История появления производной



жүктеу 31.3 Kb.
Дата27.04.2019
өлшемі31.3 Kb.

История появления производной.
Своё выступление мне хочется начать с эпитафии поэта А.Поупа :

Был этот мир глубокой тьмой окутан.

Да будет свет! И вот явился Ньютон.

В конце 12 века великий английский учёный Исаак Ньютон доказал что Путь и скорость связаны между собой формулой: V(t)=S’(t) и такая связь существует между количественными характеристиками самых различных процессов исследуемых : физикой, ( a=V’=x’’ , F=ma=m*x’’ , импульс P=mV=mx’ , кинетическая E=mV2/2=mx’2/2), химией ( ) , биологией ( ), и техническими науками ( ).


Это открытие Ньютона стало поворотным пунктом в истории естествознания.
Честь открытия основных законов математического анализа наравне с Ньютоном принадлежит немецкому математику Готфриду Вильгельму Лейбницу.

К этим законам Лейбниц пришел, решая задачу проведения касательной к произвольной кривой, т.е. сформулировал геометрический смысл производной, что значение производной в точке касания есть угловой коэффициент касательной или tg угла наклона касательной с положительным направлением оси ОX.


Термин производная и современные обозначения y’ , f ’ ввёл Ж.Лагранж в 1797г.
Нужна ли производная для будущей профессии?
Российский математик 19века Панфутий Львович Чебышев говорил, что «особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека, например, как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды».
С такими задачами в наше время приходится иметь дело представителям самых разных специальностей:

  • Инженеры технологи стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции;

  • Конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей;

  • Экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными.

Давайте рассмотрим применение производной к решению следующей экономической задачи:

В математической модели экономического роста хозяйства производящего, например, цветы для потребления.

Р- ежегодное потребление продукта на душу занятых в производстве;

Х- число занятых в производстве рабочих.

Величины Р и Х связаны следующей функциональной зависимостью



, где M,b- постоянные, характеризующие производственные возможности хозяйства.

При M=250,b=8464 определить число рабочих, соответствующее наибольшему значению Р в хозяйствах с 80,90,120 и 150 рабочими местами.


Решение.

(раскроем скобки и представим дробь в виде разности трёх дробей).

Исследуем функцию на наибольшее значение при х>0. Для этого найдём производную и прировняем её к нулю:




Так как х>0, то .


Исследуя знак производной, легко убедиться в том, что функция монотонно возврастает, а при х >92- монотонно убывает => .


Следовательно на отрезке от 1 до 80 функция возрастает и её наибольшее значение достигается на правом конце х=80. и др

А на отрезках от 1 до 120 и от 1до 150 функция меняет характер монотонности, => наибольшее значение достигает в точке х = 92.

Производная помогла определить, что хозяйству нет смысла набирать 120 и 150 человек для достижения наибольшей прибыли.


Нужна ли производная для обычной жизни.

Задача 2.


Задача: Предприятие производит Х единиц некоторой однородной продукции в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накопления предприятия от объема выпуска выражается формулой f(x)=-0,02x^3+600x -1000. Исследовать потенциал предприятия.

Функция исследуется с помощью производной. Получаем, что при Х=100 функция достигает максимума.

Вывод: финансовые накопления предприятия растут с увеличением объема производства до 100 единиц, при х =100 они достигают максимума и объем накопления равен 39000 денежных единиц. Дальнейший рост производства приводит к сокращению финансовых накоплений.

. Проверить тождество:



(1)

Доказательство: Рассмотрим функцию



Вычислим ее производную (по х):



Поэтому (замечание) . Следовательно, что равносильно тождеству (1).


Приложения производной., 17040.zip. FileLand.RU - скачать файл
Каталог: статьи


Достарыңызбен бөлісу:


©kzref.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет