Найважливіші результати з математики

ФУНКЦІОНАЛЬНИЙ АНАЛІЗ

В дослідженнях з функціонального аналізу брали участь 34 доктора та 71 кандидат наук.

Провідне місце в цих дослідженнях займають відомі наукові школи, які були засновані М.Г.Крейном, Н.І.Ахієзером і які зараз працюють в Інституті ма­тематики НАН України під керівництвом академіків НАН України Ю.М.Березанського, І.В.Скрипника, член-кор. НАН України М.Л.Горбачука, Математичному відділенні ФТІНТ НАН України під керівництвом академіка НАН України В.О.Марченка, Львівському національному університеті під керів­ництвом проф. В.Е.Лянце.

Дослідження з функціонального аналізу проводились в ІПММ НАН Укра­їни, ІППММ НАН України, Харківському національному університеті ім.В.Н.Каразіна, Таврійському національному університеті імені В.І.Вернадського, Одеському державному університеті ім. І.І.Мечнікова, Черні­гівському державному педагогічному університеті ім.Т.Г.Шевченка, Східноукра­їнському національному університеті, Донецькому державному університеті, Ка­м'янець-Подільському державному педагогічному університеті, Кіровоградському державному педагогічному університеті імені Володимира Винниченка, Південно-українському державному педагогічному університеті ім. К.Д.Ушинського, Харківській держа­вній академії міського господарства, Одеській державній академії харчових тех­нологій.

Вченими ІМ НАН України досліджено теорію узагальнених функцій нескін­ченного числа змінних і застосовано цю теорію до вивчення нескінченноча­сткових систем математичної фізики.

Розвинута спектральна теорія якобієвих полів і на її основі побудоване узага­льнення хаотичного представлення для Гамма-поля оператора і відповідного стохастичного процесу. Було відомо, що для Гамма-процесу беспосереднє уза­гальнення хаотичного представлення неможливе. В запропонованому підході від­повідні компоненти розкладу виражаються через багатовимірні стохастичні інтег­рали, а деякі з них мають вигляд кратних стохастичних інтегралів, як у класич­ному випадку броунівського руху.

Вченими ІМ НАН України, ІППММ НАН України, Чернігівського педагогіч­ного університету досліджено спектральну теорію звичайних диферен­ціальних операторів з необмеженими операторними коефіцієнтами та вивчено відповідні крайові задачі.

Розроблено підхід до дослідження сингулярно збурених самоспряжених опе­раторів на основі збурення білінійних форм. Отримані умови виникнення вла­сних значень в спектральних лакунах основного оператора. Розглянуто оператор Шредінгера із загальним потенціалом нульового радіуса.

Досліджено спектральні властивості операторів Шредінгера із сингуляр­ними потенціалами та еліптичних задач зі спектральним параметром у граничних умовах.

Вченими ІМ НАН України, ФТІНТ НАН України, Львівського національ­ного університету побудовано спектральну теорію диференціальних операторів із сингулярним потенціалом.

Доведені теореми існування і єдиності в обернених спектральних задачах зі сингулярними потенціалами. Побудовано розвинення за власними елементами диференціально-граничних операторів у просторі вектор-функцій. Встановлено умови замкненості та щільної визначеності певних класів збурень додатно визна­ченого оператора, що діє в гільбертовому просторі.

Знайдена явна конструкція сингулярно збуреного оператора з наперед зада­ним точковим спектром і відповідними власними функціями.

В ІППММ НАН України, Львівському, Таврійському, Донецькому, Східноук­раїнському національних університетах зроблено суттєвий внесок у роз­виток теорії розширень симетричних операторів.

Отримані принципово нові результати в теорії максимальних акретивних і секторіальних розширень секторіальних операторів. Надані застосування до теорії граничних задач для диференційних операторів.

Отримано опис максимальних ідеалів алгебри аналітичних функцій, симетри­чних відносно підстановки базису на одиничній кулі простору , неперервних на границі.

Описано максимальні інваріантні підпростори операторів зсуву на просто­рах типу Харді аналітичних функцій на одиничній кулі гільбертового простору. Отримано застосування в теорії симетричних просторів Фока.

В ІМ НАН України, Харківському національному університеті досліджені зобра­ження класів *-алгебр обмеженими та необмеженими операторами та наведені за­стосування до задач аналізу теорії операторів та математичної фізики.

Вивчені зображення *-алгебр, що залежать від параметрів. Для *-алгебри, що породжена лінійно зв'язаними ортопроекторами, наведено точний опис мно­жини значень параметра, при яких існує хоча б одне зображення. Для точок дис­кретної серії описані всі зображення. Знайдено зв’язок цих алгебр з алгебрами Темперлі-Ліба та відповідними застосуваннями в топології.

В ІМ НАН України, ІПММ НАН України розроблено теорію ступеня щільно заданих нелінійних операторів класу у банахових просторах. Дове­дена формула індексу критичної точки, дані застосування до дослідження нелі­нійних граничних задач із швидко-зростаючими коефіцієнтами. В ІПСА НАН України розроблено методику дослідження операторних включень і варіаційних нерівностей з многозначними відображеннями типу в рефлексивних банахо­вих просторах. Зокрема, для варіаційних нерівностей з многозначними відобра­женнями запропоновано і реалізовано метод штрафних операторів. Запропоно­вано метод дослідження операторних включень з щільно відзначеними відобра­женнями, та метод екстремальної регуляризації частково некоерцитивних нелі­нійних граничних задач для рівнянь з частинними похідними.

В Приазовському державному технічному університеті розглянутий зв'язок між спектральними та осциляційними властивостями диференціальних рівнянь з обмеженими операторними коефіцієнтами. Осциляційна теорема Штурмана-Ліу­вілля поширена на випадок диференціальних рівнянь довільного парного порядку на скінченному і нескінченному інтервалі. У просторі вектор-функцій одержано узагальнення теорем порівняння і переміжності, а також факторизаційних теорем. Встановлений аналог осциляційної теореми для дискретних рівнянь в лакуні не­перервного спектру рівнянь довільного порядку. Результати, одержані для нескін­ченних систем, у випадку застосування їх до скінченних систем або скалярних за­дач, виявляються не менш, а іноді більш точними, ніж відомі для цих випадків. Деякі результати виявляються новими навіть в скалярному та інших спеціальних випадках.

В Південноукраїнському державному педагогічному університеті ім. К.Д.Ушинського розроблено теорію строго регулярних - внутрішніх матриць - функцій та її застосування до проблем інтерполяції оберненим проблемам гармо­нічного аналізу. Отримані інтегральні оцінки норм резольвент в спектральній тео­рії несамоспряжених операторів.

В Харківській державній академії міського господарства отримані принци­пові результати з теорії рядів у банахових просторах, їх умовної та безумовної збіжності.

В Одеській державній академії харчових технологій виконані дослідження по включенню степеневої проблеми моментів Гамбургера до спектральної теорії канонічних систем. Досліджені лінійні співвідношення, породжені канонічним ди­ференціальним рівнянням фазової розмірності два і розклад за власними функціями.

В ІМ НАН України розвинуто теорію диференціальних рівнянь над локальним полем додатної характеристики з похідними Карліца і регулярною особливістю. Серед таких рів­нянь - аналоги рівняння для степеневої функції, рівнянь типу Ейлера та Фукса, гі­пергеометричне рівняння Такура. Розв'язано поставлену Такуром проблему про можливий характер особливостей розв'язків введеного ним гіпергеометричного рівняння.

Провідне місце в цих дослідженнях займають відомі наукові школи, які були засновані М.М.Боголюбовим і Ю.О.Митропольським і які зараз працюють в Інституті математики НАН України під керівництвом Ю.О.Митропольського і А.М.Самойленка і в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка під керівництвом чл.-кор. НАН України М.О.Перестюка.

Дослідження з цієї теорії також виконуються в Міжнародному математичному центрі НАН України, Київському національному педагогічному університеті імені М. П. Драгоманова, Ніжинському державному педагогічному університеті, Одеському національному університеті ім. І.І.Мечнікова, ІППММ ім. Я. С. Підстригача НАН України, Чернівецькому національному університеті ім. Ю. Федьковича, Рівненьському державному технічному університеті, Кам’янець-Подільському, Слов'янському державних педагогічних університетах, Дніпропетровському національному університеті, Кіровоградському державному педагогічному університеті ім. Володимира Винниченка, Українському державному університеті водного господарства та природокористування.

У рамках цих досліджень в ІМ НАН України було розроблено теорію збурення гладких інваріантних торів динамічних систем та метричну теорію звідності лінійних квазіперіодичних та майже періодичних систем.

Досліджено проблему локальних координат гладкого -вимірного інваріантного тору динамічної системи в евклідовому просторі в розмірностях, пов'язаних нерівністю . Вказано мінімальну кількість доповнюючих до даної динамічної системи диференціальних рівнянь, необхідну для введення локальних координат. Розглянута задача доповнюваності періодичного репера до періодичного базису, а саме вказані достатні, а в найпростішому випадку і необхідні, умови такої доповнюваності.

Встановлено умови існування інваріантних торів лінійних розширень динамічних систем, що мають прямокутну матрицю похідних при нормальних змінних.

В ІМ НАН України, Національному педагогічному університеті імені М. П. Драгоманова, Чернівецькому національному університеті та Кіровоградському педагогічному університеті створено теорію асимптотичного інтегрування вироджених сингулярно збурених систем.

Досліджено нетерові крайові задачі для систем диференціальних рівнянь з сингулярним збуренням.

Розвинено метод інтегральних многовидів для сингулярно збурених диференціально-функціональних рівнянь.

Розроблено новий метод побудови рівномірно придатного асимптотичного розв'язку систем сингулярно збурених диференціальних рівнянь з точками звороту.

В Одеському державному університеті обґрунтовано алгоритми методу усереднення систем диференціальних і інтегро-диференціальних рівнянь, диференціальних включень та квазідиференціальних рівнянь.

В ІМ НАН України та Рівненьському державному технічному університеті встановлені умови стійкості, асимптотичної стійкості та глобальної стійкості траєкторій нелінійних динамічних систем, які описуються диференціальними, різницевими та диференціально-функціональними рівняннями.

Отримано критерій глобальної асимптотичної стійкості єдиного положення рівноваги неавтономних нелінійних скалярних функціонально-диференціальних рівнянь.

В ІМ НАН України та Чернівецькому університеті ім. Ю. Федьковича встановлено рівномірні оцінки осциляційних інтегралів, за допомогою яких обґрунтовано різні схеми усереднення для багаточастотних коливних систем.

В ІМ НАН України, ІППММ ім. Я. С. Підстригача НАН України, Київському та Дніпропетровському національних університетах розроблено математичну теорію неоднорідних структур в консервативних та дисипативних нелінійних динамічних системах на основі спектральних, диференціально-геометричних та алгебраїчних методів досліджень.

Отримано нові результати щодо експоненціальної дихотомії і слабкої регулярності на всій осі та на півосях систем лінійних диференціальних рівнянь. Доведено теореми про існування функцій Гріна лінійних розширень динамічних систем на торі.

Розроблені методи синтезування періодичних режимів у системах з перемінною структурою. Сформульовано зворотні задачі теорії динамічних систем у мінімаксній постановці та запропоновані методи їх розв'язку.

В Чернівецькому національному університеті ім. Ю.Федьковича, в Українському державному університеті водного господарства та природокористування, Слов'янському державному педагогічному університеті проведені дослідження крайових задач.

Розвинено метод інтегральних многовидів для сингулярно збурених диференціально-функціональних рівнянь.

Досліджено нові класи крайових задач для багаточастотних систем з імпульсним впливом і систем із запізненням на підставі методу усереднення.

Отримано необхідні і достатні умови оборотності нелінійних диференціальних і різницевих операторів, що діють відповідно в просторах обмежених на числовій осі та на множині цілих чисел функцій, і розв'язано ряд задач про існування обмежених розв'язків нелінійних диференціально-різницевих, диференціальних рівнянь з імпульсним збуренням та рівнянь з максимумами.

В Міжнародному математичному центрі НАН України побудовано наближе­ний метод моделювання коливань пружних систем із зовнішньою однобічною вза­ємодією. Показано, що ця система описується особливим типом нелінійностей, який мають досить незвичні механічні властивості, зокрема, в околі резонансу. Показано, при яких співвідношеннях змін неоднорідностей системи вони сприяти­муть коливанням, а при яких - будуть обмежувати їх.

Провідне місце в цих дослідженнях займають відомі наукові школи, які були засновані С.Н.Бернштейном, Я.Б.Лопатинським, В.О.Марченко, С.Д.Ейдельманом, які зараз працюють в Інституті математики НАН України під керівництвом академіка НАН України І.В.Скрипника, чл.-кор. НАН України М.Л.Горбачука, професора С.Д.Ейдельмана, в Інституті прикладної математики і механіки НАН України під керівництвом академіка НАН України І.В.Скрипника, в Математичному відділенні ФТІНТ НАН України під керівництвом академіка НАН України В.О.Марченка і чл.-кор. НАН України Є.Я.Хруслова, в Чернівець­кому національному університеті під керівництвом професорів С.Д.Івасишена і М.І.Матійчука.

Дослідження з теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними про­водились також в ІПСА НАН України, ФМІ НАН України, Львівському, Хар­ківському національних університетах, Чернігівському державному педагогіч­ному університеті ім. Т.Г.Шевченка, Прикарпатському державному педагогіч­ному університеті ім. В.С.Стефаника, Вінницькому державному педагогічному університеті ім.М.Коцюбинського, Державному університеті “Львівська політех­ніка”, Дрогобицькому державному педагогічному університеті, Полтавському державному педагогічному інституті ім.В.Г.Короленка, Житомирському держав­ному педагогічному університеті ім. Івана Франка.

Вченими ІПММ, МВ ФТІНТ, ІМ НАН України, Київського Національного Університету, Вінницького державного педагогічного університету розроблялись методи дослідження лінійних та нелінійних граничних задач в перфорованих об­ластях, які виникають при моделюванні механічних та фізичних процесів в си­льно неоднорідних середовищах. Досліджено асимптотичну поведінку розв’язків диференціальних рівнянь з частинними похідними на риманових многовидах складної мікроструктури. Усереднено початково-крайову задачу Коші-Діріхле в перфорованій області для нелокального хвильового рівняння. Отримано асимпто­тичний розклад розв’язків нелінійних і параболічних рівнянь високого порядку в перфорованих областях. Досліджена рівномірна збіжність залишкового члена асимптотичного розкладу для нелінійної параболічної задачі.

В ІПММ, ІМ, ІПСА НАН України створено топологічні методи дослідження загальних нелінійних еліптичних і параболічних задач на основі ступеня відобра­ження нелінійних операторів монотонного типу. Розроблено метод зведення си­льно нелінійної еліптичної граничної задачі у негладкій області до операторного рівняння з операторами монотонного типу і введено для таких задач топологічну характеристику. Побудовано теорію ступеня щільно заданих нелінійних операто­рів монотонного типу та досліджено обчислення індексу критичних точок. Цим створено основу для вивчення різноманітних проблем теорії нелінійних гранич­них задач з швидко зростаючими коефіцієнтами.

В ІПММ НАН України встановлено апріорні оцінки існування та єдиність розв'язків задачі Коші-Діріхле для нелінійної еліптико-параболічної системи, структура якої та основні припущення мотивовані математичними моделями ди­фузійних процесів в електрично заряджених середовищах.

Встановлено точні оцінки поведінки розв'язків мішаних задач для різних кла­сів квазілінійних параболічних рівнянь довільного порядку в околі сингуляр­ного загострення граничних даних. Доведено існування невід'ємних узагальнених розв'язків задачі Коші для рівнянь тонких капілярних плівок з нелінійною конвек­цією та встановлено точні оцінки еволюції носіїв цих розв'язків.

В ІПММ, ІМ НАН України зроблено суттєвий внесок в дослідження про­блеми регулярності розв’язків нелінійних еліптичних і параболічних рівнянь.

Доведено існування ентропійних і слабких розв'язків задачі Діріхле для де­якого класу нелінійних еліптичних рівнянь вищого порядку з -даними. Встанов­лено нові достатні умови певної сумовності розв'язків нелінійних еліптичних рів­нянь з правими частинами з логарифмічних класів функцій.

У задачі Коші для нелінійних вироджених параболічних рівнянь з додат­ками типу джерел, які містять нелінійно невідому функцію та її градієнт, дове­дено умови існування та неіснування розв'язків, отримано умови компактифікації носіїв розв'язків.

Для параболічних дивергентних рівнянь другого порядку, що вироджуються на нескінченності, а також аналогічних певних сильно параболічних систем виве­дені апріорні оцінки слабких розв'язків, за допомогою яких встановлені класи іс­нування та єдиності розв'язку, і коректності слабкої задачі Коші.

Доведені нові апріорні оцінки розв'язків нелінійних еліптичних рівнянь дру­гого порядку з точковими особливостями і встановлені на їх основі точні умови усувних особливостей.

Встановлено точні умови на усувні особливості на многовиди для розв'язків нелінійних еліптичних рівнянь.

В ІПММ НАН України досліджено нелінійні задачі математичної фізики з вільними (невідомими) межами, що включає як класичні задачі з вільними ме­жами типу задач Стефана, так і задачі вироджених параболічних рівнянь, де неві­домою є межа носія розв’язків. У багатовимірній задачі з вільною межею для ви­родженого параболічного рівняння нелінійної фільтрації встановлено властивості гладкості розв'язків у залежності від властивостей початкових даних.

В ІПММ та ІППММ НАН України, Прикарпатському, Дрогобицькому держав­них педагогічних університетах розроблено нові методи дослідження гра­ничних задач для загальних (безтипних) диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами в обмежених областях. Досліджена коректність багатоточкових за­дач із кратними вузлами для гіперболічних і безтипних рівнянь зі сталими коефі­цієнтами.

В ІМ, ІППММ НАН України, Чернівецькому державному та Львівському національному університетах, Державному університеті “Львівська політехніка”, Чернігівському педагогічному університеті розроблені методи дослідження за­дачі Коші та загальних крайових задач для лінійних параболічних рівнянь з різ­ними особливостями. Побудовано класи коректності задач для різних еволюцій­них рівнянь і систем та варіаційних нерівностей в необмежених областях. Розро­блено методику дослідження багатопараметричних коефіцієнтних обернених за­дач для параболічних рівнянь у випадку залежності невідомих параметрів від ча­сової змінної; одним із застосувань розробленої теорії є розв’язання нелінійних задач дифузії з вільною межею. Вивчено лінійні параболічні крайові задачі з ви­родженнями і особливостями; побудована теорія граничних значень гладких у шарі розв’язків еволюційних рівнянь параболічного типу. Досліджена задача Со­болева для еліптичних і параболічних рівнянь і систем в повних шкалах просторів узагальнених функцій.

В ІМ НАН України, Полтавському державному педагогічному інституті роз­роблені теоретико-групові методи дослідження нелінійних рівнянь. Запропо­новано новий метод проведення групової класифікації диференціальних рівнянь з частинними похідними, за допомогою якого проведено групову класифікацію квазілінійних рівнянь еволюційного типу.

В ІМ НАН України, МВ ФТІНТ НАН України, Чернігівському педагогіч­ному університеті знайшли широкі застосування методи функціонального аналізу до дослідження спектральних задач та задач розсіяння і їх застосування до інтег­рування нелінійних рівнянь. Отримано нові асимптотичні формули для дискрет­ної частини спектру "м'якого" розширення додатного еліптичного оператора в обмеженій області. Описано спільний спектр сім'ї самоспряжених розширень си­метричного оператора в гільбертовому просторі та доведено, що спектр однови­мірного періодичного оператора Шредінгера з сингулярним потенціалом має зонну структуру, абсолютно неперервний і однорідно двократний.

У Львівському національному, Житомирському педагогічному університетах розроблено метод дослідження обернених задач для рівнянь та систем параболіч­ного типу, розроблено методику використання методу характеристики для дослі­дження обернених задач для гіперболічних рівнянь. Розв’язано ряд багатовимір­них задач розсіяння для гіперболічних диференціальних рівнянь з частинними по­хідними. Ці задачі мають прикладне значення і є складовою частиною методу оберненої задачі, що використовується для інтегрування нелінійних диференціа­льних рівнянь з частинними похідними.

Розроблені загальні методи дослідження нелінійних задач знайшли застосу­вання в ІМ НАН України та Чернівецькому державному університеті до задач ма­гнітної гідродинаміки та теплопружності.

Дослідження з математичної теорії динамічних систем проводилися в відомих наукових школах в Інституті математики НАН України під керівництвом академіка НАН України А.М.Самойленка та чл.-кор. НАН України О.М.Шарковського і в Математичному відділенні ФТІНТ НАН України під керівництвом В.Я.Голодця.

Вченими ФТІНТ НАН України вивчено ентропійні властивості квантових динамічних систем: знайдено ентропію для деяких моделей, вивчено квантові системи Колмогорова.

В ІМ НАН України розглянуто проблему прямого інтегрування інтегровних за Ліувіллем-Арнольдом динамічних систем за допомогою розвинутого ефективного аналітичного методу для знаходження відображення вкладення інтегрального підмноговиду в змінних Гамільтона-Якобі. Цей метод застосований до цілком інтегрованої гамільтонової динамічної системи Фокера-Планка, що має застосування в сучасній теорії багаточастинкових систем. Для одновимірних дволистих динамічних систем досліджено біфуркаційні діаграми для періодичних та квазіперіодичних траекторій, зокрема, які будуються за правилом Фарея. Доведено теореми про загальні властивості -граничних множин траєкторій деяких класів нескінченно вимірних динамічних систем і на цій основі доведено теореми про асимптотичну поведінку неперервних розв'язків різницевого рівняння x (t + 1) = f (x(t)) та розв’язків деяких граничних задач, що зводять до таких рівнянь. Описано поведінку неперервних відображень компактного простору на мінімальних центрах притягання та досліджено властивості таких відображень на мінімальних центрах притягання, пов’язані зі сталими та періодичними точками. Досліджено повну та часткову синхронізацію в системі дифузійно зв’язаних диференціальних рівнянь та глобально зв’язаних логістичних відображень.