Методичні вказівки до виконання практичної роботи з дисципліни " Чисельні методи" за темою : «Методи знаходження власних значень та власних векторів матриці»



жүктеу 180.54 Kb.
Дата20.04.2019
өлшемі180.54 Kb.
түріМетодичні вказівки


МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Дніпропетровський національний університет імені Олеся Гончара


Факультет прикладної математики
Кафедра обчислювальної математики та математичної кібернетики

___________________________________________



МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до виконання практичної роботи

з дисципліни
Чисельні методи
за темою:

«Методи знаходження власних значень та власних векторів матриці»
Напрями 6.040301 Прикладна математика,

6.040302 Інформатика

Укладач – к.ф.-м.н., доц. Гарт Л.Л




Дніпропетровськ



Постановка задания
Задана квадратная вещественная матрица n-го порядка
.
1. Методом Крылова найти все собственные значения матрицы А и соответствующие им нормированные собственные векторы : , i=1,2,...,n, где – первая (кубическая) норма вектора .

2. Итерационным методом Мизеса выполнить пять итераций для нахождения наибольшего по модулю собственного значения матрицы А и соответствующего ему собственного вектора такого, что =1.

3. Провести сравнительный анализ найденных каждым из методов собственных значений и соответствующих им собственных векторов матрицы А, а также векторов невязки , i=1,2,...,n.
Образец выполнения задания
Пусть .

1. Для заданной матрицы третьего порядка (n=3) найдем методом Крылова все ее собственные значения и соответствующие им собственные векторы с единичной нормой (, ).

Запишем характеристический полином матрицы А:



и найдем его коэффициенты .

На основании теоремы Гамильтона-Кели каждая квадратная матрица обращает в ноль свой характеристический полином, т.е.

,

где ? ? нулевая матрица.

Выберем произвольно ненулевой вектор и умножим последнее равенство на него справа:

, (1)

? нулевой вектор.

Если ввести обозначения



, , , (2)

то равенство (1) перепишется в виде



,

или в координатной форме:



. (3)

Таким образом, получаем систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно искомых коэффициентов .

Формулы вычисления координат векторов вытекают из соотношений (2): , , .

Исходя из вида матрицы А и вектора , найдем:



,

,

;
,

,

;
,

,

;
Теперь СЛАУ (3) можно записать с числовыми коэффициентами и решить, например, методом Гаусса.

?

Разделим на 2 первое уравнение системы и исключим с его помощью переменную из второго и третьего уравнений системы



? (4)
Таким образом, СЛАУ (3) имеет единственное решение , подставив которое в характеристический полином матрицы А, будем иметь:

. (5)

Будем искать корни характеристического полинома (5). Для этого сначала выполним отделение корней графическим методом.






λ

D(λ)




,033




-3,547




-8,527




-6,907




,313

-1

,213

-2

-9,007


Рис. 1. График функции y=D(λ)
Рис. 1. График функции .
По рис. 1 видно, что искомые корни полинома (5) являются абсциссами точек пересечения графика с осью Ох и располагаются на следующих промежутках: , , .

Для уточнения каждого из этих корней будем использовать метод половинного деления с точностью вычислений .

1) Рассмотрим процесс уточнения корня .

Шаг 1. Положим , . Установим знаки функции в этих точках: . Найдем середину отрезка и знак . Из двух частичных промежутков и выберем , т.к. на его концах функция принимает значения разных знаков (это гарантирует на основании теоремы Больцано-Коши принадлежность ) и обозначим , . Поскольку , то условие окончания итерационного процесса на данном шаге вычислений не выполняется. Продолжим уточнение корня.

Шаг 2. К отрезку =[?1,375; ?1,25] применим те же рассуждения, что и на предыдущем шаге: ; .

; , следовательно .

Обозначим , . Очевидно, .



Шаг 3. Имеем =[?1,375; ?1,3125]. ; .

; , следовательно .

Обозначим , . Очевидно, .



Шаг 4. Имеем =[?1,343; ?1,3125]. ; .

; , следовательно .

Обозначим , . Очевидно, .



Шаг 5. Имеем =[?1,343; ?1,328]. ; .

; , следовательно .

Обозначим , . Очевидно, .



Шаг 6. Имеем =[?1,343; ?1,3358]. ; .

; , следовательно .

Обозначим , . Очевидно, .



Шаг 7. Имеем =[?1,3398; ?1,3358]. ; .

; , следовательно .

Обозначим , . Очевидно, .



Шаг 8. Имеем =[?1,3398; ?1,3378]. ; .

; , следовательно .

Обозначим , . Очевидно, .



Шаг 9. Имеем =[?1,3388; ?1,3378]. ; .

; , следовательно .

Обозначим , . Очевидно, .



Шаг 10. Имеем =[?1,3383; ?1,3378]. ; .

; , следовательно .

Обозначим , . Очевидно, .



Шаг 11. Имеем =[?1,33805; ?1,3378]. ; .

; , следовательно .

Обозначим , . Очевидно, . Тогда в качестве приближенного значения корня можно взять любую точку отрезка , в частности, его середину:



λ1 ? -1,337.
2) Рассмотрим процесс уточнения корня с точностью вычислений .

В дальнейшем для краткости изложения будем обозначать символами «<0» и «>0» над границами промежутков знаки функции в них.






Шаг 1.





Шаг 2.









Шаг 3.





Шаг 4.






Шаг 5.





Шаг 6.






Шаг 7.





Шаг 8.






Шаг 9.





Шаг10.





λ2 ? 0,42.
3) Рассмотрим процесс уточнения корня с точностью вычислений .




Шаг 1.





Шаг 2.









Шаг 3.





Шаг 4.






Шаг 5.





Шаг 6.






Шаг 7.





Шаг 8.






Шаг 9.











λ3 ? 3,617.

Итак, собственные значения матрицы А, найденные с точностью , есть



λ1 ? -1,337 , λ2 ? 0,42 , λ3 ? 3,617. (6)
Найдем теперь собственные векторы матрицы А, соответствующие данным собственным значениям. Поскольку матрица А симметричная (и кроме того, все ее собственные значения различны), то соответствующие им собственные векторы образуют базис в .

Возьмем выбранный ранее ненулевой вектор и связанные с ним векторы =(0,5; 2; 1,3), =(5,94; 4,31; 3,35) и запишем формулы для нахождения собственных векторов матрицы А:



(7)

где С1, С2, С3 ? коэффициенты разложения по базису из собственных векторов;



? вспомогательные полиномы, связанные с характеристическим полиномом (5) матрицы А; ? числовые коэффициенты, которые можно вычислить по схеме Горнера:



, .

Используя найденные значения (4) и (6), вычислим коэффициенты qji:




Далее, согласно формулам (7) находим с точностью до постоянных множителей соответствующие собственным значениям , собственные векторы

, .

В координатной форме записи будем иметь:



Пронормируем векторы , , в первой векторной норме и получим векторы , соответствующие собственным значениям , , которые также являются собственными векторами матрицы А и при этом имеют единичную норму.

Вычислим , , и запишем окончательные результаты применения метода Крылова:


λ1 ? -1,337

λ2 ? 0,42

λ3 ? 3,617











Векторы невязок:





2. При помощи метода Мизеса выполним 5 итераций для нахождения наибольшего по модулю собственного значения матрицы А и соответствующего ему собственного вектора с единичной нормой.

Будем обозначать через наибольшее по модулю собственное значение матрицы А.

Поскольку все элементы исходной матрицы А положительны, то по теореме Перрона, также положительно и является простым корнем характеристического уравнения, а соответствующий ему собственный вектор имеет положительные координаты. Кроме того, в силу симметричности матрицы А ее собственные векторы образуют базис в .

Таким образом, все условия применимости метода Мизеса для матрицы А выполнены.

Выберем произвольный ненулевой вектор таким же, как в п.1, и построим итерационную последовательность векторов :

. (8)

Заметим, что первые три итерации по формуле (8) были выполнены в п.1:



, , .

Одновременно с этим будем строить сходящуюся к при итерационную последовательность приближений по формуле



, . (9)

Будем иметь (исключая из среднего арифметического отношений координат в формуле (9) отношения с нулевыми координатами в знаменателе):



. ;

. .

Вычислим отклонение соседних приближений: .



. ;

.

. Построим вектор

;

;

.

. Построим вектор

;

;

.
Таким образом, по результатам пяти итераций метода Мизеса за наибольшее по модулю собственное значение матрицы А приближенно принимаем

.

При этом, как известно из теории метода, в качестве собственного вектора, соответствующего собственному значению , приближенно выступает вектор .

После нормирования вектора в первой векторной норме получим вектор с единичной нормой, который также является приближенно собственным вектором матрицы А, соответствующим собственному значению .


3. Сравнительный анализ результатов.


Метод Крылова

Метод Мизеса




λ1 ??1,337

,





λ2 ? 0,42

,


λ3 ? 3,617

,


,

Как видно из невязок, точность вычислений в методе Крылова выше, поскольку этот метод прямой и нахождение собственных значений матрицы А методом половинного деления было выполнено с точностью вычислений . В итерационном же методе Мизеса было выполнено лишь 5 итераций, которых, возможно, не хватило для достижения лучшей точности.

При нахождении остальных собственных значений и соответствующих собственных векторов матрицы А при помощи алгоритма метода Мизеса наблюдалась бы еще большая потеря точности в приближенных результатах.



Литература


  1. Балашова С.Д. Чисельні методи: Навчальний посібник. Частина 1. Київ, НМК ВО, 1992.

  2. Бахвалов Н.С. Численные методы. М., Наука, 1973.

  3. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М., Наука, 1966, т. 1.

  4. Гаврилюк І.П., Макаров В.П. Методи обчислень. Підручник. Частина 1,2. Київ, Вища школа, 1995.

  5. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М., 1970 та інші роки видання.

  6. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. М., Наука, 1967 та інші роки видання.

  7. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Учебное пособие. Т.1,2. М., Наука, 1976, 1977.

  8. Фельдман Л.П., Петренко А.І., Дмитрієва О.А. Чисельні методи в інформатиці. Підручник для вузів. К.: Видавнича група BHV, 2006. – 480 с.


Каталог: upload
upload -> Английские слова и выражения в оригинальном написании a horse! a horse! MY KINGDOM FOR a horse! англ букв. «Коня! Коня! Мое царство за коня!»
upload -> Викторина по пьесе В. Шекспира «Гамлет, принц Датский»
upload -> Қазақстан Республикасы Қорғаныс министрінің 2016 жылғы 22 қаңтардағы №35 бұйрығымен бекітілген тиісті деңгейдегі білім беру бағдарламаларын іске асыратын Қазақстан
upload -> 2018 жылға арналған Жарқайың ауданы бойынша айтақты және естелік күнтізбесі 24 маусым
upload -> 017 ж қаңтар 31 қаңтар дсұ санитарлық және фитосанитарлық шаралар бойынша Комитетпен жарияланған хабарламалар тізімі


Достарыңызбен бөлісу:


©kzref.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет