Интеграл как функция верхнего предела интегрирования



жүктеу 20.94 Kb.
Дата27.04.2019
өлшемі20.94 Kb.

Интеграл как функция верхнего предела интегрирования.

Формула Ньютона – Лейбница.
Рассмотрим функцию F(x), связанную с функцией равенством:



Теорема 1: Функция

Доказательство: Пусть - произвольная точка. Докажем, что

Рассмотрим разность:



Так как , то f(x) ограничена на [a, b], т.е.

Следовательно, по свойству определённого интеграла и , что и требовалось доказать.

Теорема 2: Пусть и . Тогда и .

Доказательство: Рассмотрим следующее выражение:

Так как и по условию , то при

Следовательно, при имеют место соотношения т.е.

Теорема 2 доказана.



Формула Ньютона – Лейбница.

Теорема: Пусть . Тогда и, если F1(x) – любая первообразная для f(x) на [a, b], то справедливо равенство:

(эта формула носит название формулы Ньютона - Лейбница).



Доказательство: Рассмотрим, как и выше, функцию

.

Так как, по условию теоремы , то в силу теоремы 2



, .

Следовательно, F(x) – есть первообразная для f(x) на [a, b].

Заметим, что F(a) = 0 и .

Пусть F1(x) – любая из первообразных для f(x). Как было доказано выше F1(x) = F(x) + C, где - некоторая константа.

Запишем разность

Теорема доказана.



Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле.

Теорема (о замене переменной в определённом интеграле):Пусть и . Кроме того: .

Тогда справедлива формула





Доказательство:

Пусть F(x) – некоторая первообразная для f(x) на [a, b]. Тогда по свойству замены переменных в неопределённом интеграле и ввиду формулы Ньютона – Лейбница есть первообразная для на и справедливо равенство:



Теорема доказана.



Теорема (об интегрировании по частям в определённом интеграле):Пусть .

Тогда справедливо равенство:



.

Доказательство:

Так как первообразной для функции будет u(x)v(x), то по формуле Ньютона – Лейбница



Левую часть этого равенства можно представить в виде:



и, следовательно, имеет место равенство



.

Теорема доказана.
Каталог: materials -> matan
materials -> Бақылау күндері: 3-28 қазан – жоо-ның үздік оқытушысы – 2016 байқауының факультетішілік кезеңін өткізу. 31 қазан
materials -> Қазақстан Республикасының Білім және ғылым министрлігі Павлодар мемлекеттік педагогикалық институты АҚпараттық хат павлодар мемлекеттік педагогикалық институты
materials -> Ақпараттық хат құрметті әріптестер!
materials -> Материалдары
materials -> Iii халықаралық Ғылыми форум «ххі ғасырдағы филология ғылымы: мәселелері мен болашағы»
materials -> К вопросу о восприятии творческого наследия льва толстого в польше
materials -> 6D020500 – Филология
materials -> Атты республикалық ғылыми-тәжірибелік конференция өткізеді. Конференцияға әдебиеттану, тілтану саласының кәсіби мамандары, мектеп мұғалімдері, магистрант-ізденушілер шақырылады. Конференция барысында талдау нысаны болар мәселелер
materials -> Театральные пьесы юным россам
matan -> Лекция 7 Формула Гаусса-Остроградского


Достарыңызбен бөлісу:


©kzref.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет