Лекция Декартова система координат. Основные вопросы Проекция вектора на ось. Теоремы о проекциях



жүктеу 55.91 Kb.
Дата20.04.2019
өлшемі55.91 Kb.
түріЛекция

Тема 3. Прямоугольная система координат.

Лекция 7. Декартова система координат.

Основные вопросы

1. Проекция вектора на ось.

2. Теоремы о проекциях.

3. Декартова система координат в пространстве.

4. Координаты точки и вектора в прямоугольной системе координат.


1. Проекция вектора на ось
Осью называется прямая, направление которой задано единичным векто-ром . Пусть даны вектор и ось ℓ (рис. 2.1). Опустим из точек А и В перпендикуляры на ось ℓ и обозначим их основания соответственно через А1 и В1 .
Определение 1. Вектор , началом которого служит проек-ция начала вектора , а концом – проекция его конца на прямую ℓ , называется проекцией вектора на прямую ℓ (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Проекция вектора на прямую и ось


Определение 2. Проекцией вектора на ось ℓ называется число , обоз-начаемое , где знак «+» берется в случае, когда направление вектора совпадает с направ-лением оси ℓ , а знак «-» , когда их направления противоположны.

Углом вектора (или равного с ним ) с осьюℓ называется углом φ , на который нужно повернуть кратчайшим образом ось ℓ около точки А1 до совме-щения ее с вектором . Произвольный вектор об-разует с осью угол φ, меняющийся от 0 до π .


2. Теорема о проекциях.
Теорема 1. Проекция вектора на ось равна длине вектора, умноженной

на косинус угла между вектором и осью.



Теорема 2. При умножении вектора на число λ его проекция на ось умножается на то же число.
. (1)
Теорема 3. Проекция суммы векторов на ось равна сумме их проекций на ту же ось.

Из теорем 2 и 3 следует, что линейные операции над векторами приво-дят к соответствующим операциям над проекциями этих векторов на произвольную ось.



3. Декартова система координат в пространстве.
Определение 3. Декартовой системой координат в пространстве назы-вается совокупность точки 0 и базиса .

При этом различают аффинную и прямоугольную систему декартовых координат (Рене Декарт (1596-1650) – французский математик и философ).

В случае аффинной системы декартовых координат базисные векторы имеют произвольные направления, оставаясь некомпланарными.

При изучении последующих вопросов при решении задач векторной алгебры и аналитической геометрии будем пользоваться декартовой системой координат , когда базисные векторы попарно перпендикулярны и имеют длину, равную единице.

Базис, состоящий из взаимно перпендикулярных единичных векторов, называется ортонормированным базисом. Векторы ортонормированного ба-зиса в пространстве называются ортами и обозначаются , а на плос-кости – через . Это, так называемый, декартов базис .

Декартова система координат с ортонормированным базисом называется прямоугольной системой координат, которая может быть правой или левой (в дальнейшем будем использовать правую систему координат) (рис.2.4). Обоз-начается обычно : 0xyz Z

z



M(x,y,z)

M1



α β y Y

0

x

X

Рис.2.4. Правая прямоугольная система координат в пространстве


Точка 0 – начало координат. Ось – ось абсцисс, ось ось ординат, а ось 0Z – ось аппликат (различают их положительные и отрицательные по-луоси). Плоскости х0У, х0Z и У0Z называются координатными плоскостями.
4. Координаты точки и вектора.
Возьмем произвольную точку М пространства, она определит некоторый вектор . Вектор, начало которого совпадает с началом координат, а конец – с точкой М , называется радиус-вектором точки М по отношению к точке 0.

Известно, что любой вектор может быть разложен по базису выбранной системы координат, т.е. вектор однозначно представляется в виде:

Где X,Y,Zкоординаты вектора , а - ортонормированный базис (X- абсцисса,Y – ордината, Z - аппликата ).

Иначе говоря, точке М сопоставляется упорядоченная тройка чисел, ко-торые являются координатами ее радиус-вектора боль-шие буквы. Наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел х,у,z однозначно составляется точка пространства М(х,у,z) – малые буквы.


Определение 4. Координаты радиус-вектора точки М по отношению к

началу координат называются координатами точки М в выбранной системе координат. Точка М пространства обозначается : М(X,Y,Z) .

Отметим, что вектор является диагональю прямоугольного паралле-лепипеда. Вполне очевидно, что длина этой диагонали, а значит и модуль вектора определяется по следующей формуле

(3)

Если предположить, что вектор 1 единичный, т.е. , и учесть, что его проекция на любую ось (0х,0у,0z) будет равна косинусу угла между вектором 1 и соответствующей осью, то вектор 1 раскладывается в декартовом базисе в виде , где - углы между вектором 1 (а равно и ) и соответствующими осями координат 0х,0у,0z .

Следовательно, единичный вектор в координатах запишем так: (4)
Определение 5. Косинусы углов любого вектора с осями координат 0Х,0У,0Z называются направляющими косинусами этого вектора, которые определяют направление век-тора в пространстве.

Поскольку мы рассматриваем свободные векторы (т.е. такие векторы, которые без изменения длины и направления могут быть перенесены в лю-бую точку пространства, и в частности в начало координат), то любой век-тор, заданный в координатном пространстве 0х,у,z, может быть представлен в виде: (5)

Такое представление вектора называется его разложением по осям координат , или разложением по ортам .

Здесь X,Y,Z – проекции вектора на соответствующие оси координат (их чаще называют координатами вектора ; - орты этих осей). Так как с другой стороны



т.к. , то

(6)
Возводя в квадрат левую и правую части равенства (6) получим

(7) т.е. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице.
Пример 1. Найти длину вектора и его направля-ющие косинусы.
Решение . 1)

2) .


Достарыңызбен бөлісу:


©kzref.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет