Гомографияның меншікті мәндері



жүктеу 79.81 Kb.
Дата21.04.2019
өлшемі79.81 Kb.

ӘОЖ 514.144

ГОМОГРАФИЯНЫҢ МЕНШІКТІ МӘНДЕРІ
Ш.Қ.Егемберді

Мақалада проективті кеңістіктегі гомография элементтерін анықтау үшін әр түрлі қозғалмайтын нүктелер мен бейнеленулер қарастырылып, зерттеу нәтижесі ұсынылған.

Аффиндік кеңістіктің бір кемшілігі, ондағы қарастырылатын теоремаларда кездесетін кейбір кездейсоқтықтар бар, мысалы түзулер параллель болған жағдайда. Осындай кемшіліктерді болдырмау мақсатында, 1639 жылы Дезарг проективтік геометрияны құрған.



Проективтік геометрия деп, векторлық кеңістіктің бірөлшемді векторлық ішкі кеңістігін айтамыз. Векторлық кеңістік болса, онда векторлық кеңістіктен туындалған, яғни кеңістігінің түзулерінен құралған проективтік кеңістік болсын. проективтік кеңістіктің элементтері нүктелер деп аталады. проективтік кеңістіктегі проективтік ішкі кеңістік ол векторлық кеңістіктің ішкі кеңістігінің бейнесі болып табылады және олардың өздері де проективтік ішкі кеңістік бола алады. Сонымен қатар нүктелер нөлөлшемді, түзулер бірөлшемді, ал жазықтықтар екі өлшемді ішкі кеңістіктер болады.

проективтік кеңістіктен проективтік кеңістікке көшіретін мор-физм деп, векторлық кеңістікті кеңістікке көшіретін сызықтық бейнелеу-інің факторизациясынан алынған бейнелеуді айтамыз. Ескеретін бір жайт, мұнда-ғы бейнелеу барлық проективтік кеңістікте анықталмаған, ол тек бейне-леудің ядросымен анықталған проективтік кеңістіктің толықтауышында ғана анықталады.

проективтік кеңістіктен проективтік кеңістікке көшіретін гомографияны қарастырайық. Гомография деп векторлық кеңістіктердің изоморфизмінен алынатын морфизмді айтамыз.

Қандай да бір проективті кеңістіктегі проективті түзуді қарастырайық. Сонда берілген түзудің бойындағы кез келген әртүрлі төрт нүктелері үшін



түрінде белгіленетін және осы нүктелердің еселі қатынасы деп аталынатын скаляр шаманы енгізуге болады. Анықтама бойынша аффиндік түзудегі нүктелер үшін еселі қатынас толықтырумен беттесуі қажет, яғни
.

Егер түзуіндегі төрт нүкте берілсе, онда нүктесін нүктеге көшіретін гомография теңдігіне экви-валентті болады. Бұл еселі қатынастың проективті инвариант болатындығын көр-сетеді. Дербес жағдайда, еселі қатынас гомографияға қатысты ивариантты болады /1/.

Еселі қатынасты анықтаудың бірнеше эквивалентті әдістері бар. Бірінші әдісте
,
мұндағы - К өрісінің элементі. Бұл жағдайда

шарттарын қанағаттандыратын гомография келесі түрде бейнеленеді:
.
Екінші әдісте гомография келесі түрде бейнеленеді
,
мұндағы - аффиндік түзу. Демек,

дербес жағдайда
.
болады. Келесі үш қатынас таңдап алынған төрт нүкте үшін еселі қатынас келесі түрде бейнеленеді:


Егер тең болса, онда болады. Бұл жағдайда, және екі нүкте жұптары гармониялық қатынаста болады және мен ̶ қатысты гармониялық түйіндес болады.

Мысалы, мен эквивалентті, яғни нүктесі ұштары және болатын кесіндінің ортасы. Осыны ескере отырып, толық төртбұрыштың қасиетттерін алуға болады. Ол үшін аффиндік немесе проективтік жазықтықтан кез келген төрт нүкте үшін орындалсын және олар келесі суретте бейнеленген










b
c

a

d


Сурет 1



a b







d c

Сурет 2

Дәлелдеу үшін және нүктелерін шексіздікке ұмтылдырамыз. Сонда диагональдары қиылысу нүктесінде қақ бөлінетін параллелограммды аламыз.

Жоғарыда айтылған мәселелерді ескере отырып, проективтік кеңістікте берілген бір шоқта жататын төрт гипержазықтықты қарастырайық және - гі түзуі осы шоқта анықталған 2 колөшемді ішкі кеңістікті қимайтын болсын. Сонда проективтік түзу бойындағы төрт нүктенің еселі қатынасы - да келесі теңдікті қанағаттандырады:

Проективтік жазықтықта мен екі нүкте және мен ̶ осы екі нүктеден туындалған түзулер шоғыры мен түзуін түзуіне бейне-лейтін гомография келесі түрде берілсін:

Сонда шоғырындағы барлық түзулер үшін сәйкес келетін қиылысу нүктелері түзу сызықты бейнелейді. Егер

болса, онда нүктелер қандай да бір конустық қиманы бейнелейді.

Проективтік жазықтықта және түзулерінің бойында нүктесін сақтайтындай бейнелеуі орындалатындай гомографиясы бар мен екі нүкте орналассын. Сонда, әрбір түзу қандай да бір қозғалмайтын нүктеден өтіп отырады.

Құрамында толықтыруы бар кез келген проективті түзудегі гомо-графияны қарастырайық. Егер және , мұндағы Егер болғанда болса, онда мұндай гомографияны келесі түрде бейнелеуге болады:
(1)
мұндағы .

Егер өрісі алгебралық түрде тұйық болса, онда гомографияны оның қоз-ғалмайтын нүктелері арқылы зерттеуге болады. Мұндай нүкте біреу ғана болса, оны біз шексіздікке жібереміз. Бұл жағдайда гомография аффиндік түзудің параллель көшірмесі болып табылады. Екі әр түрлі қозғалмайтын нүктелер бар болсын. Сонда гомография үшін


(2)
орындалады, мұндағы - кез келген таңдап алынған нүкте. Бұл тұрақты мән тең, мұнда және - бейнелеуіндегі
(3)
матрицасының екі меншікті мәндері.

Проективті түзудің инволюдциясы ол анықтама бойынша тепе - тең бейнелеу-дің квадраты болатын гомография. Мұндай гомографияның шарты келесі түрде болады


(4)
Кез келген инволюция екі нүктедегі өзінің мәндерімен анықталады. Гомогра-фия үш инволюцияның көбейтіндісі болып табылады. Егер алгебралық түрде тұйық және - қандай да бір инволюцияның қозғалмайтын екі нүктелері болса, онда кез келген нүктесі үшін
(5)
болады /2/. Мынадай есепті қарастырайық: әр түрлі қозғалмайтын екі нүктесі бар гомография берілсін және бейнеленуіне
(6)
матрицасы сәйкес келсін. , жұбы гомографияны таңдап алуына тәуелді, ал және екі нүктенің ретіне тәуелсіз екендігін және саны
(7)
теңдеуінің түбірі болатындығын көрсетейік.

Қозғалмайтын және екі нүктелердің алмастыруы еселі қатынасты оған керісіне көшірсе, онда бұл жағдай жұбының тек -ке тәуелді екендігін көрсетеді.

Жоғарыда айтылғанға (6) матрицаға сәйкес саны келесі теңдеудің шешімі болады:
. (8)
Бірақ және келесі теңдеудің түбірлері болады:
, (9)
демек,

(10)
тапсақ жеткілікті. Мұндағы және - (8) теңдеудің шешімдері. Бұл өрнек және қатысты симметриялы. Ендеше, оны элементарлы симметриялы көпмүше-ліктердің функциясы түрінде қарастыруға болады. (8) теңдеуді шешу үшін оның коэффициенттерін пайдаланамыз, яғни
(11)
Демек, және - келесі теңдеудің түбірі болады.

Әдебиет


  1. А.Д.Александров, Н.Ю.Нецветаев. Геометрия. Москва «Наука», Главная редак-ция физико - математической литературы, 1990, 371 бет.

  2. М.Берже, Ж.П.Берри, П.Пансю, К.Сен-Реймон. Задачи по геометрии. Издатель-ство «Мир». 1989, 45-80 беттер.

М.Х.Дулати атындағы Тараз мемлекеттік университеті, Тараз



СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА ГОМОГРАФИИ
Ш.К.Егемберді
В работе рассмотрены и представлены результаты исследования элементов гомографии в проективном пространстве.

GOMOGRAFIYA'S OWN NUMBERS
Sh.K.Egemberdi
In work results of research of elements of a gomografiya in projective space are considered and presented.


Достарыңызбен бөлісу:


©kzref.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет