Найважливіші результати з математики



бет3/5
Дата13.03.2018
өлшемі0.64 Mb.
#20595
1   2   3   4   5

7. МАТЕМАТИЧНА ФІЗИКА

В дослідженнях з теоретичних проблем математичної фізики брали участь 27 докторів і 64 кандидатів наук.

Провідне місце в цих дослідженнях займають відомі наукові школи, які були засновані М.М.Боголюбовим, Ю.О.Митропольським, О.С.Тарасюком, В.О.Марченко і які працюють в Математичному відділенні ФТІНТ ім..Б.І.Вєркіна НАН України під керівництвом академіків НАН України В.О.Марченка, Л.А.Пастура, член-кор. НАН України Є.Я.Хруслова, в Інституті математики НАН України під керівництвом академіка НАН України Ю.О.Митропольського, член-кор. НАН України Д.Я.Петрини, професора А.Г.Нікітіна, в Інституті теоретичної фізики ім..М.М.Боголюбова НАН України під керівництвом академіка НАН України О.С.Парасюка і професора А.У.Клімика.

Дослідження з математичної фізики проводились також в ІПММ НАН України, ІППММ ім.Я.С.Підстригача НАН України, Київському національному університеті імені Тараса Шевченка, Харківському національному університеті ім.В.Н.Каразіна, Львівському національному університеті імені Івана Франка, ФМІ НАН України, Полтавському державному педагогічному університеті ім..В.Г.Короленка, Украї­нській інженерно-педагогічній академії.

Вченими Математичного відділення ФТІНТ ім.Б.І.Вєркіна НАН України доведено універсальність локальної статистики власних значень випадкових ермі­тових матриць з унітарно-інваріантним розподілом ймовірностей. Розроблено ме­тод розв’язання задачі Коші для нелінійних еволюційних рівнянь з обмеженими даними, що не стабілізуються на нескінченності.

В Інституті математики НАН України отримано математично строге обгру­нтування границі Больцмана-Греда для виведення рівнянь Больцмана з рівнянь Боголюбова для нескінченної системи часток, що взаємодіють, як пружні кульки.

Вивчено спектр модельного гамільтоніана теорії надпровідності з додатко­вою взаємодією середнього поля. Показано, що в термодинамічній границі є дві вітки спектру із своїми основними та збудже­ними станами, на яких модельний гамільтоніан співпадає із апроксимуючим.

По­казано, що рівняння Каца для просторово-однорідної системи часток можуть бути одержані шляхом усереднення із просторово неоднорідної системи, яка керується певною стохастичною динамікою замість гамільтонової.

Розв’язано задачу Коші для дифузійної ієрархії, що описує броунівську динаміку лінійних осциляторів та плоских ротаторів у термодинамічній границі. Обчислені редуковані матриці густини у термодинаміч­ній границі при умові слабої взаємодії для заряджених частинок з взаємодією Че­рна-Саймонса.

Побудовано комулянтне представлення розв’язків задачі Коші ла­нцюжка рівнянь Боголюбова та двоїстого ланцюжка рівнянь. Визначено поняття дуального нерівноважного кластерного розкладу. Досліджена збіжність побудо­ваних кластерних розкладів у відповідних функціональних просторах.

Досліджена проблема математичного опису колективної еволюції пучків за­ряджених частинок в термінах “ефективної динаміки”. Для такої багаточастинко­вої класичної системи побудоване рівняння типу Шрьодінгера. Вивчено клас диференціальних операторів та одержано узагальнення формули Гауса-Остроградського в просторах конфігурацій нескінченного числа частинок. Для початкових станів, що є збуренням рівноважних станів, вперше доведено існування дифузійної динаміки нескінченного числа частинок, що взаємодіють за допомогою суперстабільного сингулярного в нулі потенціалу. Отримані умови існування і єдиності станів для квантових ангармонічних кристалів, а також доведено подавлення їх критичної поведінки за рахунок квантових ефектів.

В ІПММ та Інституті математики НАН України досліджено широкий клас нелінійних задач математичної фізики з вільними (невідомими) межами, класичні задачі з вільними межами типу задач Стефана. Отримано нові результати стосовно розв’язності таких задач у просторах вагових функцій. Запропоновано метод дослідження згаданих вище задач у негладких областях, що грунтується на отриманні коерцитивних оцінок для нового класу граничних задач зі старшими похідними за часом та просторовими змінними в граничних умовах.

Вченими Інституту математики та ІППММ ім.Я.С.Підстригача НАН Укра­їни, Київського національного університету імені Тараса Шевченка, Львівського національного університету імені Івана Франка та Полтавського державного педа­гогічного університету імені В.Г.Короленка, Української інженерно-педагогічної академії розвинуто нові операторно-функціональні та Лі–алгебраїчні методи до­слідження нелінійних диференціальних рівнянь математичної та теоретичної фі­зики. Завершена групова класифікація систем нелінійних рівнянь дифузії. Побу­довано незвідні представлення розширеної парасупергрупи Пуанкаре з нетривіа­льними центральними зарядами. Умовні симетрії високого порядку використано при дослідженні початкових задач для еволюційних рівнянь з частинними похід­ними. Запропоновано підхід до побудови диференціальних інваріантів однопара­метричних груп локальних перетворень в просторах довільної кількості незалеж­них та залежних змінних та досліджено їх зв'язок з інтегруванням систем рівнянь типу Рікатті.Запропоновано модифікацію стандартних алгоритмів групової кла­сифікації. Виконано групову класифіацію систем нелінійних рівнянь Лапласа, узагальнених рівнянь ейконала, нелінійних рівнянь Шрьодінгера з потенціалом, галілей-інваріантних еволюційних рівнянь. Класичний метод Лі, метод Q-умовних симетрій та метод додаткових породжуючих умов застосовано до побудови бага­топараметричних сімей точних розв'язків узагальненого рівняння Фішера. Отримано сім'ї нових точних розв'язків, зокрема, неліївських. Отримані розв'язки застосовано для розв'язання нелінійних крайових задач з нульовими умовами Ноймана. Проведене систематичне дослідження симетрійної редукції для SU(2) рівнянь Янга-Міллса і отримано ряд точних розв'язків цих рівнянь. Розвинено підхід, в основу якого покладена локальна калібровочна природа електромагніт­ного поля та його геометрична інтерпретація за допомогою поняття "паралель­ного переносу" операторів полів матерії в розшарованому просторі з внутрішньою "зарядовою" симетрією, де діє абелева калібровочна група U(1), в якому електро­магнітне поле розглядається як зв'язність, що визначає його кривину.

Вченими ІППММ ім.Я.С.Підстригача НАН України, Київського та Львівсь­кого національних університетів запропоновано та детально розроблено метод нелокальної редукції нелінійних динамічних систем, що задані за допомогою ди­ференціальних рівнянь з частинними похідними. Побудовані основи в теорії вкладення інтегральних многовидів цілком інтегровних гамільтонових систем на кодотичних симплектичних многовидах та теорія нелокальних редукцій динаміч­них систем на скінченновимірні функціональні підмноговиди. В термінах інваріа­нтів Васильєва досліджені співвідношення між локальними рухами Хабіро на ву­злах та операціями обернення і віддзеркалення вузлів. Вивчені геометричні влас­тивості інваріантів скінченного типу вузлів, які випливають з регулярних повер­хонь Зайферта. Доведено, що друга гамільтонова структура для нелінійної дина­мічної системи Каупа-Броера породжується коприєднаною дією центрально роз­ширеної напівпрямої суми алгебри Лі гладких векторних полів на колі на її спря­женому просторі. З використанням R-операторного підходу Семенова-Тян-Шан­ського побудовано бігамільтоновий суперкомфорний аналог системи Каупа-Бро­ера, знайдене відповідне матричне зображення Лакса.



8. ГЕОМЕТРІЯ І ТОПОЛОГІЯ

Усього в дослідженнях з геометрії і топології брали участь 14 докторів та 36 кандидатів наук.

Провідне місце в цих дослідженнях займають відомі наукові школи, які були засновані О.В.Погорєловим і які працюють в Математичному відділенні ФТІНТ НАН України під керівництвом професора Ю.А. Амінова і в Харківському наці­ональному університеті ім.В.Н.Каразіна під керівництвом чл.-кор. НАН України О.А.Борисенка.

Дослідження з геометрії проводилися також в Одеському державному уні­верситеті ім.І.І.Мечникова, Таврійському національному університеті імені В.І.Вернадського, Чернівецькому державному університеті ім.Ю.Федьковича, Черкаському державному технічному університеті.

Дослідження з топології та її застосувань проводилися в ІМ НАН України, ІППММ ім.Я.С.Підстригача НАН України, Київському національному універси­теті імені Тараса Шевченка, Львівському національному університеті імені Івана Франка, Прикарпатському університеті ім.В.С.Стефаника, Державному універси­теті «Львівська політехніка».

Вченими Математичного відділення ФТІНТ НАН України розв`язана проблема А.Д.Александрова, досліджені нелінійні деформації параболоїдальних оболонок. Вченими Харківського національного університету розвинуто теорію грасмано­вого образу многовиду, вивчено кривину Річчі та секційні кривини розшарування многовиду сталої кривини. В Одеському державному університеті вивчалися гео­дезичні відображення та геодезичні потоки на дотичних розшаруваннях. В Тав­рійському національному університеті одержано суттєві результати у вивченні ал­гебраїчних поверхонь з симетріями. В Черкаському державному технічному університеті отримано ряд результатів з теорії опуклих тіл та нові ізопараметри­чні нерівності.

Дослідження з топології в ІМ НАН України концентрувалися навколо теорії Морса та теорії динамічних систем на многовидах. Побудовано гомотопічні інваріанти ланцюгових комплексів гіль­бертових модулів над алгебрами фон - Неймана.Досліджено умови існування гармонічних функцій на ріманових поверхнях з заданим розподілом критичних точок. Доведено асферичність орбіт функцій Морса на поверх­нях під дією групи диффеоморфізмів. Отримана характеризація полярних відо­бражень проективного простору, яка використана для аксіоматики симплектичних геометрій. Досліджено характеристичні властивості динамічних систем з дискре­тним часом (далі д.с.), що допускають проекції на одометри. Зокрема, знайдено клас д.с. (так звані нерозкладні д.с.), які характеризуються тим, що в категорії всіх проекцій д.с. на одометри існує найбільший елемент. Доведено, що майже взає­мно-однозначні проекції на одометри допускають майже періодичні д.с. і тільки вони. Отримано нові результати в топологічній класифіації структурно стійких дискретних динамічних системах на компактних поверхнях. Побудовано низку інваріантів, що характеризують топологічний тип динамічних систем Купки-Смейла на компактних поверхнях. Доведене рівняння узгодженості між ізо­морфізмами когерентності та кокогерентності в категорії Хопфа, утвореної з екві­варіантних похідних категорій. Доведено, що моноїдальна категорія, яка утворена тензорними добутками кокатегорій, має об'єкти внутрішніх гомоморфізмів - кока­тегорій кодиференціалів.

У Львівському національному університеті імені Івана Франка розв'язано ці­лий ряд відкритих проблем з відомої книги "Open Problems in Topology", які здій­снили прорив в нескінченно-вимірній топології та дали змогу знайти нові нетри­віальні її застосування в функціональному аналізі, зокрема, геометрії банахових просторів. Розв'язано проблему метризовності компактних топологічних інверс­них напівгруп і доведено, що ця проблема незалежна від аксіоматики теорії мно­жин. Створено рамсеївську теорію розфарбування об'єктів, наділених симетрією, що дає відповідь на ряд відкритих проблем, поставлених І.В.Протасовим та ін. Досліджено властивості просторів σ - адитивних ймовірнісних мір, що дало змогу прояснити ряд патологій, що стосувалися просторів τ - гладких ймовірнісних мір. Розв'язано ряд проблем М.Ткаченка, які стосувалися ігор на топологічних групах.


9. ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ ТА МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА
В дослідженнях з теорії ймовірностей та математичної статистики брали участь 29 докторів та 63 кандидата наук.

Провідне місце в цих дослідженнях займають відомі наукові школи, які були засновані Б.В.Гнеденко, А.В.Скороходом, В.С.Королюком, Й.І.Гіхманом і які працюють зараз в Інституті математики НАН України під керівництвом ака­деміків НАН України В.С.Королюка, А.В.Скорохода, чл.-кор. НАН України М.І.Портенка, в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка під керівництвом чл.-кор. НАН України М.Й.Ядренка, В Інституті кібернетики НАН України під керівництвом академіка НАН України І.М.Коваленка, в Інсти­туті прикладної математики і механіки НАН України під керівництвом проф. Ю.М.Лінькова.

Дослідження з теорії ймовірностей та математичної статистики проводи­лись також в Національному технічному університеті України «Київський політе­хнічний інститут", Львівському національному університеті імені Івана Франка, Київському національному педагогічному університеті ім.М.П.Драгоманова.

Вченими ІМ НАН України та Київського університету розроблено методи дослідження асимптотичної поведінки випадково збурених динамічних систем, що описуються стохастичними диференціальними рівняннями. Доведено теорему існування розв'язку нескінченної системи стохастичних диференціальних рівнянь, яка описує поведінку нескінченної кількості взаємодіючих частинок.

В ІМ НАН України та Львівському національному університеті побудовано математичні моделі явища дифузії в середовищах з різного роду мембранами, що розташовані на деяких поверхнях (напівпрозорі мембрани, мембрани з липучими точками, еластичні мембрани, тощо). Побудовано стохастичне диференціальне рі­вняння для мірозначного дифузійного процесу в нескінченновимірному гільбер­товому просторі. Доведено існування та єдиність розв'язку такого рівняння. Дове­дено існування локального часу у мірозначного дифузійного процесу з сингуляр­ною початковою умовою в Rn . Побудовані еволюційні марковські мірозначні про­цеси і для них отримано опис однорідних функціоналів. Досліджено потоки, що породжені стохастичними рівняннями зі взаємодією. Одержано опис носія розпо­ділу таких потоків. Доведено абсолютну неперервність розподілу розв'язків сто­хастичних рівнянь із взаємодією. Досліджено абсолютну неперервність стаціона­рних мірозначних процесів, що породжені стохастичними рівняннями з взаємо­дією.

В ІМ НАН України, ІПММ НАН України та Київському національному уні­верситеті одержано ряд граничних теорем для стохастичних диференціальних рі­внянь.Одержано граничні теореми для розв'язків стохастичних рівнянь з нерегу­лярною залежністю від параметра, коли цей параметр прямує до нуля. Встанов­лено необхідні та достатні умови збіжностей розв'язків. При цьому граничний процес змінює свій тип. Запропоновано спосіб побудови стохастичних рівнянь на некомпатних диференційовних многовидах, що дозволяє одночасно враховувати вплив на регулярні властивості розв'язків параметрів нелінійності рівняння і гео­метричних характеристик багатовида.

В ІПММ НАН України розвинуто загальний метод дослідження асимптоти­чної поведінки різноманітних статистичних критеріїв на основі граничних теорем для логарифму відношення правдоподібності у випадку загальних статистичних експериментів. Доведено граничні теореми типу закона великих чисел, централь­ної граничної теореми та теореми про великі відхилення для логарифму відно­шення правдоподібності у задачах розрізнення статистичних гіпотез та оціню­вання невідомих параметрів для загальних семімартингалів.

В ІМ НАН України досліджені граничні функціонали для різниці неордина­рних процесів відновлення; знайдено в явному вигляді розподіли основних харак­теристик систем обслуговування типу G/G/1 з груповим надходженням заявок та груповим обслуговуванням.Запропоновано спосіб побудови стохастичних рівнянь на некомпактних диференційовних многовидах, що дозволяє одночасно врахову­вати вплив на регулярні властивості розв'язків параметрів нелінійності рівняння і геометричних характеристик многовида. Побудована пуасонівська апроксимація стохастичних однорідних адитивних функціоналів з напів-Марковськими пере­ключеннями. Мірозначні процеси Маркова, в яких маса переноситься стохастич­ним потоком з взаємодією, отримані як розв'язки рівнянь в гільбертовому прос­торі, що містять умовні розподіли. Досліджено розподіли перестрибкових функ­ціоналів для майже напівнеперервних процесів з незалежними приростами. Оде­ржано граничні розподіли цих функціоналів, коли рівень перестрибку x → 0 або x → ∞. Отримані асимптотичні розклади ймовірностей перебування процесів Мар­кова в областях, які з плином часу розростаються. Для мір Больцмана з додатньою кривизною отримана логарифмічна нерівність Соболева та доведено аналог теореми Ферніка, Хофмана-Йоргенсена та Леві. Знайдено достатню умову регулярності розподілу випадкових величин в термінах його узагальненої похідної. Побудовано стохастичний потік для квазидифузійного процесу на компакті.

В ІК НАН України досліджено нові класи задач неопуклого негладкого сто­хастичного програмування, одержано умови існування оптимального керування стохастичними системами з розподіленими параметрами, системами масового об­слуговування, розроблено асимптотичні методи аналізу рідкісних подій в сучас­них високонадійних системах.

10. АЛГЕБРА
В дослідженнях з алгебри брали участь 19 докторів і 52 кандидати наук.

Провідне місце в цих дослідженнях займають відомі наукові школи, які були засновані Д.О.Граве і які зараз працюють в Інституті математики НАН України під керівництвом професора А.В.Ройтера, В Київському національному університеті ім.Тараса Шевченка під керівництвом професорів Ю.А.Дрозда і В.І.Сушанського.

Дослідження з алгебри проводились також в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім.Я.С.Підстригача НАН України, Міжнародному матема­тичному центрі НАН України, Дніпропетровському національному університеті, Львівському національному університеті імені Івана Франка, Харківському націо­нальному університеті ім.В.Н.Каразіна, Ужгородському національному універси­теті, Волинському державному університеті ім. Лесі Українки, Сумському держа­вному педагогічному університеті ім.А.С.Макаренка, Слов'янському державному педагогічному інституті, Чернігівському державному педагогічному університеті ім.Т.Г.Шевченка, Луганському, Херсонському державних педагогічних універси­тетах..

В Інституті математики НАН України велись дослідження по застосуванню комбінаторно-гомологічних методів в теорії зображень. Ведеться побудова теорії зображень маркованого колчана, яка природним чином об'єднала теорію зобра­жень частково впорядкованих множин та теорію зображень колчанів. Одержано критерій ручності для певних класів маркованих колчанів: введено функцію, за допомогою якої охарактеризовано схеми (в тому числі розширені) Динкіна та графи Кокстера. Отримано опис різних класів груп за заданими системами їх під­груп. Знайдено оцінку числа ручних алгебр фіксованої розмірнсті. Описано не­розкладні зображення в'язки нескінченного числа напівланцюгів.

В Інституті прикладних проблем механіки і математики НАН України та Львівському національному університеті побудована теорія полів класів для полів алгебраїчних функцій від однієї змінної над псевдоскінченними за Аксом полями констант. Розпочата побудова теорії полів класів для кривих над n - вимірними за­гальними локальними полями. Розв'язана проблема Камілло про області головних ідеалів, над якими кожний модуь має максимальний підмодуль. Описані максима­льні ідеали в ультрадобутках нетерових V - областей. Розв'язана проблема топо­логізації зліченних алгебр. Встановлені умови існування унітальних дільників і факторизацій многочленних матриць та розв'язності відповідних матричних рів­нянь в термінах кратностей їх характеристичних коренів та степенів елементарних дільників. Розв'язана проблема М-еквівалентності в категорії вільних топологіч­них інверсних напівгруп.

В Дніпропетровському національному університеті завершено цикл дослі­джень властивостей узагальнено розв'язаних груп за властивостями їх фактор-груп.

В Київському національному університеті досліджено нескінченновимірні алгебри Лі, які розкладаються в суму своїх підалгебр з умовами нільпотентності та скінченності. Побудовано квантові аналоги для узагальнених модулів Верма деяких параболічних підалгебр у простих алгебрах Лі та афінних алгебрах Лі, узагальнені модулі Верма для тороїдальних алгебр Лі. Отримано нові результати структурного характеру про однорядні і квазіфробеніусові кільця. Запропоновано тополого-алгебраїчні підходи дослідження симетрій розбиттів.

В Харківському національному університеті побудовано функціональні та трикутні моделі для алгебр Лі лінійних несамоспряжених операторів. Побудовано некомутативний аналог схеми розсіяння Лакса-Філіпса на групах.

В Ужгородському національному і Херсонському державному педагогіч­ному університетах отримані фундаментальні результати в теорії зображення скі­нченних та лінійних груп над комутативними локальними кільцями та багатовимі­рних кристалографічних груп. Одержано опис скінченних груп з циклічними ко­мутантами власних підгруп, розкрито будову скінченних неабелевих p-груп з ко­мутантом порядку p всіх власних неабелевих підгруп. Вивчено вільні групи і кри­тичні групи многовиду груп, у яких централізатори інваріантні; дано опис реші­тки таких многовидів. Дано опис будови деяких надрозв'язних груп, що входять до класу нормально факторизуємих груп; досліджено узагальнені періодичні KJ-групи.

У Волинському державному університеті одержано конструктивний опис скінченних груп з метациклічними підгрупами непримарного індексу.

В Сумському державному педагогічному університеті вивчено клас лока­льно скінченних періодичних і локально розв'язних неперіодичних груп. В Черні­гівському державному педагогічному університеті досліджено групи з нормаль­ними нематециклічними підгрупами.

В Луганському державному педагогічному університеті імені Тараса Шев­ченка розроблені теорія напівгрупових комплексів із застосуваннями в класифіка­ції напівгруп ендоморфізмів алгебраїчних систем; теорія напівгрупових комплек­сів є глибоким узагальненням теорії групових пар з широкими межами застосу­вань в дискретній математиці і, зокрема, в алгебраїчній теорії автоматів, в матема­тичній теорії баз даних, тощо. Досліджені 0-когомології алгебраїчних систем та їх зображень, що суттєво розширює межі застосувань гомологічних методів класи­фікації математичних структур. Вивчені симетричні алгебри на фрактальних сис­темах та розроблені нові методи класифікації множин з дробовою розмірністю Хаусдорфа-Безиковича. Створена теорія біхевіористичних моделей дискретних систем в інформаційних просторах, в межах якої розроблено нові конструктивні методи синтезу та верифікації дискретних перетворювачів та динамічних систем.






Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5




©kzref.org 2022
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет