Методичні вказівки до виконання практичної роботи з дисципліни " Чисельні методи" за темою : «Методи знаходження власних значень та власних векторів матриці»
жүктеу 180.54 Kb.
|
- Навигация по данной странице:
- МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
- 6.040302 Інформатика
- Образец выполнения задания Пусть . 1
 МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
Дніпропетровський національний університет імені Олеся Гончара Факультет прикладної математики Кафедра обчислювальної математики та математичної кібернетики ___________________________________________ МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ до виконання практичної роботи з дисципліни
Укладач – к.ф.-м.н., доц. Гарт Л.Л Дніпропетровськ Постановка задания Задана квадратная вещественная матрица n-го порядка  .
1. Методом Крылова найти все собственные значения  матрицы А и соответствующие им нормированные собственные векторы  :  , i=1,2,...,n, где  – первая (кубическая) норма вектора  .
2. Итерационным методом Мизеса выполнить пять итераций для нахождения наибольшего по модулю собственного значения 3. Провести сравнительный анализ найденных каждым из методов собственных значений и соответствующих им собственных векторов матрицы А, а также векторов невязки Запишем характеристический полином матрицы А: 
и найдем его коэффициенты На основании теоремы Гамильтона-Кели каждая квадратная матрица обращает в ноль свой характеристический полином, т.е.
где ? ? нулевая матрица. Выберем произвольно ненулевой вектор Если ввести обозначения  ,  ,  , (2)
то равенство (1) перепишется в виде  ,
или в координатной форме:  . (3)
Таким образом, получаем систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно искомых коэффициентов Формулы вычисления координат векторов Исходя из вида матрицы А и вектора  ,
 ,
 ;
 ,
 ,
 ;
 ,
 ,
 ;
Теперь СЛАУ (3) можно записать с числовыми коэффициентами и решить, например, методом Гаусса.  ? 
Разделим на 2 первое уравнение системы и исключим с его помощью переменную  ?  (4)
Таким образом, СЛАУ (3) имеет единственное решение  , подставив которое в характеристический полином матрицы А, будем иметь:
 . (5)
Будем искать корни 
Рис. 1. График функции y=D(λ) Рис. 1. График функции  .
По рис. 1 видно, что искомые корни полинома (5) являются абсциссами точек пересечения графика с осью Ох и располагаются на следующих промежутках:  ,  ,  .
Для уточнения каждого из этих корней будем использовать метод половинного деления с точностью вычислений 1) Рассмотрим процесс уточнения корня Обозначим Шаг 3. Имеем  =[?1,375; ?1,3125].  ;  .
 ;  , следовательно  .
Обозначим Шаг 4. Имеем  =[?1,343; ?1,3125].  ;  .
 ;  , следовательно  .
Обозначим Шаг 5. Имеем  =[?1,343; ?1,328].  ;  .
 ;  , следовательно  .
Обозначим Шаг 6. Имеем  =[?1,343; ?1,3358].  ;  .
 ;  , следовательно  .
Обозначим Шаг 7. Имеем  =[?1,3398; ?1,3358].  ;  .
 ;  , следовательно  .
Обозначим Шаг 8. Имеем  =[?1,3398; ?1,3378].  ;  .
 ;  , следовательно  .
Обозначим Шаг 9. Имеем  =[?1,3388; ?1,3378].  ;  .
 ;  , следовательно  .
Обозначим Шаг 10. Имеем  =[?1,3383; ?1,3378].  ;  .
 ;  , следовательно  .
Обозначим Шаг 11. Имеем  =[?1,33805; ?1,3378].  ;  .
 ;  , следовательно  .
Обозначим λ1 ? -1,337. 2) Рассмотрим процесс уточнения корня  с точностью вычислений  .
В дальнейшем для краткости изложения будем обозначать символами «<0» и «>0» над границами промежутков знаки функции
λ2 ? 0,42. 3) Рассмотрим процесс уточнения корня  с точностью вычислений .
λ3 ? 3,617. Итак, собственные значения матрицы А, найденные с точностью λ1 ? -1,337 , λ2 ? 0,42 , λ3 ? 3,617. (6) Найдем теперь собственные векторы  матрицы А, соответствующие данным собственным значениям. Поскольку матрица А симметричная (и кроме того, все ее собственные значения различны), то соответствующие им собственные векторы образуют базис в  .
Возьмем выбранный ранее ненулевой вектор  (7)
где С1, С2, С3 ? коэффициенты разложения 
? вспомогательные полиномы, связанные с характеристическим полиномом (5) матрицы А;  ,  .
Используя найденные значения (4) и (6), вычислим коэффициенты qji:  
Далее, согласно формулам (7) находим с точностью до постоянных множителей соответствующие собственным значениям  ,  собственные векторы
 , .
В координатной форме записи будем иметь: 
Пронормируем векторы Вычислим
Векторы невязок: 
2. При помощи метода Мизеса выполним 5 итераций для нахождения наибольшего по модулю собственного значения матрицы А и соответствующего ему собственного вектора с единичной нормой. Будем обозначать через Поскольку все элементы исходной матрицы А положительны, то по теореме Перрона, Таким образом, все условия применимости метода Мизеса для матрицы А выполнены. Выберем произвольный ненулевой вектор Заметим, что первые три итерации по формуле (8) были выполнены в п.1:  ,  ,  .
Одновременно с этим будем строить сходящуюся к  ,  . (9)
Будем иметь (исключая из среднего арифметического отношений координат в формуле (9) отношения с нулевыми координатами в знаменателе):  .  ;
 .  .
Вычислим отклонение соседних приближений:  .  ;
 .
 . Построим вектор
 ;
 ;
 .
 . Построим вектор
 ;
 ;
 .
Таким образом, по результатам пяти итераций метода Мизеса за наибольшее по модулю собственное значение  матрицы А приближенно принимаем
 .
При этом, как известно из теории метода, в качестве собственного вектора, соответствующего собственному значению После нормирования вектора
Как видно из невязок, точность вычислений в методе Крылова выше, поскольку этот метод прямой и нахождение собственных значений матрицы А методом половинного деления было выполнено с точностью вычислений При нахождении остальных собственных значений и соответствующих собственных векторов матрицы А при помощи алгоритма метода Мизеса наблюдалась бы еще большая потеря точности в приближенных результатах. Литература
Каталог: upload upload -> Английские слова и выражения в оригинальном написании a horse! a horse! MY KINGDOM FOR a horse! англ букв. «Коня! Коня! Мое царство за коня!» upload -> Викторина по пьесе В. Шекспира «Гамлет, принц Датский» upload -> Қазақстан Республикасы Қорғаныс министрінің 2016 жылғы 22 қаңтардағы №35 бұйрығымен бекітілген тиісті деңгейдегі білім беру бағдарламаларын іске асыратын Қазақстан upload -> 2018 жылға арналған Жарқайың ауданы бойынша айтақты және естелік күнтізбесі 24 маусым upload -> 017 ж қаңтар 31 қаңтар дсұ санитарлық және фитосанитарлық шаралар бойынша Комитетпен жарияланған хабарламалар тізімі Достарыңызбен бөлісу:
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
матрицы А и соответствующего ему собственного вектора 
такого, что 
=1.
, i=1,2,...,n.
.
и соответствующие им собственные векторы 
с единичной нормой (
).
,
и умножим последнее равенство на него справа:
, (1)
? нулевой вектор.
вытекают из соотношений (2): 
, 
.
, найдем:
из второго и третьего уравнений системы
.
, 
. Установим знаки функции 
в этих точках: 
. 
отрезка 
и знак 
. Из двух частичных промежутков 
и 
выберем 
, т.к. на его концах функция 
) и обозначим 
, 
. Поскольку 
, то условие окончания итерационного процесса на данном шаге вычислений не выполняется. Продолжим уточнение корня.
=[?1,375; ?1,25] применим те же рассуждения, что и на предыдущем шаге: 
; 
.
; 
, следовательно 
.
, 
. 
.
, 
. Очевидно, 
.
, 
. Очевидно, 
.
, 
. Очевидно, 
.
, 
. Очевидно, 
.
, 
. Очевидно, 
.
, 
. Очевидно, 
.
, 
. Очевидно, 
.
, 
. Очевидно, 
.
, 
. Очевидно, 
. Тогда в качестве приближенного значения корня 
можно 
, в частности, его середину:
и 
=(5,94; 4,31; 3,35) и запишем формулы для нахождения собственных векторов 
по базису из собственных векторов;
? числовые коэффициенты, которые можно вычислить по схеме Горнера:
, 
, 
в первой векторной норме 
и получим векторы 
, соответствующие собственным значениям 
, 
, 
и запишем окончательные результаты применения метода Крылова:
таким же, как в п.1, и построим итерационную последовательность векторов 
:
. (8)
итерационную последовательность приближений 
по 
.
.
с единичной нормой, который также является приближенно собственным вектором матрицы А, соответствующим собственному значению 
λ1 ??1,337
λ2 ? 0,42
λ3 ? 3,617