Лекция 7 Сферическое движение твердого тела



Дата01.05.2019
өлшемі223.5 Kb.
#128395
түріЛекция

ЛЕКЦИЯ 7
Сферическое движение твердого тела.

Общий случай движения твердого тела.

Сложное движение твердого тела



  1. Уравнения сферического движения твердого тела. Углы Эйлера. Мгновенная ось вращения. Аксоиды.

  2. Угловая скорость и угловое ускорение при сферическом движении твердого тела.

  3. Скорости и ускорения точек тела при сферическом движении.

  4. Гироскоп.

  5. Общий случай движения твердого тела. Уравнения движения число степеней свободы.

  6. Сложное движение твердого тела. Сложение вращений вокруг параллельных осей. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей.



1. Уравнения сферического движения твердого тела. Углы Эйлера. Мгновенная ось вращения. Аксоиды.
Сферическим называется такое движение твердого тела, при котором во все время движения одна точка остается неподвижной, а остальные точки тела движутся по сферическим поверхностям, центры которых совпадают с неподвижной точкой.







O1x1y1z1 - неподвижная система координат;

Оxyz – подвижная система

координат;



ОК ось нутации;

O1z1 ось прецессии;

Оz – ось собственного

вращения;



- угол нутации;

- угол прецессии;

- угол собственного

вращения.





- уравнения Эйлера (7.1)


Пример сферического движения твердого тела




Теорема Эйлера-Д'Аламбера: всякое элементарное движение тела, имеющего неподвижную точку, представляет собой элементарный поворот вокруг некоторой мгновенной оси вращения, проходящей через эту точку.





Ось OP - мгновенная ось вращения.


Таким образом, движение неподвижного тела вокруг неподвижной точки слагается из серии последовательных элементарных поворотов вокруг мгновенной оси вращения, проходящей через эту неподвижную точку.


Аксоиды
2. Угловая скорость и угловое ускорение при сферическом движении твердого тела.






(7.2)

(7.3)
(7.4)



Если обозначить через 0 орт мгновенной оси, то угловое ускорение определяется формулой:



или (7.5)

где показывает изменение угловой скорости по величине

- характеризует изменение угловой

скорости по направлению.


3. Скорости и ускорения точек тела при сферическом движении.






(7.6)
(7.7)


Таким образом, распределение скоростей точек тела в данный момент времени t при сферическом движении по отношению к мгновенной оси вращения не отличается от распределения скоростей при вращении тела вокруг неподвижной оси.









(7.8)

(7.9)



Теорема Ривальса: ускорение любой точки тела при сферическом движении определяется как геометрическая сумма ее вращательного и осестремительного ускорений.






Так как

(7.10)

где - вращательное ускорение т. М


- осестремительное ускорение т. М




4. Гироскоп — быстро вращающееся твердое тело, ось вращения которого может изменять свое направление в пространстве.


По назначению гироскопические устройства подразделяются на следующие группы:

  1. Гироскопические устройства для определения угловых отклонений объекта (углы рыскания корабля или летательного аппарата, углы килевой и бортовой качки корабля, углы тангажа и крена летательного аппарата).

  2. Гироскопические устройства для определения угловых скоростей и угловых ускорений объекта.

  3. Гироскопические устройства для определения интегралов от входных величин (угловой скорости и линейных ускорений, следовательно, линейной скорости центра тяжести; угол скорости поворота).

  4. Гироскопические устройства для стабилизации объекта или прибора.

  5. Гироскопические устройства для решения навигационных задач.


Модель гироскопа – карданный подвес


Первое свойство уравновешенного гироскопа с тремя степенями свободы - его ось стремится устойчиво сохранять в мировом пространстве приданное ей первоначальное направление.
Второе свойство гироскопа. Под действием силы F конец A оси AB будет отклоняться не в сторону действия силы, а в направлении, перпендикулярном этой силе (так как ротор вращается), следовательно, гироскоп начнет вращаться вокруг оси DE (угол ψ — прецессии).
5. Общий случай движения твердого тела. Уравнения движения.

Число степеней свободы.






(7.11)



Примеры свободного движения твердого тела
















  1. Сложное движение твердого тела.

Сложение вращений вокруг параллельных осей.
Вращения направлены в одну сторону



,


(7.12)
(7.13)

Если тело участвует одновременно в двух, направленных в одну сторону вращениях вокруг параллельных осей, то его результирующее движение будет мгновенным вращением с абсолютной угловой скоростью вокруг мгновенной оси вращения, параллельной данным.


Вращения направлены в разные стороны




,


(7.14)
(7.15)

В данном случае результирующее движение также является мгновенным вращением с абсолютной угловой скоростью вокруг мгновенной оси вращения, положение которой определяется соотношением (7.14).



Пара вращений











Пара вращений эквивалентна мгновенному поступательному движению со скоростью , равной моменту пары угловых скоростей этих вращений.
Пример




  1. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей.










(7.16)

(7.17)

(7.18)

При сложении вращений вокруг двух осей, пересекающихся в т. О, результирующее движение тела будет мгновенным вращением вокруг оси ОС, проходящей через точку О, причем угловая скорость этого вращения равна геометрической сумме относительной и переносной угловых скоростей.




Достарыңызбен бөлісу:




©kzref.org 2022
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет