникает – разделить деньги пропорционально хлебцам, которые были у крестьян. Но на самом деле это не так. Трое съели 3 хлебца, значит каждый съел по одному хлебцу, поэтому крестьянин, у которого был 1 хлебец, не получает ничего, а все 6 копеек должны достаться другому, у которого было 2 хлебца.

Задача 5. Коля принес в класс 3 чистые тетради в линию, Вася – 6 тетрадей в клетку, а их друг Сережа забыл принести чистые тетради. Друзья разделили все тетради поровну, каждый из них получил по одной тетради в линию и по две тетради в клетку. Назавтра Сережа отдал ребятам 6 рублей за полученные им тетради. Как надо разделить эти деньги между Колей и Васей, если цена тетради в линию и тетради в клетку одинакова?

Решение. Трудность при решении этой задачи возникает из-за того, что тетради, которыми поделились с Сережей друзья, были разными – в линию и в клетку. Но т.к. цена тетрадей одинакова, то получаем, что Сереже 3 тетради отдал Вася, а потом ребята могли просто обменяться тетрадями. Поэтому, все 6 рублей получает Вася.

Задача 6. Три подружки договорились к праздничному столу купить 12 пирожных. Первая купила 5, а вторая 7 пирожных. Третья же принесла 12 рублей. Как должны поделить эти деньги девочки?

Решение. Решение этой задачи не такое простое, как в предыдущих задачах, поэтому запишем его по действиям.

1) 12 : 3 = 4 (пирожных) – должна была купить каждая девочка;

2) 12 : 4 = 3 (руб.) – стоит одно пирожное;

3) 5 – 4 = 1 (пирожное) купила первая девочка для третьей;

4) 3 · 1 = 3 (руб.) – должна взять первая девочка;

5) 7 - 4 = 3 (пирожных) купила вторая девочка для третьей;

6) 3 · 3 = 9 (руб.) должна взять вторая девочка.

3. Переправы

В задачах данного рода требуется переправить определённое количество персонажей с одного берега на другой в лодке, которая не вмещает данное количество переправляющихся. Переправляться могут папы с сыновьями, рыцари и оруженосцы, горожане и разбойники, людоеды и их слуги, при этом могут накладываться дополнительные условия.

Рассмотрим вначале совсем простую задачу.

Задача 7. По реке в лодке катались два мальчика. К реке подошел крестьянин и попросил перевести его на другой берег. Мальчики задумались: в лодке может поместиться либо два мальчика, либо один взрослый. Ребята были умными и быстро придумали как разрешить эту ситуацию.

Решение целесообразно оформлять в виде схемы. Введем обозначения: К – крестьянин, М – мальчик. Условимся, что переправа производится с левого на правый берег. Одну переправу будем обозначать следующим образом:


  1. стрелка показывает направление движения;

  2. над стрелкой показываем, кто переправляется;

  3. слева от стрелки записываем тех, кто в данный момент оказался на левом берегу; справа записываем тех, кто в данный момент уже переправился.

Можно также провести две вертикальные линии, обозначающие берега реки.

Вначале составим алгоритм переправы: мальчики плывут на другой берег и один мальчик остается там, а второй плывет на левый берег, где его ждет крестьянин. Мальчик выходит на берег, а крестьянин садится в лодку и переправляется на правый берег, там первый мальчик садится в лодку и забирает второго мальчика. Следует помнить, что в каждой строке должны быть написаны все участники переправы.



К

К М



Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   17


©kzref.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет