Найважливіші результати з математики



бет1/5
Дата13.03.2018
өлшемі0.64 Mb.
#20595
  1   2   3   4   5


НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ВІДДІЛЕННЯ МАТЕМАТИКИ

НАЙВАЖЛИВІШІ РЕЗУЛЬТАТИ

З МАТЕМАТИКИ, ОТРИМАНІ В АКАДЕМІЧНИХ УСТАНОВАХ


ТА ВИЩИХ УЧБОВИХ ЗАКЛАДАХ УКРАЇНИ

У 2000 – 2002 РОКАХ


Київ, 2003



ЗМІСТ

Перелік установ та їх скорочених позначень………………………………………3




  1. Теорія функцій……………………………………………………………………….5




  1. Комплексний аналіз………………………………………………………………….9




  1. Функціональний аналіз……………………………………………………………...11




  1. Звичайні диференціальні рівняння. Нелінійна механіка………………………….15




  1. Диференціальні рівняння з частинними похідними………………………………17




  1. Теорія динамічних систем…………………………………………………………..21




  1. Математична фізика…………………………………………………………………22




  1. Геометрія і топологія………………………………………………………………...25




  1. Теорія ймовірностей та математична статистика………………………………….26




  1. Алгебра……………………………………………………………………………….29




  1. Обчислювальна математика…………………………………………………………31




  1. Проблеми математичного моделювання……………………………………………34




  1. Проблеми оптимального керування…………………………………………………38




  1. Математичні проблеми механіки……………………………………………………40


Список установ та їх скорочені позначення


  1. Інститут математики НАН України

  2. Інститут прикладної математики і механіки НАН України (ІПММ НАНУ)

  3. Інститут прикладних проблем механіки і математики імені Я.С. Підстригача (ІППММ НАНУ)

  4. Математичне відділення Фізико-технічного інституту низьких температур імені Б.І. Вєркіна НАН України (МВ ФТІНТ НАНУ)

  5. Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України (ІК НАНУ)

  6. Міжнародний математичний центр НАН України (ММЦ НАНУ)

  7. Фізико-механічний інститут імені Г.В. Карпенка НАН України (ФМІ НАНУ)

  8. Інститут прикладного системного аналізу НАН України та Міністерства освіти та науки України (ІПСА НАНУ та Міносвіти)

  9. Інститут проблем машинобудування імені А.М. Підгорного НАН України (ІПМ НАНУ)

  10. Центр математичного моделювання ІППММ імені Я.С.Підстригача НАН України (ЦММ ІППММ НАНУ)

  11. Інститут космічних досліджень НАН України та Національного космічного агенства України (ІКД НАНУ та НКАУ)

  12. Інститут теоретичної фізики НАН України імені М.Боголюбова (ІТФ НАНУ)

  13. Інститут історії України НАН України (ІІ НАНУ)

  14. Бердянський державний педагогічний університет

  15. Вінницький державний університет імені Михайла Коцюбинського

  16. Вінницький державний технічний університет

  17. Волинський державний університет імені Лесі Українки

  18. Донбаський гірничо-металургійний інститут

  19. Донецький державний інститут штучного інтелекту

  20. Донецький національний університет

  21. Дніпропетровський національний університет

  22. Дніпродзержинський державний технічний університет

  23. Дніпропетровський державний технічний університет залізничного транспорту

  24. Дрогобицький державний педагогічний університет імені Івана Франка

  25. Житомирський державний педагогічний університет імені Івана Франка

  26. Житомирський інженерно-технологічний інститут

  27. Запорізька державна інженерна академія

  28. Запорізький державний технічний університет

  29. Запорізький державний університет

  30. Кам’янець-Подільська академія аграрних наук

  31. Кам’янець-Подільський державний педагогічний університет

  32. Кіровоградський державний педагогічний університет імені В. Винниченка

  33. Київський національний університет імені Тараса Шевченка

  34. Київський державний університет технологій та дизайну

  35. Київський національний авіаційний університет

  36. Київський національний університет будівництва і архітектури

  37. Краматорський технологічний інститут

  38. Кримський державний гуманітарний інститут

  39. Луганський державний педагогічний університет імені Тараса Шевченка

  40. Луцький державний технічний університет

  41. Львівський національний університет імені Івана Франка

  42. Національний аерокосмічний університет імені М.Є. Жуковського “ХАІ”

  43. Національний гірничий університет

  44. Національний медичний університет імені О.О. Богомольця

  45. Національна металургійна академія України

  46. Національний педагогічний університет імені М.Драгоманова

  47. Національний технічний університет України “Політехнічний інститут”

  48. Національний університет “Львівська політехніка”

  49. Національний університет харчових технологій (НУХТ)

  50. Ніжинський державний педагогічний університет імені Миколи Гоголя

  51. Одеська державна академія харчових технологій

  52. Одеський державний економічний університет

  53. Одеська державна академія холоду

  54. Одеська державна морська академія

  55. Одеський національний морський інститут

  56. Одеський державний політехнічний університет

  57. Одеський національний університет імені І.І. Мечникова

  58. Південно – український державний педагогічний університет імені К.Д.Ушинського

  59. Полтавський державний технічний університет імені Юрія Кондратюка

  60. Полтавський державний педагогічний інститут імені В.П. Короленка

  61. Приазовський державний технічний університет

  62. Прикарпатський університет імені Василя Стефаника

  63. Рівненський державний технічний університет

  64. Севастопольський національний технічний університет

  65. Слов’янський державний педагогічний університет

  66. Сумський державний педагогічний університет імені А.С. Макаренка

  67. Східноукраїнський національний університет

  68. Таврійський національний університет імені В.І. Вернадського

  69. Тернопільська академія народного господарства

  70. Ужгородський державний університет

  71. Український державний лісотехнічний університет

  72. Український державний університет водного господарства та природокористування

  73. Український державний морський технічний університет імені Адмірала Макарова

  74. Українська інженерно-педагогічна академія

  75. Український транспортний університет

  76. Харківська державна академія міського господарства

  77. Харківський державний економічний університет

  78. Харківський державний технічний університет будівництва та архітектури

  79. Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна

  80. Херсонський державний педагогічний університет

  81. Черкаський інженерно – технологічний інститут

  82. Чернігівський державний педагогічний університет імені Т.Г. Шевченка

  83. Чернівецький державний університет імені Ю.М. Федьковича


НАЙВАЖЛИВІШІ РЕЗУЛЬТАТИ

З МАТЕМАТИКИ, ОТРИМАНІ В АКАДЕМІЧНИХ УСТАНОВАХ

ТА ВИЩИХ НАВЧАЛЬНИХ ЗАКЛАДАХ УКРАЇНИ

У 2000 – 2002 РОКАХ




1. ТЕОРІЯ ФУНКЦІЙ
Усього в дослідженнях з теорії функцій брали участь 28 докторів та 127 кандидатів фізико-математичних наук.

Провідне місце в цих дослідженнях займають відомі наукові школи, які були засновані Н.С.Берштейном, С.М.Нікольським, М.П.Кравчуком, В.К.Дзядиком, М.П.Корнійчуком і зараз працюють в Інституті математики НАН України під керівництвом академіка НАН України М.П. Корнійчука, чл.-кор. НАН України О.І.Степанця, в Дніпропетровському національному університеті під керівницт­вом чл.-кор. НАН України В.П. Моторного, в Математичному відділенні ФТІНТ під керівництвом чл.-кор. НАН України Й.В.Островського, професора Г.М.Фельдмана.

Дослідження з теорії функцій проводились в ІПММ НАН України, ІППММ ім. Я.С.Підстригача НАН України, Київському національному університеті імені Тараса Шевченка, Дніпродзержинському державному технічному університеті, Волинському державному педагогічному університеті, Кіровоградському держав­ному педагогічному університеті, Кам’янець-Подільському державному педагогі­чному університеті, Київському державному університеті технологій та дизайну, Чернівецькому національному університеті ім. Ю.Федьковича, Донецькому наці­ональному університеті, Слов'янському державному педагогічному університеті, Національній металургійній академії України, Ужгородському національному університеті.

Вченими ІМ НАН України, Дніпропетровського державного університету та Дніпродзержинського державного технічного університету зроблено суттєвий внесок у розвиток теорії наближення функцій однієї та багатьох змінних поліно­мами та сплайнами.

Розглянуті задачі, пов'язані з оцінкою норм похідних періодичних і непері­одичних функцій, заданих як на всій осі, так і на певному її відрізку. Теоретичні дослідження підтверджуються конкретними результатами.

Для різних класів гладких функцій, заданих на відрізку [-1, 1], одержано оцінки наближення алгебраїчними многочленами з врахуванням положення точки на цьому відрізку, які для деяких класів функцій є асимптотично точні (напри­клад, для класів функцій, що є інтегралами дробового порядку), або неможливо поліпшити одночасно для усіх модулів неперервності (наприклад, у випадку кла­сів функцій з заданою мажорантою модуля неперервності -ї похідної).

Розроблені принципово нові методи доведення нерівностей типу Колмого­рова для функцій однієї і багатьох змінних. Такі нерівності мають важливе зна­чення для багатьох розділів математики (теорія наближень, теорія вкладення, не­коректні задачі та ін.). На базі розроблених методів одержано ряд нових нерів­ностей, які застосовані для розв'язання ряду екстремальних задач аналізу.

Однією з класичних задач теорії апроксимації функцій є відновлення функ­ції по її значенням в рівновіддалених вузлах. В останній час широке розповсю­дження отримали методи, які базуються на обчислювальному аспекті, такі як wavelets або методи, побудовані на поповненні даних. Крім того, задача віднов­лення функцій по середнім значенням виникає при дефрагментації зображення, наприклад, при покращенні якості фотографії при сильному збільшенні оригіналу, при пошаровій передачі зображення та інше.

Було розроблено нові апроксимаційні методи відновлення функцій по інфо­рмації про їх середні значення на прямокутному розбитті, та на їх основі розроб­лені методи двомірного wavelets-стиску інформації. Крім цього, на їх основі по­будовані алгоритми передачі та відновлення інформації по шарам, коли кожний наступний шар в 16 разів покращує якість відновлення, але при цьому містить значно менше одиниць інформації, ніж методи, побудовані на аналогічній основі, які знімають інформацію в сітці густіше в два рази.

На основі розроблених методів написані алгоритми та програми, які дозво­ляють досить точно відновлювати складні функції та поверхні. Алгоритми замо­дельовані та перевірені на тестових задачах.

Отримані теоретичні результати можуть бути використані в теорії набли­ження, в комп'ютерній графіці, розроблені алгоритми стиску можуть бути засто­совані до зв'язку.

Вченими ІМ НАН України, Донецького національного університету, Сло­в'янського державного педагогічного університету, Національної металургійної академії України розроблено математичний апарат, що дозволяє розв’язати екст­ремальні задачі теорії наближень для класів згорток сумовних функцій з періоди­чними ядрами, коефіцієнти Фур’є яких можуть бути, взагалі кажучи, довільними дійсними числами. За допомогою цього апарату розв’язано низку екстремальних задач теорії наближень і, зокрема, встановлено асимптотичні рівності для верхніх меж відхилень сум Фур’є для таких класів.

Введено до розгляду лінійні простори і досліджено їх апроксимаційні влас­тивості. Знайдено точні значення найкращих наближень, поперечників та -членних наближень -еліпсоїдів в просторах . Цим самим, зокрема, було розпо­всюджено на довільні відомі при відповідні результати А.М.Колмогорова-К.І.Бабенка-В.М.Тихомирова.

Розв'язана відома задача Колмогорова-Нікольського для класів періодичних функцій, що мають узагальнему похідну, підпорядковану певному модулеві непе­рервності, і методів Валле-Пуссена у випадку класів з малою, обмеженою гладкі­стю, нескінченно диференційованих, в тому числі для аналітичних функцій. Оде­ржані більш точні розв'язки задачі Колмогорова-Нікольського для узагальнених методів Зигмунда на класах періодичних функцій з малою гладкістю. Одержані асимптотичні рівності, що забезпечують розв'язок задачі Колмогорова-Нікольсь­кого для класів -інтегралів періодичних функцій багатьох змінних і прямокут­них методів підсумовування рядів Фур'є. Ці результати відкривають цілий напря­мок досліджень апроксимативних властивостей класів -інтегралів функцій бага­тьох змінних за допомогою лінійних методів. Одержані розв'язки задачі Кол­могорова-Нікольського для операторів Валле-Пуссена на класах неперервних фу­нкцій, заданих на дійсній осі.

В Національній металургійній академії України розроблено математичне моделювання процесів виплавки феросплавів, методи нечіткого управління, гене­тичних алгоритмів настройки нейромережевих і адаптивних моделей металургій­них процесів.

В ІПММ НАН України одержано оцінку зверху -сильних сферичних серед­ніх рядів Фур'є, обмежених майже скрізь на -вимірному торі функцій, у граничному випадку збіжну з відомою точною оцінкою К.І.Бабенка.

В ІМ НАН України успішно проводились дослідження з теорії наближення локально сумовних функцій цілими функціями експоненціального типу. Було розроблено математичний апарат для розв’язування екстремальних задач теорії наближення цілими функціями експоненціального типу класів локально сумовних функцій, що задані на дійсній осі і які є не обов’язково періодичними.

В ІМ НАН України, ММЦ НАН України, Київському національному уні­верситеті, Національному педагогічному університеті побудовано теорію моно­тонного і кусково-монотонного наближення функцій многочленами.

Для неперервної на відрізку функції, що змінює свою опуклість у скінче­ному наборі точок, побудована послідовність алгебраїчних многочленів, які змі­нюють свою опуклість у тих самих точках що і функція, і поточково наближають її зі щвидкістю другого модуля неперервності цієї функції. Доведено, що швид­кість поточкового наближення, у цьому випадку, неможливо збільшити до певного порядку модуля неперервності. Побудовано контр-приклад, який вказує що в отриманій поточковій оцінці, сталу, яка залежить від мінімальної відстані між то­чками зміни опуклості, неможливо замінити абсолютною. Побудовано гладкий сплайн не вище другого ступеня, який наближає функцію на порядок гірше, ніж у класичній теорії наближень без обмежень, але є кусково опуклим так само як і функція.

В ІМ НАН України, Київському державному університеті технологій та ди­зайну встановлено умови інтегровності кратних тригонометричних рядів типу умов Боаса-Теляковського.

В ІПММ НАН України розроблена теорія ВМО-квазірегулярних відобра­жень, включаючи теореми спотворення, збіжності, існування та зображення, усу­вності ізольованих особливостей, принцип відображення.

Завершено побудову центральної частини теорії просторових відображень зі скінченним спотворенням довжини.

Вченими ІМ НАН України досліджено низку проблем з оптимізації набли­жених методів розв’язку операторних рівнянь. Побудовано оптимальні адаптивні прямі методи, при яких наближений розв’язок шукається у підпросторі, що зале­жить від оператора конкретного рівняння.

В Дніпропетровському національному університеті та Дніпродзержинсь­кому технічному університеті проведені дослідження з побудови асимптотично оптимальних вагових квадратурних формул на класах диференційовних функцій. Для неперервної вагової функції побудований алгоритм оптимального віднов­лення інтегралу. У випадку вагової функції з особливістю отримані оцінки знизу.

В Кам’янець-Подільському державному педагогічному університеті одер­жано ряд нових результатів, що стосуються задач найкращої одночасної опуклої апроксимації кількох елементів опуклими множинами з додатковими обмежен­нями.

В ІППММ НАН України, Ужгородському національному університеті по­будовано теорію гіллястих та інтегральних ланцюгових дробів.

Побудовано розвинення відношення гіпергеометричних функцій Аппеля і Лаурічеллі гіллясті ланцюгові дроби, досліджено збіжність отриманих дробів, встановлено оцінки похибок апроксимацій похідними дробами, застосовано апа­рат гіллястих ланцюгових дробів для аналітичного продовження функцій.

Досліджені задачі інтерполяції функцій ланцюговими дробами та їх уза­гальненнями.

Науковцями Математичного відділення ФТІНТ НАН України розвивався напрям, пов’язаний з теорією аналітичних функцій та її застосуванням до функці­онального аналізу і теорії ймовірностей.

У Чернівецькому державному університеті проводились дослідження влас­тивостей лінійних операторів у просторах аналітичних функцій, а також дослі­дження нарізно неперервних відображень.

Описано множини точок розриву нарізно неперервних функцій на добутках метризовних просторів та коливань таких функцій.
2. КОМПЛЕКСНИЙ АНАЛІЗ
В дослідженнях з комплексного аналізу та теорії потенціалу брали участь 20 докторів і 41 кандидат наук.

Провідне місце в цих дослідженнях займають відомі наукові школи, які були засновані М.О.Лаврентьєвим, Л.І.Волковоським, Б.Я.Лєвіним, Г.Д.Суворовим, А.А.Гольдбергом і які зараз працюють в Інституті математики НАН України під керівництвом професорів П.М.Тамразова, Ю.Ю.Трохимчука, в Інституті прикладної математики і механіки НАН України під керівництвом професора В.Я.Гутлянського, в Львівському національному університеті під керівництвом професора М.М.Шеремета, в Математичному відділенні ФТІНТ ім. Б.І.Вєркіна НАН України під керівництвом член-кор. НАН України Й.В.Островського.

Дослідження з комплексного аналізу проводились також в Харківському наці­ональному університеті ім.В.Н.Каразіна, Житомирському державному педа­гогічному університеті ім.Ів.Франка.

В ІМ НАН України розв’язані складні актуальні проблеми теорії аналітич­них та субгармонічних функцій, конформних, голоморфних та інших відобра­жень, теорії усунення особливостей, некомпактні варіаційні та екстремальні про­блеми. Отримано істотні результати в теорії сингулярних похідних операторів. Побудовано теорію похідних операторів відображень скінченновимірних просто­рів. Одержані глибокі результати в тонкій теорії потенціалу та теорії тонко голо­морфних функцій.

Одержано істотні посилення та узагальнення класичних теорем про грани­чні значення мероморфних функцій та екстремальних результатів про відобра­ження на області, що не перетинаються.

Побудовано контрприклад до гіпотези про лінійну опуклість необмежених локально лінійно опуклих областей з гладкою межею.

Знайдено зв'язок проблеми усунення особливостей з існуванням відкритих відображень ніде не щільних множин на множини вищої корозмірності.

Основні досягнення останнього періоду в ІПММ НАН України були пов’язані з установленням нових глибоких зв’язків між квазіконформними відо­браженнями, теорії потенціалу і теорії функцій.

Встановлено оцінки зростання квазіконформних відображень на площині в термінах інтегральних середніх радіальної та кутової дилатацій. Доведено доста­тні умови спрямленості квазіконформних кривих. Встановлено нові теореми існу­вання і єдиності гомеоморфізмів рівняння Бельтрамі з вирожденням.

Школа з комплексного аналізу є найпотужнішою математичною школою у Львівському національному університеті. Наукові дослідження асимптотичних властивостей цілих, мероморфних, гармонійних та -субгармонійних функцій, здійснювані учасниками цієї школи, добре відомі у всьому світі.

Побудовано теорію регулярного зростання цілих функцій нульового по­рядку, що доповнює теорію цілком регулярного зростання цілих функцій скінчен­ного порядку в розумінні Левіна-Пфлюгера. Побудовано теорію аналітичних фун­кцій обмеженого -індексу для довільних областей. Доведено справедливість гіпо­тези Ліндельофа поставленої близько 100 років назад для дзета-функції Рі­мана поза множиною нульової лінійної щільності. Побудовано теорію Вімана-Ва­лірона для регулярно збіжних функціональних рядів цілих функцій. Отримано то­чне описання величини виняткових множин у співвідношеннях між максимумом і мінімумом модуля та між максимумом модуля і максимальним членом цілих фун­кцій, заданих лакунарними рядами.

В Математичному відділенні ФТІНТ НАН України продовжено вивчення аналітичних та асимптотичних властивостей розподілів Лінника.

В Житомирському державному педагогічному університеті ім І.Франка прово­дилося дослідження гіперкомплексних узагальнень інтеграла типу Коші. Доведена теорема про неперервне продовження інтегралу типу Коші на зами­кання областей та формули для його межових значень. Ця теорема узагальнює ві­домий результат класичного комплексного аналізу. У випадку кусково-гладкої кривої доведено теорему типу теореми Племеля-Привалова про поведінку інтег­рала типу Коші у просторах Гельдера. Для вектор-функцій побудовано інтеграл типу Коші і доведено для нього теорему про його продовження.




  1. Достарыңызбен бөлісу:
  1   2   3   4   5




©kzref.org 2023
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет