Кривые и поверхности второго порядка в канонической форме



Дата13.04.2019
өлшемі1.22 Mb.
#95895
түріРеферат

Российская Федерация


Ханты-Мансийский автономный округ- Югра

(Тюменская область)


МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ


САРАНПАУЛЬСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА

628148 ул. Вокуева, 12 с.п.Саранпауль Ханты-Мансийского автономного округа, Тюменской области, Березовского района

Тел.45-888


Факс 45-890




(Исследовательская работа)

Автор:

Розявченко Юлия,

ученица 11А класса

Руководитель:

Петренко А.В.,

учитель математики

Саранпауль-2007



Содержание

1.Введение
А) Актуализация……………….………………………………………………………….3

Б) Проблема………………………………………………………………………………. 4

В) Гипотеза………………………………………………………………………………...4

Г) Цель……………………………………………………………………………………..4

Д) Задачи…………………………………………………………………………………..4
2. Кривые второго порядка в канонической форме.............................................................4
А) Определение и каноническое уравнение эллипса…………………………………..4

Б) Определение и каноническое уравнение гиперболы………………………………..6

В) Определение и каноническое уравнение параболы…………………………………8
3. Поверхности второго порядка и их канонические уравнения....................................10
А) Эллипсоиды……………………………………………………………………….......10

Б) Гиперболоиды…………………………………………………………………………13

1. Однополостный гиперболоид…………………………………………….13

2. Двуполостный гиперболоид……………………………………………...16

В) Параболоиды………………………………………………………………………….19

Г) Цилиндры второго порядка…………………………………………………………..20

Д) Конусы второго порядка……………………………………………………………..22
4 Построение моделей некоторых поверхностей в электронной

таблице EXCEL.....................................................................................................................23
5 Заключение………………………………………………………………………………...30
6 Использованная литература……………………………………………………………31

1. Введение

А) Актуализация.

В древности люди полагали, что живут на обширной плоской поверхности, хотя и покрытой кое-где горами и впадинами. Это убеждение сохранялось на протяжении многих тысяч лет, пока Аристотель в IV веке до н.э не заметил, что уходящее в море судно пропадает из виду не потому, что по мере удаления уменьшается до недоступных глазу размеров. Напротив, сначала исчезает корпус корабля, потом паруса и, наконец, мачты (рис. 1). Это привело его к заключению, что Земля должна быть круглой. Точнее, Земля имеет форму шара. Особенно видна шарообразная форма Земли на космических снимках (рис 2).



Рис.1


Одно из доказательств шарообразности Земли

Рис. 2


Вид Земли из космоса.

Специально произведенные измерения дают точные сведения о размерах Земли. Площадь поверхности нашей планеты составляет 510 000 000 км2. Расстояние от центра Земли до экватора равно 6378 км, а до полюсов – 6356 км, то есть у полюсов наша планета немного сплюснута. Т.е. длина экватора больше длины меридиана. Значит название «Земной шар» не отражает истинную форму Земли. Но такое тело, представляющее собой Землю, не изучается в школьном курсе стереометрии.



Б) Проблема:

Какую пространственную фигуру представляет поверхность Земли? Как построить ее модель и модели, аналогичные данной, в электронной таблице EXCEL?



В) Гипотеза:

Поверхность Земли не относится ни к одной элементарной поверхности, изучаемой в школе и, значит, относится к поверхностям второго порядка.



Г) Цель:

Изучить поверхности второго порядка и их построение, создать модели этих поверхностей, используя электронную таблицу EXCEL.



Д) Задачи:

  1. Изучить теоретический материал, используя учебник высшей математики.

  2. Научиться строить данные поверхности

  3. Изучить возможности Excel для построения поверхностей второго порядка.

  4. Создать модели некоторых поверхностей, используя таблицу EXCEL



2. Кривые второго порядка в канонической форме.
А) Определение и каноническое уравнение эллипса.

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых до двух данных точек Fи F (называемых фокусами эллипса) есть величина постоянная, равная 2а.



Рис. 3


Выведем уравнение эллипса. Для этого выберем прямоугольную систему координат так, чтобы ось Ох проходила через фокусы Fи F (расстояние между фокусами обозначим через 2с), а начало координат находилось в середине отрезка FF.

Пусть М (х;у) – произвольная точка эллипса. Согласно определению эллипса имеем:

M F + M F = 2а (1)

Или по формуле расстояния между двумя точками запишем:



(2)

Это и есть уравнение эллипса. Приведем его к каноническому (т.е простейшему) виду. Имеем:



(3)

Возведем обе части последнего неравенства в квадрат:

х2+ 2хс +с2+ у2= 4а2 – 4а + х2 – 2хс +с2 + у2 (4)

откуда


а= а2 –сх (5)

Возведем теперь в квадрат обе части равенства (5):

а2 х2-2 а2сх+ а2 с2 + а2 у2= а4 – 2а2сх +с2х2,

откуда


222 + а2 у2= а222). (6)

Замети, что а22>0, так как 2а >2с, или а >с (сумма двух сторон треугольника больше третьей его стороны; случай 2а=2с естественно исключить, так как тогда получаем совокупность всех точек М, для которых M F + M F = FF, т.е отрезок FF.) Поэтому обозначив а22 через b2, получаем:

b2 х2+ а2 у2= а2 b2 (7)

Деля обе части последнего равенства на а2b2, получаем каноническое уравнение эллипса:



(8)

Так как уравнение (8) содержит текущие координаты х и у только в четных степенях, то при замене х на –х, а у на - у это уравнение не изменяется, т.е эллипс симметричен относительно обеих осей координат. Из уравнения (8) при у=0 получаем

х = ± а, т.е эллипс пересекает ось Ох в двух точках: А (а; о) и А (-а; о); при х=0 получаем у = ± b, т.е эллипс пересекает ось Оу в двух точках: В (о; b) и В(о; -b). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок АА называется большой осью эллипса, а отрезок ВВ – его малой осью. Следовательно, а – длина большой полуоси эллипса, b- длина его малой полуоси.

В частном случае, когда а= b, уравнение (8) принимает вид х2+ у2= а2 и определяет окружность с центром в начале координат. В этом случае с=0.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к длине его большой оси, т.е.

ε =. (9)

Так как с‹ а, то для любого эллипса 0≤ε<1 (случай ε=0 соответствует окружности). Эксцентриситет характеризует степень сжатия эллипса. Действительно, из (9) и того, что b2= а2- с2, следует:

ε 2 = , (10)

И, значит,

(11)

Отсюда видно, что, чем больше ε, тем меньше отношение и тем больше вытянут эллипс.

Эксцентриситет (ε), длины полуосей (а и b ), расстояние между фокусами (2с)- параметры, которые полностью определяют эллипс с центром в начале координат.
Б) Определение и каноническое уравнение гиперболы.
Гиперболой называется множество всех точек плоскости, разность расстояний каждой из которых до двух данных точек Fи F(называется фокусами гиперболы) есть величина постоянная, равная 2а.

Обозначим через 2с расстояние между фокусами Fи F (рис.4)


Рис.4


Пусть М (х;у)- произвольная точка гиперболы. Тогда по определению

M F - M F = 2а. И наоборот. Эти условия, определяющие гиперболу, можно написать в виде

М F-М F= ±2а (12)

Заметим, что а<с, так как 2а<2с (разность двух сторон треугольника меньше его третьей стороны). Если а=с, то мы получаем точки М, для которых совокупность всей тех точек прямой, проходящей через фокусы, которые лежат вне отрезка F F. Поэтому случай 2а=2с естественно исключить.

Далее вывод канонического уравнения гиперболы проводится аналогично выводу канонического уравнения эллипса. Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

, где (13)

b2 2- а2.

Подобно эллипсу, гипербола симметрична относительно обеих осей координат. Она состоит из двух частей, которые называются ее ветвями. Из уравнения (13) при у=0 получаем х=± а, т.е. гипербола пересекает ось 0х в двух точках : А(а;о) и А (-а; о); называемых вершинами гиперболы. Отрезок АА называется действительной осью гиперболы.

Прямые у = ±х называется асимптотами гиперболы. При увеличении х по абсолютной величине ветви гиперболы все ближе прилегают к своим асимптотам. Для построения асимптот гиперболы целесообразно предварительно построить прямоугольник со сторонами 2а и 2 b, параллельными координатным осям и с центром в начале координат (такой прямоугольник называется основным прямоугольником гиперболы).

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение ε =. Так как а<с, то для любой гиперболы ε>1. Учитывая, что b2 2- а2, имеем:

ε 2= (14)

Отсюда видно, что, чем меньше эксцентриситет гиперболы, т.е. чем ближе он к единице, тем больше вытянут основной прямоугольник по оси Ох.

Если у гиперболы (4) а= b, то она называется равн6осторонней (или равнобочной) и ее уравнение имеет вид:

х22= а2. (15)

Асимптотами для равносторонней гиперболы (15) служат взаимно перпендикулярные прямые у=± х. поэтому их можно принять за оси прямоугольной системы координат и рассматривать эту равностороннюю гиперболу по отношению к этим новым осям. Взяв на указанной гиперболе произвольную точку М (х;у), (рис.5) выразим новые координаты Х и У точкиМ через старые х и у.

Х=(х-у), (16)

Рис. 5
У=(х+у). (17)

Перемножив равенства (16) и (17) и приняв во внимание равенство (15), получим:

ХУ = 22)= а2. (18)

Следовательно, уравнению ху = а, где а>0, соответствует равносторонняя гипербола, имеющая своими асимптотами оси координат и лежащая в I и III квадрантах. Легко понять, что при а < 0 эта гипербола лежит во II и IV квадрантах. (рис.6)

Рис. 6
В) Определение и каноническое уравнение параболы.

Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки F (называемой фокусом параболы) и от данной прямой l (называемой директрисой параболы; предполагается, что F не лежит на l).

Для вывода канонического уравнения параболы проведем ось Ох прямоугольной системы координат через фокус F перпендикулярно директрисе, начало координат О поместим на равных расстояниях от фокуса и директрисы (рис.7). Расстояние от фокуса до директрисы обозначим через р (оно называется параметром параболы). В этом случае фокус будет иметь координаты F , а уравнение директрисы будет



(19)


Рис. 7
Возведем произвольную точку М (х;у) параболы. Согласно определению параболы имеем:

М F= МА


(точка А имеет координаты ()), или по формуле расстояния между двумя точками:

(20)

Отсюда


, (21)

или


(22)

и окончательно:



(23)

Последняя формула и есть каноническое уравнение параболы. Парабола, отвечающая последнему уравнению, изображена на рисунке 7.


Исходное уравнение (23) имеет смысл только для неотрицательных значений х, т.е. все точки параболы лежат в I и IV квадрантах. Так как уравнение содержит у2, то парабола симметрична относительно оси Ох. Вершиной параболы называется точка пересечения параболы с ее осью симметрии. При возрастаниях значения у возрастают по абсолютной величине. В отличие от гиперболы парабола не имеет асимптот. Ось симметрии параболы называется осью параболы. Парабола, определяемая уравнением имеет ось, совпадающую с осью Ох.
3. Поверхности второго порядка и их канонические уравнения.

А) Эллипсоиды

Поверхность второго порядка, замкнутая, имеющая центр и пересекаемая всякой плоскостью по эллипсам или кругам, называется эллипсоидом. На прилагаемом чертеже (рис. 3) изображен эллипсоид с тремя неравными главными взаимно перпендикулярными полуосями: большой а = OA, средней b = OB и малой с = ОС. Если начало координата взято в центре О эллипсоида., ось Ох расположена по A'ОА, ось Оу по B'ОВ и ось Оz по C'OC, то уравнение эллипсоида будет:



(24)

Рис.8


Поверхность эта обладает следующими геометрическими свойствами. Если через какую-нибудь точку её провести касательную к ней плоскость, то пересечения всех плоскостей, ей параллельных, с поверхностью эллипсоида будут эллипсы, подобные друг другу, с параллельными между собой большими главными осями и с параллельными между собой главными малыми осями.(рис.8)

Рис.9


Докажем это.

Рассмотрим сечение эллипсоида плоскостью, параллельной плоскости хОу; пусть это будет плоскость z = h, и пусть при этом <с. Тогда линия, которая получается в сечении, определяется двумя уравнениями:



. (25)

Обозначив через 2 положительное число , последнего уравнения перепишем в виде Мы видим, что сечение эллипсоида плоскостью z = h (<с) представляет собой эллипс с полуосями ak и bk, уменьшающимися с увеличением; при = с этот эллипс стягивается в точку – вершину эллипсоида. Совершенно аналогичная картина выявляется при рассмотрении сечений эллипсоида плоскостями, параллельными координатным плоскостям xOz и yOz. Отметим только, что сама плоскость xOz пересекает эллипсоид по эллипсу, который определяется уравнениями



(26)

Плоскость yOz – по эллипсу, который определяется уравнениями



. (27)

Если две полуоси эллипсоида равны, например а=b, то получаем уравнение



(28)

Пересекая этот эллипсоид плоскостью z=h, параллельной плоскости хОу, получим окружность



(29)

C центром на оси Oz. Поэтому такой эллипсоид может быть получен вращением эллипса,



(30)

расположенного в плоскости xOz вокруг оси Oz. Эллипсоид (24) называется эллипсоидом вращения.

Если же все три полуоси эллипсоида (1) равны: a=b=c, то получаем:

x2 +y2 + z2=a2, (31)

т.е. сферу, которая, таким образом, оказывается частным случаем эллипсода.

Та плоскость, параллельная касательной плоскости, которая проходит через центр эллипсоида, называется диаметральной плоскостью, сопряженной диаметру, проведенному через центр и точку касания. Диаметры А'А, B'B, C'С называются главными диаметральными, а плоскости эллипсов CВC'В ', ACA'C', ABA'B' — главными диаметральными плоскостями. На главном диаметральном эллипсе АСА'C' имеются четыре точки, расположенные на концах двух диаметров этого эллипса, наклоненных к оси Ох под углами.

Точки эти называются точками закругления. Касательные плоскости к эллипсоиду, проведенные в этих точках, параллельны оси Оу и, значит, перпендикулярны в плоскости XOZ. Плоскости, секущие эллипсоида и параллельные этим плоскостям, дают не эллиптические, но круговые сечения. Те две проходящие через центр плоскости, которые сопряженны двум диаметрам точек закругления, пересекают эллипсоид по двум кругам радиуса b, проходящим через ось Оу.


Б) Гиперболоиды

    1) Однополостным гиперболоидом (рис. 10) называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид


(32)

где , ,  -- положительные числа.         



Рис. 10


Однополостный гиперболоид

Исследуем форму однополостного гиперболоида. Так же, как эллипсоид, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат.

Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью xOy. На этой плоскости , поэтому

(33)

Это уравнение на плоскости xOy задает эллипс с полуосями и (рис.3). Найдем линию пересечения с плоскостью yOz. На этой плоскости , поэтому



(34)

Это уравнение гиперболы на плоскости yOz, где действительная полуось равна , а мнимая полуось равна . Построим эту гиперболу (рис. 11).



Рис.11


Сечения однополостного гиперболоида двумя плоскостями

Сечение плоскостью также является гиперболой с уравнением



(35)

Нарисуем и эту гиперболу, но чтобы не перегружать чертеж дополнительными линиями, не будем изображать ее асимптоты и уберем асимптоты в сечении плоскостью yOz (рис. 5). Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями , . Уравнения этих линий



(36)

Первое уравнение преобразуем к виду



(37)

то есть к виду


(38)

где


, . (39)

Уравнение (8)является уравнением эллипса, подобного эллипсу в плоскости xOy, с коэффициентом подобия и полуосями aи. Нарисуем полученные сечения (рис. 12).




Рис.12

Изображение однополостного гиперболоида с помощью сечений

Если в уравнении (32) , то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости xOy, являются окружностями. В этом случае поверхность называется однополостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы,

лежащей в плоскости yOz, вокруг оси (рис. 13).



Рис.13.


Однополостный гиперболоид вращения

2) Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид

(40)

где , ,  -- положительные числа.         

Исследуем форму двуполостного гиперболоида. Так же, как эллипсоид и однополостный гиперболоид, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат.

Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью xOy. На этой плоскости , поэтому

(41)

Координаты ни одной точки плоскости xOy не могут удовлетворять данному уравнению. Следовательно, двуполостный гиперболоид не пересекает эту плоскость. Найдем линию пересечения с плоскостью yOz. На этой плоскости , поэтому



(42)

Это уравнение гиперболы на плоскости yOz, где действительная полуось равна , а мнимая полуось равна . Построим эту гиперболу (рис. 14).




Рис.14

Сечения двуполостного гиперболоида плоскостью yOz

Сечение плоскостью также является гиперболой, с уравнением

(43)

Нарисуем и эту гиперболу, но чтобы не перегружать чертеж дополнительными линиями, не будем изображать ее асимптоты и уберем асимптоты в сечении плоскостью yOz (рис. 14).

Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями , . Уравнения этих линий

(44)

Очевидно, что ни одна точка не может удовлетворять этим уравнениям, если . Если или , то плоскость имеет с исследуемой поверхностью только одну точку или . Эти точки называются вершинами гиперболоида.

Пусть . Первое уравнение преобразуем к виду

(45)

то есть к виду

(46)

где , . Уравнение (46) является уравнением эллипса, подобного эллипсу в плоскости xOy, с коэффициентом подобия и полуосями a и. Нарисуем полученные сечения (рис. 15).




Рис.15

Изображение двуполостного гиперболоида с помощью сечений

Привычное для глаза изображение двуполостного гиперболоида приведено на рисунке 16.

Рис.16


Двуполостный гиперболоид

Если в уравнении (46) , то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости xOy, являются окружностями. В этом случае поверхность называется двуполостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости уОz, вокруг оси (рис 17).



Рис.16


Двуполостный гиперболоид вращения
В) Параболоиды

Эллиптическим параболоидом (рис.17) называется поверхность, которая в прямоугольной системе координат Охуz определяется уравнением



, (47)

Рис. 17


Эллиптический параболоид

а гиперболическим параболоидом (рис.18) – поверхность, определяемая уравнением



. (48)

Рис. 18


Гиперболический параболоид.
Уравнения (47)и (48)называются каноническими уравнениями параболоидов.

Плоскости и уОz являются плоскостями симметрии параболоидов. Пересечение этих плоскостей (ось Оz) называется осью параболоида, а пересечение оси Оz с поверхностью параболоида – вершиной.

Оба параболоида (эллиптический и гиперболический) плоскостями, параллельными координатным плоскостям и уОz , пересекаются по параболам. Так, плоскость

х = h пересекает эллиптический параболоид по параболе



. (49)

Из уравнения (47)следует, что плоскость z=h,(h>0), параллельная плоскости xOy, пересекает эллиптический параболоид по эллипсу, а из уравнения (48) следует, что плоскость z=h,(h≠0), пересекает гиперболический параболоид по гиперболе. Плоскость xOy пересекает гиперболический параболоид по двум прямым.

При а=b эллиптический параболоид называется параболоидом вращения. Он получается при вращении параболы , у=0, около оси Оz.

Г) Цилиндры второго порядка

Цилиндры второго порядка определяются в прямоугольной системе координат Охуz уравнениями:



(50)

 — эллиптический цилиндр, в частности при а = b круговой; (рис. 19)





Рис. 19


— гиперболический цилиндр (рис. 20)

(51)

Рис. 20


 — параболический цилиндр (рис. 21)

(52)

Рис. 21


Эти три уравнения называются каноническими уравнениями цилиндров. Эти уравнения не содержат переменной z. На плоскости xOy первое уравнение определяет эллипс с полуосями а и b. Если точка (х;у) лежит на этом эллипсе, то при любом z точка (х;у;z) лежит на поверхности (1). Совокупность таких точек есть поверхность, описанная прямой, параллельной оси Оz и пересекающей эллипс

(8)

и плоскости xOy.

Этот эллипс называют направляющей линией данной поверхности, а все возможные положения движущейся прямой – образующими.

Вообще поверхность, описываемая прямой, остающейся параллельной некоторому заданному направлению и пересекающей данную линию L, называется цилиндрической.

В случае гиперболического и параболического цилиндров направляющими линиями поверхностей являются гипербола и парабола, а образующими - прямые, параллельные оси Оz и проходящие через гиперболу и параболу в плоскости xOy.

Д) Конусы второго порядка

Конусом второго порядка или, кратко, конусом (рис. 22) называется поверхность, определяемая в прямоугольной системе координат Охуz уравнением



(53)

Рис. 22


Это уравнение (53) называется каноническим уравнением конуса. Эта поверхность симметрична относительно координатных плоскостей. Начало координат, являющееся центром симметрии, принадлежит этой поверхности и называется вершиной конуса. Сечениями конуса плоскостями х=0 и у=0 являются прямые z = ± и z = ±x. В плоскости z=h,(h≠0) имеем эллипс c полуосями а=. Если а=b, то конус называется конусом вращения. Для конуса вращения в плоскости z=h,(h≠0) имеем окружность .

  1. Построение моделей некоторых поверхностей в электронной таблице EXCEL.

Рассмотрим построение поверхностей второго порядка при помощи EXCEL.

Как известно, создание любого графика в Excel начинается с создания таблицы, в которой устанавливается зависимость между аргументами, которых может быть несколько, и функций.

В самом начале создания таблицы определим шаг изменения аргумента. Иногда уже после создания диаграммы приходится несколько раз менять шаг или начальные и конечные значения функции. В результате нескольких таких итераций определяются оптимальные параметры диаграммы и график приобретает лучшую наглядность. Дело в том, что большое количество функций имеет несколько минимумов и максимумов, которые не всегда удается отразить с первого раза.

Для построения поверхности, по которой можно что-то определить с заданной точностью и при этом не потерять ее наглядность, быстро сделать красивую диаграмму, требуются определенные навыки работы в Excel.

Для создания диаграмм типа «поверхность» (пространственных объемных диаграмм) необходимо иметь представление об относительных и абсолютных адресах ячеек и уметь работать с ними.

Построим полусферу в изометрической проекции по формуле , выполняя следующие действия.

В ячейки В3:В9 вводим числа от -4 до 4 включительно с шагом 0,5. Аналогично заполним ячейки С2:S9 (в ячейку С2 вводится число -4). В ячейку С3 введем формулу = КОРЕНЬ(16-В3^2-$C$2^2) и распространяем ее с помощью маркера заполнения вниз до ячейки С19. Далее в ячейках С3:С9 в расположенных там формулах поменяем относительные адреса ячеек, на которые ссылается формула, на абсолютные, а абсолютные – на относительные. Это нужно для того, чтобы при горизонтальном распространении формул ссылки в формулах на столбец В3:В19 не менялись. Поменять относительные адреса ячеек на абсолютные и наоборот можно следующим образом.

Выделим ячейку, в которой необходимо поменять адреса, затем щелкнем мышью в строке формул на конкретном адресе, подлежащем изменению, и, нажимая несколько раз клавишу F4, измененяем адрес на нужный. Завершим изменения в формулах нажатием клавиши Enter.

Получив матрицу размера 17Х17, удалим из нее данные, при которых происходит извлечение квадратного корня из отрицательного числа (рис. 23)

Рис 23


Программа подскажет эти ячейки, выдав в них сообщение об ошибке. Для построения диаграммы выберем тип Поверхность. Диаграмма строится стандартным способом.

Полученная диаграмма будет выглядеть, как показано на рисунке 24.


Рис. 24


Интересные результаты получатся, если во всех формулах построения полусферы изменить число 16 на другое число, например, на 30 или 40. Получим диаграмму, изображенную на рисунке 25.

Рис. 25


Построим поверхность гиперболического и эллиптического параболоидов.

В ячейках А1 и В1 находятся параметры а и b соответственно. Для гиперболического параболоида а=4 и b=5, а для эллиптического – а=1 и b=1. Область изменения независимых переменных х и у – квадрат [-5;5]x[-5;5]. Переменные принимают значения с шагом 0,5.

Для получения ряда данных, вычисляемых по формуле гиперболического параболоида, выполняем следующие действия.

Вводим в ячейку В2 число -5 и после возвращаемся в ячейку В2. выполняем команду Правка, Заполнить, Прогрессия. В диалоговом окне Прогрессии выбираем режим по строкам и тип Арифметическая, вводим шаг 0,5 и предельное значение 5. После нажатия кнопки ОК в строке 2 появится ряд значений от -5 до 5 с шагом 0,5. Мы ввели область изменения переменой х. Аналогичные действия выполним для определения ввода области изменения переменной у с тем отличием, что в окне Прогрессии надо выбрать режим По столбцам, а первое значение ввести в ячейку А3.

Теперь введем формулы для вычисления значений функций. Для этого в ячейку В3 введем формулу = (В$2/$A$1)^2-($A3/$B$1)^2.

Далее распространим эту формулу на всю строку, расположенную под строкой со значениями переменной х. После этого, не отменяя выделения, установим указатель мыши в точку в правом нижнем углу последней выделенной ячейки в строке 3. Затем распространяем выделенные в ячейках формулы на все строки, соответствующие значениям переменной у в столбце А.

Построим трехмерную диаграмму типа «Поверхность» по области А2:V23 на отдельном листе в черно-белом варианте с необходимым оформлением, получим график, показанный на рисунке 26.

Рис. 26


Рис 27
Для построения графика эллиптического параболоида (рис. 27) область А2:V23 скопируем на отдельный лист рабочей книги. На этом листе выделим область без меток строк и столбцов и в этой области знак «минус» заменим на знак «плюс» при помощи команды Правка, Заменить.

Аналогично можно построить и другие модели.

Рис. 28


Эллиптический цилиндр

Рис 29


Действительный конус

Рис. 30


Гиперболический параболоид.

Рис. 31


Эллиптический параболоид

Рис 32


Двуполостный гиперболоид

Рис 33


Однополостный гиперболоид

Рис 34


Эллипсоид

5. Заключение.
В своей работе я рассмотрела все известные поверхности второго порядка, их построение и канонические уравнения.

В начале своей работы я столкнулась с проблемой: какую пространственную фигуру представляет поверхность Земли? Как построить ее модель и модели, аналогичные данной, в электронной таблице EXCEL?

Я выдвинула гипотезу, что поверхность Земли не относится ни к одной элементарной поверхности, изучаемой в школе и, значит, относится к поверхностям второго порядка.

Изучая дополнительную литературу по географии и астрономии, я пришла к выводу, что Земля не имеет форму шара, а скорее всего напоминает эллипсоид вращения.

Такая форма Земли – следствие ее осевого вращения, при котором возникает центробежная сила. Она и привела к «вспучиванию» экваториальных частей земного шара.

Еще гениальный английский ученый Исаак Ньютон на основе законов предсказал, что Земля не является идеальным шаром. В результате вращения вокруг оси она сплюснута у полюсов и вытянута вдоль экватора. По расчетам Ньютона, сжатие приблизительно равно 1/230. Некоторые ученые полагали, что сплюснутость нашей планеты иная – Земля вытянута вдоль оси вращения.

Известно, чтобы раз и навсегда разрешить эти противоречия, Академия наук Франции в 1735 году снарядила две экспедиции с целью измерить длину дуги меридиана в один градус. Одну из них направили в район экватора, а другую – на север. Измерения ученых показали, что длина дуги меридиана увеличивается от экватора к полюсу. Так сплюснутость Земли у полюсов была доказана. Ньютон оказался прав. Определенное по этим измерениям полярное сжатие оказалось равным 1/300. В наше время эта величина измерена не только высокоточной наземной геодезической аппаратурой, но и приборами, установленными на искусственных спутниках Земли. Эти измерения дали для сжатия значение 1/298,3.

Таким образом, поверхность Земли относится к поверхностям второго порядка.

Полученные мной результаты показывают, что глобус, как модель Земли, является неправильным. Точнее, форму Земли показывает эллипсоид, таким образом глобус должен иметь форму эллипсоида.

Ценность своей работы я вижу в исследовании построения поверхностей второго порядка в электронной таблице Excel, таким образом, показывая, что мастер диаграмм позволяет строить не только гладкие графики, но поверхности, построение которых на уроках информатики не рассматривается.

Работая над темой, я рассмотрела поверхности второго порядка, которые изучаются в курсе высшей математики в вузе. Обобщая рассмотренный материал, я составила таблицу, содержащую виды поверхности и их канонические уравнения.

Поверхности второго порядка


Сфера



Эллипсоид



Однополостный гиперболоид



Двуполостный гиперболоид



Эллиптический параболоид



Гиперболический параболоид



Конус



Цилиндр



Эллиптический цилиндр



Гиперболический цилиндр



Параболический цилиндр






6. Использованная литература
1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Общий курс высшей математики. М.: Просвещение, 1995.

2. Цесевич В.П. Что и как наблюдать на небе. М.: Наука. 1997

3. Воронцов – Вельяминов Б.А. Астрономия М.:Просвещение, 1991

4. Медведская О., Шишко Д. Вселенная.



5. СD диск: «Открытая математика (стереометрия)»


Каталог: uploads -> doc -> 0a60
doc -> Викторина по пьесе В. Шекспира «Гамлет, принц Датский»
doc -> Тест сынып Ұлы Отан соғысы нұсқа
doc -> Пєн атауы: Математика
doc -> Сабаќтыњ тарихы: ХІХ ѓасырдыњ 60-70 жылдарындаѓы ќазаќ халќыныњ отарлыќ езгіге ќарсы азаттыќ к‰ресі
doc -> 1 -сынып, аптасына сағат, барлығы 34 сағат Кіріспе (1 сағат)
doc -> Сабақтың тақырыбы: XVIII ғасырдың бірінші ширегіндегі Қазақ хандығының ішкі және сыртқы жағдайы Сабақтың мақсаты
doc -> Сабақтың тақырыбы: XVIII ғасырдың бірінші ширегіндегі Қазақ хандығының ішкі және сыртқы жағдайы


Достарыңызбен бөлісу:




©kzref.org 2022
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет