Кировская летняя многопредметная школа (лмш)


ЗАДАНИЯ ВСТУПИТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ



жүктеу 348.96 Kb.
бет2/3
Дата21.04.2019
өлшемі348.96 Kb.
1   2   3

ЗАДАНИЯ ВСТУПИТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

Не забывайте обосновывать ответы: ответ без обоснования ценится много ниже!

(6). Имеются восемь сосудов с маслом. Можно взять любые два сосуда и перелить из одного в другой столько масла, чтобы его в этих двух сосудах стало поровну. Как такими переливаниями уравнять количество масла во всех сосудах?

(6-7). Часы отстают на 3 ч 30 мин в неделю. В полночь с воскресенья на понедельник их поставили правильно. На сколько отстанут эти часы к шести вечера ближайшего четверга?

(6-7). В коробке лежат белые, синие, красные и зеленые шарики. Белых шариков в 4 раза меньше, чем синих, красных и зеленых вместе. Синих шариков в 6 раз меньше, чем белых, красных и зеленых вместе. Докажите, что число шариков в коробке делится на 35.

(6-8). Петя разрезал (без остатка) квадрат на шесть прямоугольников и измерил длину и ширину каждого прямоугольника. Могло ли у него получиться 12 различных чисел? Если да — нарисуйте соответствующий чертеж, указав размеры каждого прямоугольника. Если нет — объясните, почему.

(6-8). а) Найдите какое-нибудь натуральное число, делящееся на 99, все цифры в десятичной записи которого четны. б) Найдите наименьшее такое натуральное число.

(6-9). В забеге участвовали шесть бегунов. После финиша пять зрителей поделились информацией о результатах: 1) Петя был вторым, а Лёша — пятым. 2) Толя был вторым, а Серёжа — третьим. 3) Витя был первым, а Лёша — третьим. 4) Петя был третьим, а Вася — шестым. 5) Толя был третьим, а Вася — четвертым. Оказалось, что каждый из зрителей один раз сказал правду, а один раз — неправду. Кто из бегунов какое место занял? Перечислите все возможности и объясните, почему других возможностей нет.

7группа 6 (6-9). а) Из клетчатой доски 6×6 вырезали 10 клеток. Докажите, что из оставшейся части доски можно вырезать хотя бы одну из двух нарисованных справа фигур. (Фигуры можно поворачивать и переворачивать).

бгруппа 13) На какое наибольшее число можно заменить число 10 в пункте а), чтобы утверждение задачи ещё осталось справедливым?

8. а) (6-7). Незнайка написал на доске девять натуральных чисел (среди которых могут быть и одинаковые). Винтик говорит, что сумма каких-то двух из этих чисел равна сумме остальных семи, Шпунтик утверждает, что сумма каких-то трех из этих чисел равна сумме остальных шести, а Знайки настаивает, что сумма каких-то четырех из этих чисел равна сумме остальных пяти. Могут ли все трое оказаться правы?

б) (8-9). Незнайка написал на доске 2014 натуральных чисел (среди которых могут быть и одинаковые). Могло ли случаться, что для каждого натурального k от 2 до 2012 среди написанных чисел найдутся k таких, сумма которых равна половине суммы всех 2014 чисел?

в) (10) При каких натуральных m > 4 можно записать на доске m натуральных чисел (среди которых могут быть и одинаковые) таким образом, чтобы для каждого натурального k от 2 до m–2 среди написанных чисел существовали k таких, сумма которых равна половине суммы всех m чисел?

(6-10). Две точки движутся с постоянными скоростями по отрезку: одна проходит отрезок за 17 сек, другая — за 41 сек. Дойдя до одного из концов отрезка, точка сразу начинает двигаться обратно. Точки стартовали одновременно из одного и того же конца отрезка. Через какое время после старта случится их 1001-ая встреча? (Момент старта встречей не считается.)

10. (7-10). Пусть запись ab означает наибольшее из чисел 2a и a+b, а запись ab — наименьшее из чисел 2a и a+b (если a = b, то ab = ab = 2a = 2b). Решите уравнение (x1007)2014 = 2014(1007x).

11 (7-10). Могут ли длины диагоналей выпуклого пятиугольника равняться 2, 3, 4, 6 и 9 соответственно?

12 (8-10). На доске написано 100 единиц. За один ход разрешается стереть любое из чисел и вместо него написать два вдвое меньших числа. Докажите, что в любой момент времени на доске найдётся 51 одинаковое число.

13 (8-10). Даны две непересекающиеся окружности. Назовем точку на плоскости загороженной, если всякая проходящая через нее прямая имеет хотя бы одну общую точку хотя бы с одной из данных окружностей. Найдите фигуру, образованную всеми загороженными точками. Не забудьте обосновать ответ.

14 (9-10). Функции f(x) и g(x) определены на интервале (2; 4) и принимают все свои значения на интервале (2; 4). При этом для любого x из интервала (2; 4) выполнены равенства f(g(x)) = g(f(x)) = x и f(x)g(x) = x2. Докажите, что f(x) = x для любого x из интервала (2; 4).

15 (9-10). Собрались 100 человек. Некоторые пожали друг другу руки, причем рукопожатий было сделано больше 800 и любые двое обменялись не больше чем одним рукопожатием. Докажите, что из этих 100 человек можно выбрать троих или четверых и посадить их за круглый стол так, чтобы оказалось, что каждый из сидящих обменялся рукопожатиями с обоими своими соседями.

16 (9-10). Найдите все натуральные n такие, что существует число, являющееся суммой n идущих подряд натуральных чисел, но не являющееся суммой l идущих подряд натуральных чисел ни при каком l от 2 до n–1?

17 (10). Любую ли треугольную пирамиду можно пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получилась равнобедренная трапеция?

Работу составил И.С. Рубанов.



ЗАДАНИЯ ВСТУПИТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ФИЗИКЕ2

(6-8). «Трубы водоснабжения». Объясните, почему трубы горячего и холодного водоснабжения в некоторых местностях закапываются в землю. Вопрос для учащихся 8-х классов: почему, например, в Кирове, оказывается достаточным закопать трубу на глубину около 2 м?

(6-8). «Реставрация». Для удаления небольшой вмятины на однородной поверхности древесины, достаточно смочить ее небольшим количеством воды, после чего прогреть утюгом. Объясните, почему, если деформированные волокна не были сломаны, вмятина исчезает.

(8). «Раскаленная сковорода». Известно, что если капнуть капельку воды на раскаленную сковороду, она будет достаточно длительное время «бегать» по сковороде. Если ту же самую каплю поместить на несколько менее горячую сковороду, то ее испарение может произойти гораздо быстрее.

1) Объясните, почему капля на раскаленной сковороде не остается на месте, а «бегает» по ней.

2) Почему капля на раскаленной сковороде может «жить» гораздо дольше, чем на менее горячей?

(8). «Плотность Земли». Используя график зависимости плотности земли от глубины, приведенный на рис. 1, определите среднюю плотность цилиндра, вырезанного вдоль радиуса Земли от поверхности к ее центру. Площадь торца цилиндра равна 1 м2. Радиус Земли принять равным R = 6400 км.

(8-9). «Полет самолетика». Изучите полет самолетика, сделанного из бумаги. Почему самолетик удерживается в воздухе? Почему при полете самолетик иногда отклоняется в сторону и даже поднимается вверх?

10 (8-9). «Весенние гулянья». Двое мальчиков перетягивают канат. Победа засчитывается, когда отметка, прикрепленная в центре каната, смещается от начального положения на 2 м. Чтобы усложнить ребятам задачу, судья заменил нерастяжимую веревку хорошо растяжимым резиновым тросом длиной 8 м и жесткостью 20 Н/м. После свистка один мальчик начал двигаться с постоянной скоростью 0,2 м/с, а второй в противоположном направлении со скоростью 0,3 м/с. Определите, какой мальчик победит, и через какое время это произойдет.

11 (8-10). «Амперметр и вольтметр». 1) Определите показания идеального вольтметра в схеме, показанной на рис. 2. Здесь R1 = 1 Ом, R2 = 2 Ом, R3 = 3 Ом, U = 4 В. 2) Какими станут показания вольтметра, если к т. А и В подключить идеальный амперметр? 3) Какую силу тока покажет амперметр?

12 (8-10). «Зеркальная система». Постройте изображение стрелки АВ в оптической системе (рис. 3), состоящей из склеенных половинок рассеивающей и собирающей линз с одинаковыми по величине фокусными расстояниями F. Известно, что оптические центры и оси линз совпадают.

13 (8-10). «Вытекание воды». Если взять стеклянную бутылку с узким горлышком, наполненную водой, и перевернуть вверх дном, то вода будет выходить порциями. Объясните, почему течение воды не является непрерывным. Что можно сделать, чтобы вода из бутылки вытекала непрерывно?

14 (8-10). «Поплавок». С большой глубины всплывает пенопластовый «поплавок» цилиндрической формы (диаметром d = 1 см, высотой h = 5 см), к центру его нижнего торца на легкой нити прикреплен маленький грузик массой m = 3 г.

1) Определите ускорение поплавка в момент начала всплытия.

2) Найдите скорость его установившегося движения, считая, что сила сопротивления воды, действующая на поплавок, равна , где K = 0,1 кг/м, υ – скорость движения поплавка относительно неподвижной воды.

Плотность пенопласта ρп = 15 кг/м3, воды ρв = 1000 кг/м3.



15 (9-10). «Термос». В закрытый резервуар кубической формы поместили лед при температуре 0°С. В окружающем помещении поддерживается неизменная температура tк = 20°С. В указанных условиях лед постепенно таял. В какой-то момент времени лед с водой поместили в герметичную теплопроводящую упаковку и окутали слоем ваты. На рис. 4 показано, как изменялась масса льда в сосуде с начала эксперимента. Определите температуру стенок сосуда после того, как лед окутали ватой.

Известно, что тепловая мощность, потребляемая сосудом пропорциональна разности температур окружающего воздуха и стенок сосуда; мощность, передаваемая через слой ваты, прямо пропорциональна разности температур его наружной и внутренней поверхностей. Считать, что стенки резервуара имеют очень высокую теплопроводность.



16 (9-10). «Колодец». Имеется цилиндрический вертикальный колодец глубиной h и диаметром d. Определите наибольшую скорость маленького мячика, с которой его следует запустить с края колодца, чтобы он коснулся дна и при этом ни разу не коснулся вертикальных стенок колодца. Удары мячика о дно колодца считать абсолютно упругими. Рассмотрите два случая: шарик влетает через край колодца под углом к горизонту 1) α = 0°, 2) α = 30°.

17 (9-10). «Телега». К тележке массой М приложена сила F (рис. 5). Определите:

1) ускорение, с которым движется тележка, если колеса не имеют массы, а трение в осях отсутствует;

2) ускорение, с которым будет двигаться тележка, если дополнительно к массе тележки каждое колесо будет иметь массу m = M/4, распределенную по ободу колеса, при условии, что трение в осях колес отсутствует, а колеса вращаются по поверхности без проскальзывания;

3) в условии предыдущего случая силу трения, действующую на каждое колесо.



18 (9-10). «Подвижные блоки». На нитях, образующих с вертикалью углы α и β и закрепленных на одинаковой высоте, подвешены одинаковые блоки (рис. 6). Расстояние между точками крепления нитей АВ > 2L. Через блоки переброшена длинная нить, на концах которой закреплены грузы m и M, причем M > m. Считая движение грузов установившимся так, что они имеют постоянные ускорения, определите:

1) углы α и β;

2) силы натяжения нитей, на которых висят блоки;

2) ускорения грузов.

Принять нити и блоки невесомыми, а трение в системе пренебрежимо малым.

19 (10). «Заряженные шарики». Два маленьких шарика массами m и 2m и с зарядами соответственно 2q и q скреплены невесомой пружиной жесткости k. Определите период их малых колебаний вдоль пружины. В недеформированном состоянии длина пружины L0, заряд с шариков не стекает.

20 (10). «Газовый термометр». Определите частоту малых колебаний столбика воды высотой h в длинной вертикальной трубке радиусом r у сферического резервуара радиусом R, где >> r. В резервуаре под столбиком воды закрыт воздух при атмосферном давлении p0 (рис. 7).

Считать, что трубка достаточно узкая, вода не стекает по стенкам сосуда в резервуар. Вся система теплоизолирована. Плотность воды равна ρ, ускорение свободного падения g.



21 (10). «Зарядка конденсатора». Незаряженный конденсатор с емкостью С соединили последовательно с источником тока с ЭДС и внутренним сопротивлением r. На большом удалении друг от друга и от рассмотренного соединения находится два закрепленных проводящих шара, имеющих радиусы 3R и 2R и заряды соответственно 2q и q. От шаров протягивают идеальные провода. При замыкании ключей К1 и К2 происходит зарядка конденсатора (рис. 8). Определите: 1) установившийся заряд на конденсаторе, 2) количество теплоты, которое выделится после замыкания ключей.

Работу составили М.В. Гырдымов, К.А. Коханов, А.П. Сорокин.



ЗАДАНИЯ ВСТУПИТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ХИМИИ

Задания выполняйте только за тот класс, в который планируете поступать!

1. (8) Ниже приведены описания химических элементов. В соответствии с каждым описанием предложите химический элемент, составьте схему строения электронной оболочки его атомов и составьте одно уравнение реакции (любое), которое характеризует его химические свойства.

а) Неметаллический элемент первой группы.

б) Наиболее активный галоген.

в) Неметаллический элемент второго периода, атомы которого могут отдавать и принимать одинаковое число электронов.

г) Металлический элемент шестого периода с полностью заполненным 5d-подуровнем, для которого наиболее характерны степени окисления +2 и +4.

д) Наиболее активный металлический элемент пятого периода.

е) Металлический элемент четвертого периода, для которого характерны степени окисления +1 и +2.

2. (8) Закончите уравнения ядерных превращений:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

3. (8) Шар объёмом 500 мл заполнили кислородом (при н. у.) и взвесили. Во втором опыте этот же шар заполнили смесью озона и кислорода и также взвесили. Разница в массах в двух измерениях составила 0,030 г.

а) Какой шар тяжелее: заполненный кислородом или смесью кислорода и озона? Ответ объясните.

б) Рассчитайте объёмную долю озона в смеси.

4. (8) Имеются два одинаковых по размерам кубика, изготовленных из золота и алюминия. В каком из них содержится большее число атомов? Во сколько раз?

5. (8) При сжигании вещества А в кислороде образовалась вода объёмом 3,6 мл и азот объёмом 2,24 л (н. у.). Относительная плотность паров этот вещества по водороду равна 16. Определите молекулярную формулу вещества А.

6. (8) Твердое вещество А жёлтого цвета взаимодействует с газом Б без цвета и запаха с образованием бесцветного газа В с резким запахом. Газ В в присутствии катализатора реагирует с газом Б, образуя твёрдое в обычных условиях вещество Г. При растворении Г в воде образуется кислота Д.

а) Расшифруйте вещества АД.

б) Составьте уравнения упомянутых реакций.

7. (8-9) В школьном коридоре найдена разорванная шпаргалка, на которой остались только правые части уравнений. Восстановите уравнения реакций, если все коэффициенты расставлены правильно.

а) = 2Fe2O3 + 8SO2; б) = Fe + CO2; в) = 2K2FeO4 + 6KBr + 5H2O; г) = Fe3O4 + 4H2;

д) = 2Fe + N2 + 3H2O; е) = Fe(NO3)3 + 3NO2 + 3H2O; ж) = Fe(NO3)3 + NO + 2H2O;

з) = Fe2(SO4)3 +10NO + H2SO4 + 4H2O; и) = 5Fe2(SO4)3 + MnSO4 + K2SO4 + 8H2O;

к) = 2Fe2O3 + 8NO2 + O2.

8. (8-9) Вещества А, Б и В являются оксидами элемента Х, а вещества Д и Е – гидроксидами того же элемента Х. Массовая доля Х в веществе В составляет 77,78 %. Для приведенных веществ возможна следующая цепочка превращений:

АБВГДЕ.

а) Определите элемент Х.

б) Установите формулы соединений АЕ.

в) Составьте уравнения реакций, с помощью которых можно осуществить приведенную цепочку превращений и укажите условия проведения каждой реакции.

9. (8-9) При прокаливании смеси карбоната кальция и нитрата натрия получили смесь газов, плотность которой при 45 °С и давлении 152 кПа составляет 1,92 г/л.

а) Определите качественный состав газовой смеси.

б) Рассчитайте объёмные доли газов в смеси.

в) Рассчитайте массовую долю карбоната кальция в исходной смеси.

10. (8-9) К насыщенному раствору сульфата магния массой 100 г добавили безводный сульфат магния массой 1 г. В осадок выпал кристаллогидрат, содержащий 1,58 г безводной соли. Растворимость сульфата магния при температуре опыта составляет 35,1 г соли на 100 г воды. Определите состав кристаллогидрата, выпавшего в осадок.

11. (9) Вычислите время, в течение которого должен быть пропущен ток силой 1,5 А через раствор соли цинка, чтобы покрыть металлическую пластинку слоем цинка толщиной 2,5∙10 5 м, если общая площадь поверхности пластинки 0,1 м2, а выход по току 90,5 % (плотность цинка 7133 кг/м3).

12. (9) Элементы А и Б расположены в группе IIA Периодической системы. Смесь нитратов элементов А и Б массой 9,47 г, в которой нитраты содержатся в мольном соотношении 1 : 3, прокалили до постоянной массы. При этом масса твёрдого остатка уменьшилась на 37,6%.

а) Определите элементы А и Б.

б) Рассчитайте массовые доли нитратов в исходной смеси.

13. (9-10) В результате взаимодействия кислоты К1 с оксидом А образуется соль Д1 и вода. Безводная соль Д1 используется как сильное водоотнимающее средство для осушки некоторых органических веществ. В результате реакции обмена между растворами солей Д1 и Д2 образуется осадок плохо растворимой соли Д3 и раствор соли Е. Соль Д2 может быть получена при нагревании смеси растворов солей Д4 и Д5. Соли Д2, Д4 и Д5 используются в качестве удобрений. Соль Д5 может быть получена взаимодействием газа Г1 с кислотой К2. Кислота К1 может быть получена взаимодействием соли Д3 с кислотой К2 при нагревании.

а) Определите вещества А, К1, К2, Г1, Д1Д5 и Е, назовите их.

б) Составьте уравнения всех упомянутых реакций.

14. (9-10) Ниже приведены три уравнения обратимых реакций:

I. ZnO(тв) + H2(газ) = Zn(тв) + H2O(ж);

II. CaO(тв) + CO2(газ) = CaCO3(тв);

III. AgCl(тв) + KI(водн) = AgI(тв) + KCl(водн).



а) Найдите в соответствующих справочниках и приведите справочные данные, необходимые для ответов на нижеследующие вопросы.

б) Рассчитайте изменение свободной энергии Гиббса при стандартных условиях для реакций I – II.

в) Рассчитайте константы равновесия для реакций I – III.

г) Сделайте вывод о возможности протекания реакций I – III в стандартных условиях.

д) Если реакция невозможна в стандартных условиях, то определите условия, при которых она станет возможной.

15. (9-10) Имеется смесь двух газообразных углеводородов, которая не обесцвечивает бромную воду, а молекулы этих углеводородов содержат одинаковое число атомов углерода. При сжигании 18 см3 этой смеси образовалось 54 см3 углекислого газа и 0,054 г воды (все объёмы измерены в одинаковых условиях).

а) Определите молекулярные формулы углеводородов в исходной смеси.

б) Составьте их структурные формулы и назовите их.

в) Рассчитайте объёмные доли углеводородов в смеси.

16. (9-10) При сжигании органического соединения А массой 1,00 г образовалось 3,143 г газа В, который вызывает помутнение баритовой воды, и 1,286 г бесцветной жидкости С (при ст. у.). Вещество А не обесцвечивает подкисленный раствор перманганата калия и образует одно монобромпроизводное, 5 дибромпроизводных (включая геометрические изомеры) и 1 гептабромпроизводное.

а) Определите молекулярную формулу вещества А.

б) Составьте структурную формулу вещества А и назовите его.



Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3


©kzref.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет