Лекция 14. Элементы квантовой статистики и зонной теории твердого тела 14 Понятие о квантовой статистике



бет1/3
Дата23.08.2018
өлшемі430.36 Kb.
#41566
түріЛекция
  1   2   3




Лекция 14. Элементы квантовой статистики и зонной теории твердого тела

14.1. Понятие о квантовой статистике

Свойства систем, состоящих из огромного числа частиц, подчиняющихся законам квантовой механики, изучаются в разделе статистической физики – квантовой статистике. Квантовая статистика основывается на принципе неразличимости тождественных частиц.

Пусть система состоит из N частиц. Введем в рассмотрение многомерное пространство всех координат и импульсов частиц системы. Так как состояние каждой частицы определяется тройкой координат x, у, z и тройкой соответствующих проекций импульса px, pу, pz, то состояние системы определяется заданием 6N переменных. Соответственно число «взаимно перпендикулярных» координатных осей данного пространства равно 6N. Подобное 6N-мерное пространство называется фазовым пространством.

Разобьем фазовое пространство на малые 6N-мерные элементарные ячейки объемом



dqdp = dq1dq2…dq3Ndp1dp2…dp3N,

где q - совокупность координат всех частиц, р - совокупность проекций их импульсов.

Корпускулярно-волновой дуализм свойств частиц вещества и соотношение неопределенностей Гейзенберга приводят к выводу, что объем элементарной ячейки (он называется фазовым объемом) не может быть меньше чем h3 (h — постоянная Планка). Пусть квантово-механическая система состоит из частиц, которые имеют одинаковые физические свойства. Такие частицы называются тождественными. Необычные свойства системы одинаковых тождественных частиц проявляются в фундаментальном принципе квантовой механики - принципе неразличимости тождественных частиц, согласно которому невозможно экспериментально различить тождественные частицы.

Из соотношения неопределенностей вытекает, что для микрочастиц вообще неприменимо понятие траектории; состояние микрочастицы описывается волновой функцией, позволяющей вычислять лишь вероятность (|ψ|2) нахождения микрочастицы в окрестностях той или иной точки пространства. В квантовой механике тождественные частицы полностью теряют свою индивидуальность и становятся неразличимыми.

Принимая во внимание физический смысл величины |ψ|2, принцип неразличимости тождественных частиц можно записать в виде


|ψ(х1, х2)|2 = |ψ(х2, х1)|2,

(14.1)

где х1 и х2 - соответственно совокупность пространственных и спиновых координат первой и второй частиц. Из выражения (14.1) вытекает, что возможны два случая:

ψ(х1, х2) = ± ψ(х2, х1),

т.е. принцип неразличимости тождественных частиц ведет к определенному свойству симметрии волновой функции. Если при перемене частиц местами волновая функция не меняет знака, то она называется симметричной, если меняет - антисимметричной.

В зависимости от характера симметрии все элементарные частицы и построенные из них системы (атомы, молекулы) делятся на два класса. Частицы с полуцелым спином (например, электроны, протоны, нейтроны) описываются антисимметричными волновыми функциями и подчиняются статистике Ферми - Дирака; эти частицы называются фермионами. Частицы с нулевым или целочисленным спином (например, π-мезоны, фотоны) описываются симметричными волновыми функциями и подчиняются статистике Бозе - Эйнштейна; эти частицы называются бозонами.

Состояние системы невзаимодействующих частиц (идеальный газ) задается с помощью так называемых чисел заполнения ni - чисел, указывающих степень заполнения квантового состояния, характеризуемою данным набором i квантовых чисел, частицами системы, состоящей из многих тождественных частиц. Для систем частиц, образованных бозонами, числа заполнения могут принимать любые целые значения: 0, 1, 2, …, Для систем частиц, образованных фермионами, из-за принципа Паули числа заполнения могут принимать лишь два значения: 0 - для свободных состояний и 1 - для занятых. Сумма всех чисел заполнения должна быть равна числу частиц системы. Квантовая статистика позволяет подсчитать среднее число частиц в данном квантовом состоянии, т.е. определить средние числа заполнения <ni>. Итак, рассматриваем задачу о нахождении наиболее вероятного распределения частиц по ячейкам фазового пространства.

14.2. Распределение Ферми - Дирака

Рассмотрим идеальный ферми-газ, т. е. систему, состоящую из N фермионов (например, электронов), заключенных в сосуд с неизменяющимся объемом. Найдем число Ω способов, которыми эти N фермионов могут быть размещены по Z ячейкам. (Очевидно, что должно выполняться условие ZN; при Z = N фермионы могут быть размещены по ячейкам только одним способом.) Каждый способ размещения представляет собой микросостояние системы частиц. Следовательно, Ω есть не что иное, как статистический вес макросостояния системы. (В дальнейшем для краткости мы будем говорить просто «статвес».) Произведем все возможные перестановки ячеек. Число таких перестановок равно Z!. Однако вследствие неразличимости тождественных частиц перестановки занятых электронами ячеек не приводят к новому распределению. Таких перестановок N !. Перестановки незанятых электронами ячеек также ничего не изменяют. Таких перестановок (Z N)!. Следовательно, число физически различимых распределений N фермионов по Z ячейкам равно





(14.2)

Энергия ε частицы зависит от ее координат (если есть внешнее поле) и компонент импульса: ε = f(x, y, z, px , py , pz ). Уравнение f(x, y, z, px , py , pz ) = const = ε определяет гиперповерхность («сверхповерхность») в фазовом пространстве, все точки которой соответствуют одной и той же энергии частицы. Разобьем все фазовое пространство на тонкие энергетические слои. Будем считать i-м слой, ограниченный поверхностями f (x, y, z, px, py, pz) = εi и f (x, y, z, px, py, pz) = εi+1. Тонким считается слой, для которого εi+1 - εi << εi.

Пусть в пределы i-го слоя попадает Zi ячеек и Ni частиц. Тогда согласно (14.2) статвес подсистемы из Ni частиц будет равен









Статвес системы равен произведению статвесов подсистем



(14.3)

В статистической физике предполагается, что все микросостояния равновероятны. Поэтому статвес пропорционален вероятности данного микросостояния.

Чтобы найти наиболее вероятное распределение частиц по ячейкам, нужно найти максимум выражения (14.3) при соблюдении условий





(14.4)

— энергия системы).

Вместо максимума статвеса Ω будем искать максимум энтропии S = k lnΩ. С учетом (14.3)





(14.5)

Согласно формуле Стирлинга (см. Савельев, Приложение 2 в кн.3)

(это справедливо для n>1, что соблюдается для чисел Zi и Ni). Преобразовав выражение (14.5) по формуле Стирлинга, получим





(14.6)

где const = ∑ Zi ln Zi (варьируются только числа Ni).

Надо найти максимум выражения (14.6) при условии постоянства полного числа частиц N и энергии Е системы (см. (14.4)). Эта задача на условный экстремум решается методом множителей Лагранжа, суть которого заключается в следующем. Пусть требуется найти экстремум функции f(x1, x2, ..., xn),нa аргументы которой наложены условия φ(x1, x2, ..., xn) = С1, φ2(x1, x2, ..., xn) = С2, ..., где С1, С2, … — константы. В математике доказывается, что в этом случае надо приравнять нулю частные производные по всем переменным хi от функции



считая неопределенные множители Лагранжа λ1, λ2, ... постоянными. Решив получившуюся систему п уравнений, находим значения переменных х1, х2, ..., хп, при которых достигается условный экстремум. В соответствии с методом множителей Лагранжа образуем функцию





(14.7)

(α и β— множители Лагранжа) и приравняем частные производные этой функции по переменным Ni нулю:

Из полученных уравнений следует, что





(14.8)

Отношение Ni /Zi представляет собой среднее число частиц <ni>, приходящихся на одну ячейку, т. е. на одно квантовое состояние. Решив уравнение (14.8) относительно величин <ni> = Ni /Zi , придем к формуле



(14.9)

Значение множителя β можно найти, воспользовавшись тем, что равенство всех частных производных по Ni функции (14.7) равнозначно равенству нулю дифференциала этой функции:



(14.10)

(число частиц N остается постоянным, поэтому dN = 0). Предположим, что система получает обратимо количество теплоты dQ, в результате чего энтропия системы получает приращение dS = dQ/T. Поскольку объем системы остается постоянным, работы в ходе получения теплоты не совершается; следовательно, dQ = dE. Соответственно



(14.11)

Из соотношений (14.10) и (14.11) следует, что β = 1/Т. Подставив в (14.9) найденное значение β и представив множитель α в виде μ /Т, получим окончательное выражение для распределения Ферми-Дирака:




(14.12)


Параметр распределения μ называется химическим потенциалом. Он является функцией макроскопических параметров состояния ферми-газа, в частности температуры. Энергия частицы определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Очевидно, что с точностью до той же постоянной определяется и химический потенциал μ (иначе от выбора этой постоянной, т. е. от нашего произвола, зависели бы числа заполнения). Обычно аддитивную постоянную выбирают так, чтобы наименьшее значение энергии ε, было равно нулю. Тогда и химический потенциал делается однозначным.

При абсолютном нуле температуры величина μ, может быть только положительной. В противном случае экспонента в знаменателе (14.12) обращалась бы при Т = 0 в бесконечность, а числа заполнения — в нуль.


14.3. Распределение Бозе - Эйнштейна

Перейдем к выводу закона распределения для идеального бозе-газа, т. е. системы практически не взаимодействующих бозонов. Вначале решим вспомогательную задачу. Возьмем N неразличимых частиц, помещенных в некоторый длинный ящик (пенал). Разделим этот ящик с помощью Z1 перегородок на Z ячеек (рис. 14.1) и найдем число способов, которыми частицы могут быть размещены по ячейкам, независимо от числа частиц в каждой ячейке.



Рис. 14.1.

Произведем все возможные перестановки N + Z элементов системы, состоящей из частиц и ячеек. В данном случае переставляются не только частицы с частицами или ячейки с ячейками, но и ча­стицы с ячейками. Число таких перестановок равно (N + Z)!. Однако вследствие неразличимости частиц их перестановки не приводят к новому распределению. Таких перестановок N!. Перестановки ячеек также ничего не изменяют. Таких перестановок Z!. Следовательно, число способов, которыми N неразличимых частиц могут быть распределены по Z ячейкам, равно




(14.13)

Таким же будет число способов, которыми N бозонов могут быть распределены по Z состояниям. Разделим, как и при выводе распределения Ферми-Дирака, фазовое пространство на тонкие энергетические слои, в каждом из которых содержится Ni частиц и Zi состояний. Тогда согласно (14.13) статвес подсистемы из Ni частиц бозе-газа будет определяться выражением

Статвес всей системы равен произведению статвесов подсистем



Тогда энтропия бозе-газа будет определяться выражением



или


S = k ∑ [ln (Ni + Zi)! – ln Ni! – ln Zi!].

Используя формулу Стирлинга, получаем



S = k ∑ [(Ni + Zi)ln (Ni + Zi) –(Ni + Zi) - Ni ln Ni + NiZi ln Zi + Zi].

Для нахождения максимума этого выражения применяем метод неопределенных множителей Лагранжа. Для этого по аналогии с (14.7) образуем функцию



F=S + αNβE=k ∑ [(Ni + Zi)ln (Ni + Zi) –(Ni + Zi) - Ni ln Ni + NiZi ln Zi + Zi] + αNiβ∑εiNi.

Здесь, как и в (14.7) α и β множители Лагранжа. Приравняем частные производные функции



F по переменным Ni нулю:

Отсюда следует, что



В полученном выражении, как и в случае фермионов, β =1/Т, α = μ/Т. Разрешив получившееся в результате равенство относительно <ni>, получим для среднего числа бозонов в состоянии с энергией εi формулу






(14.14)

которую называют распределением Бозе-Эйн­штейна. Эта формула отличается от (14.12) только знаком перед единицей в знаменателе.

Химический потенциал μ бозе-газа не может быть положительным, потому что при μ > 0 некоторые из чисел заполнения оказались бы отрицательными, что невозможно.

При малых (по сравнению с единицей) числах заполнения экспонента в знаменателе формул (14.12) и (14.14) много больше единицы. Поэтому единицей в знаменателе можно пренебречь, в результате чего оба распределения приобретают вид





(14.15)

где А = ехр(μ/kТ). Таким образом, при малых числах заполнения распределения Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна переходят в распределение Больцмана.

При выводе распределений (14.12) и (14.14) мы предполагали полное число частиц N наперед заданным и неизменным. В случае, если число частиц непостоянно, условие ∑Ni=N не имеет места. Поэтому в формуле аналогичной (14.7), отсутствует слагаемое αNi. Это означает, что α = 0, соответственно и μ = 0. Таким образом, химический потенциал бозе-газа с переменным числом частиц равен нулю, вследствие чего распределение (14.14) имеет вид





(14.16)

Идеи и выводы квантовой статистики необходимы ниже для понимания свойств твердых тел.

14.4. Фотонный газ
Предположим, что излучение, находящееся в равновесии со стенками полости, в которой оно заключено, можно представить как идеальный фотонный газ. Фотоны являются бозонами, т.к. спин фотона равен единице. Стенки полости непрерывно излучают и поглощают фотоны. Поэтому число фотонов не является наперед заданным (оно определяется объемом полости и температурой ее стенок). Из непостоянства числа фотонов вытекает, что их распределение по состояниям описывается формулой (14.16), где εi = ћωi:


,

(14.17)

Вычислим энергию излучения, отнесенную к единице объема полости и к единичному интервалу частот формулу, т. е. Планка. Энергия фотона не зависит от координат и направления его движения. В этом случае энергия частицы определяется только модулем ее импульса: ε = f(p). Поэтому изоэнергетическая поверхность (т. е. поверхность, все точки которой соответствуют одинаковой энергии) представляет собой сферу радиуса р. Отсюда следует, что объем ∆τ тонкого энергетического слоя равен объему шарового слоя радиуса р и толщины ∆р, умноженному на объем сосуда, в котором находится газ:





(14.18)

Найдем число состояний Zi фотонов в i-м тонком энергетическом слое объема ∆τi=V4πpi2pi. Объем ячейки в фазовом пространстве равен h3. Поэтому число ячеек равно ∆τi / h3. В каждой ячейке «помещается» два состояния фотона, различающихся направлением поляризации. Следовательно,




(14.19)

(учли, что h = 2πћ). Импульс фотона р = ε /с = ћω/c. Соответственно р2∆р = ћ3ω2∆ω/с3. Подстановка этого выражения в (14.19) дает для числа состояний в i- слое




(14.20)

Умножив Zi на среднее число заполнения <ni>, найдем число фотонов, частоты которых заключены в интервале ∆ωi, а умножив это число на энергию фотона εi = ћωi , получим энергию фотонов

Подстановка сюда выражений (14.17) и (14.20) приводит к формуле






(14.21)

Разделив ∆Еi на V и на ∆ωi, найдем плотность энергии электромагнитного излучения, отнесенную к единичному интервалу частот. Таким образом, опустив за ненадобностью индекс i, получим формулу




(14.21 а)

совпадающую с формулой Планка.



Достарыңызбен бөлісу:
  1   2   3




©kzref.org 2022
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет