Найважливіші результати з математики

11. ОБЧИСЛЮВАЛЬНА МАТЕМАТИКА

В дослідженнях з обчислювальної математики брало участь 33 доктори та 69 кандидатів наук.

Провідне місце в цих дослідженнях мають наукові школи в Інституті кібер­нетики ім.В.М.Глушкова НАН України під керівництвом академіка НАН України І.В.Сергієнко, професорів В.К.Задираки, І.М.Молчанова, в Інституті проблем ма­шинобудування ім.А.М.Підгорного під керівництвом академіка НАН України В.Л.Рвачева, в Інституті математики НАН України під керівництвом чл.-кор. НАН України В.Л.Макарова.

Дослідження з обчислювальної математики проводилися також в Фізико-механічному інституті ім. Г.В.Карпенка, Київському національному університеті імені Тараса Шевченка, Львівському національному унівесритеті імені Івана Фра­нка, Державному університеті “Львівська політехніка”,Дніпропетровському наці­ональному університеті, Харківському державному економічному університеті, Національному аерокосмічному університеті ім. М.Є.Жуковського, Донбаському гірничо-металургійному інституті, Українській інженерно-педагогічній академії.

Вченими ІМ НАН України, Київського, Дніпропетровського національних університетах, Державного університету “Львівська політехніка” знайдені конс­труктивні представлення розв’язків диференціальних рівнянь першого та другого порядків з необмеженними операторними коефіцієнтами в Гільбертових та Бана­хових просторах. На основі цих представлень побудовані нові чисельні методи без насичення точності. Розроблені експотенційно збіжні методи паралельної дискретизації для еволюційних рівнянь першого порядку. При дослідженні скінченно-вимірної модифікації нестаціонар­ного ітерованого методу Тихонова доведено, що при зміні не тільки параметра ре­гуляризації, а й також рівняння дискретизації, досягається оптимальний порядок точності для широких класів операторних рівнянь І роду.Теоретично обгрунтовані деякі проекційно-ітераційні методи наближеного розв'язання екстремальних задач з обмеженнями у гільбертовому просторі. Розроблено та обгрунтовано метод по­будування оптимальних квадратур шляхом зведення до задачі оптимального роз­биття множин на підмножини з пошуком координат центрів цих підмножин.

В ІМ, ІК НАН України розроблені нові паралельні ітераційні методи і ви­вчені умови їхнього застосування, проведені теоретичні та імітаційні дослідження паралельних локально-асинхронних алгоритмів. Доведена збіжність паралельних асинхронних V-циклічних мультисіткових методів розв'язання крайових задач для диференціальних рівнянь другого порядку із змінними коефіцієн­тами, у тому числі для систем двох рівнянь з нелінійними крайовими умовами в складних трьохвимірних областях. Побудовані алгоритми, орієнтовані на реаліза­цію в нейронних обчислювальних середовищах. Досліджені структурні та функ­ціональні особливості рекурентних нейронних сіток для вирішення крайових задач математичної фізики локально-асинхронним багатосітковим методом. Запропоно­вана модель цифрового нейрона, яка базується на останніх досягненнях нейробіо­логії в галузі синаптичної взаємодії. Це дозволяє представити процес функціону­вання нейрона у вигляді множини паралельних процесів, що взаємодіють на рівні подій. За результатами досліджень створені програмні імітатори для моделювання тривимірних нейронних сіток, орієнтованих на вирішення крайової задачі Дири­хле та систем параболічних рівнянь.

В ІМ, ІППММ, ІК НАН України, Київському національному університеті імені Тараса Шевченка, Фізико-механічному інституті ім. Г.В.Карпенка, Харків­ському державному економічному університеті, Державному університеті “Львів­ська політехніка” створено методологію та розроблено комп’ютерні методи до­слідження властивостей машинних моделей базових задач обчислювальної мате­матики, в тому числі з наближеними даними. Узагальнено метод граничних інтег­ральних рівнянь на дослідження тривимірних статичних та динамічних задач тео­рії пружності для тіл із тріщинами та тонкими включеннями неканонічної форми. Проаналізовано статичну та динамічну концентрацію напружень в околі тріщин зі змінними кривинами контурів. Вивчено інерційні ефекти у тілах із тунельними криволінійними пружними тонкими включеннями. Запропоновано новий ітера­ційний метод розв'язку погано обумовлених систем лінійних алгебричних рів­нянь. Розроблено алгоритм і програмне забезпечення для розв'язку таких задач. Розроблено метод і пакет програм для розв'язання задач нестаціонарного дефор­мування багатошарових пластин і оболонок неканонічної форми в плані при дові­льних граничних умовах.

В ІК НАН України, Інституті проблем машинобудування ім. А.М.Підгорного, Націонльному аерокосмічному університеті ім. М.Є.Жуковського, Львівському національному університеті побудовані та теоре­тично досліджені алгоритми методу скінченних елементів для нестаціонарних за­дач теорії фільтрації, масопереносу, газової динаміки, волого-тепло-масопере­носу, теорії пружності, в тому числі для класів задач з розривними розв’язками. Розширено предметну область теорії R-функцій, розглянуто динамічні задачі тер­мопружності, задачі теорії дифракції термопружних хвиль на об'єктах некласичної форми, одержано розв'язки задач повзучості пластин складної форми, розв'язані змішані контактні задачі теорії пружності з використанням змішаного функціо­налу Рейснера, побудовано аналітичний вираз функції току для осесиметричної течії в каналах довільної геометричної форми, виконано моделювання екологіч­ного стану в різних регіонах України з урахуванням турбулентного руху в атмос­фері. Проведені дослідження проблеми наближення функцій в банахових просто­рах нескінченно диференційованих функцій. Встановлено, що для наближення одиночних куль компактно вкладених просторів Рум'є часткові суми узагальне­них рядів Тейлора, що побудовані для цих просторів є оптимальним за порядком апаратом наближення.

В ІМ НАН України, Львівському національному університеті імені Івана Франка, Дніпропетровському державному університеті, Фізико-механічному ін­ституті ім. Г.В.Карпенка, Українській інженерно-педагогічної академії на основі методу граничних інтегральних рівнянь побудовані ефективні чисельні методи розв’язування нестаціонарних задач математичної фізики в областях складної фо­рми.

Одержані результати по розвитку та широкому застосуванню методів інтер­лінації, інтерфлатації функ­цій в теорії та практиці наближення функцій багатьох змінних, при розв'язанні крайових задач для областей складної форми, в цифровій обробці сигналів, в комп'ютерній томографії тощо, а також по оптимізації методів розв’язання крайових задач математичної фізики для областей складної фо­рми шляхом зведення до систем звичайних інтегро-диференціальних рівнянь.

В Донбаському гірничо-металургійному інституті створено основи теорії арифметичних полів. Розглянуті питання дозволили отримати численні нові ре­зультати, які значно розширили можливості апарата дискретної математики і від­крили перспективи її розвитку у нових напрямках.
12. ПРОБЛЕМИ МАТЕМАТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ
В розробці теоретичних проблем математичного моделювання брали участь 27 докторів та 79 кандидатів наук.

Провідне місце в цих дослідженнях займають відомі наукові школи в Інсти­туті кібернетики ім. В.М.Глушкова НАН України під керівництвом академіка НАН України І.В.Сергієнка, чл.-кор. НАН України В.С.Дейнеки, чл.-кор. НАН України В.В.Скопецького, в Інституті прикладного системного аналізу НАН України і Міністерства освіти і науки України під керівництвом академіка НАН України М.З.Згуровського, в Центрі ма­тематичного моделювання ІППММ ім.. Я.С.Підстригача НАН України під керів­ництвом чл.-кор. НАН України Я.Й.Бурака, в Інституті математики НАН України під керівництвом чл.-кор. НАН України Ю.І.Самойленка

Дослідження з цих проблем проводилися також в ІМ і ІПММ НАН України, ІППММ ім. Я.С.Підстригача НАН України, Інституті проблем машинобудування ім.. А.М. Підгорного НАН України, Дніпропетровському національному універ­ситеті, Вінницькому, Приазовському державних технічних університетах, Одесь­кій міській державній академії, Запорізькому національному технічному універ­ситеті, Національній металургійній академії України.

В ЦММ при ІППММ НАН України пріоритетними були дослідження, що проводились в рамках наукової школи з проблем континуально-термодинамічного моделювання та оптимізації нелінійних локально-нерівноважних систем.

На основі енергетичного підходу та розкладу за тензорним базисом побудо­вана математична модель та система рівнянь для кількісного опису динамічних процесів в тонкостінних оболонках обертання з врахуванням інерційності як по­ступальної, так і обертальної форм руху. Досліджено спектр частот вільних коли­вань для обох форм руху та виявлено ефекти їх взаємозв’язку .

З використанням континуально-термодинамічного підходу до опису нерівноважних процесів в тілах з внутрі­шньою структурою сформульовано вихідні співвідношення моделі мікронапру­жень, дифузії і хімічних реакцій в насичених пористих середовищах. Процеси в окремих фазах описано в наближенні теорії твердих розчинів, а рівняння для тіла в цілому отримано методами просторового осереднення динаміки багатофазних середовищ. Оцінку параметрів проведено на прикладі бетону.

Розроблені підходи до моделювання процесів проникнення в грунт засобів за­хисту рослин, вивчені питання визначення гідрохімічних параметрів міграції речовин з експериментальних даних. Для конкретних дослідів проведено порів­няння чисельних і експериментальних даних.

Розроблено підхід для кількісного вивчення процесів дифузійного типу у ви­падково-неоднорідних тілах з використанням узагальнених функцій і функції Гріна відповідних задач для однорідних середовищ. Досліджено особливості дифузії в шаруватому обмеженому тілі у випадку концентрації прошарків біля по­стійного джерела та максимально віддаленого від нього.

В ІМ і ІК НАН України побудовані нові математичні моделі взаємодіючих фі­зико-механічних процесів в середовищах з включеннями , характеристики яких на декілька порядків відрізняються від відповідних параметрів основного середо­вища.

З метою вивчення механізму обертання рідких ядер планет досліджена струк­тура течії у шарі слабко в‘язкої рідини, обмеженої сферичними оболонками, що співосно обертаються з різними кутовими швидкостями. Виявлені властивості поля швидкостей течії у ядрі дозволили обґрунтувати можливість самозбудження магнітного поля планети.

В ІПСА розроблено моделі соціальних та економічних процесів перехідного періоду (модель процесу гіперінфляції, приватизації, інвестування при обмежених ресурсах), архітектуру системи підтримки прийняття рішень в економіці та соціа­льній сфері на основі моделей динаміки процесів перехідного періоду, алгоритмів оптимального керування, створено математичні методи прийняття рішень.

Проведені фундаментальні та прикладні дослідження з системного аналізу складних фізичних систем, які функціонують в багатьох часових масштабах. За­початковано, систематизовано і розвинено методи різнотемпових дискретних сис­тем керування багатовимірними процесами з роздільними рухами.

На основі аналізу техногенної та екологічної обстановки в Україні висвіт­лена необхідність на етапі проектування складних технічних виробів оцінки і мі­німізації ризику позаштатних та критичних ситуацій.

Запропоновано підхід до формування цільових функцій в системній задачі концептуальної невизначеності в умовах неоднорідності вихідної інформації і не­визначеностей різної природи. Підхід реалізується у вигляді багаторівневої ієрар­хічної системи моделей, побудова яких зведена до послідовності чебишевських за­дач наближення.

В Інституті проблем машинобудування НАН України розроблено алгоритми математичного моделювання фізичних полів в системах із джерелами енергії. Отримано аналітичні розв‘язки задач математичної фізики у вигляді функціона­льних рядів по базисних функціях, що побудовані з використанням регіонально-аналітичного методу.

Розроблено програмні комплекси, які дозволили створювати автоматизовані системи для комп‘ютерного моделювання та дослідження лінійних та нелінійних фізико-механічних полів в областях складної форми. Створені бази знань, що міс­тять в собі математичні моделі механічних полів, алгоритми, методи, конструкти­вні засоби теорії R-функцій, схеми лінеаризації, тощо.

В Дніпропетровському національному університеті виконано дослідження обернених задач математичної фізики, що виникають при математичному моде­люванні сучасних технологій обробки металів. Розроблено асимптотичний метод побудови розв‘язків диференціальних рівнянь з частинними похідними.

У Вінницькому державному технічному університеті проводиться ряд ґрун­товних досліджень математичних моделей процесів, що протікають в енергетичних та екологічних системах, інформаційно-вимірювальних систем та систем автома­тичного і автоматизованого керування цими процесами.

Принципово новим та результативним дослідженням є розробка моделей та законів управління якістю річкової води. В результаті проведеної ро­боти отримано ряд оптимальних законів управління якістю річкової води, які за­безпечують задану якість води в заданому річковому створі за рахунок регулю­вання обсягів скиду джерел стічних вод та їх якості. Також розроблено алгоритми синтезу закону управління з одночасним визначенням конкретних видів реальних засобів очищення стічних вод для реалізації цього управління.

В Одеській державній морській академії виконано математичне моделювання процесів вібра­ційного подрібнення, розподілу, змішування та ущільнення. Одержане диференці­альне рівняння для опису процесу тонкого вібраційного подрібнення і дано його розв‘язання при деяких припущеннях. Побудовані системи диференціальних рів­нянь з частинними похідними динаміки змінної маси суцільного середовища в при­пущенні її безперервної зміни.

В Запорізькому національному технічному університеті розроблена нова математична модель дослідження процесів поширення електромагнітних хвиль над структурами з фрактальними розподілами зарядів та струмів.

Отримані вирази для компоненту електромагнітного поля біля шорсткої по­верхні циліндричного провідника можуть бути використані для конструювання радіотехнічного обладнання, для якого знання поведінки поля в близькій зоні має велике значення (наприклад, фрактальні антени, які використовуються в сучас­ному мобільному зв‘язку).

В Приазовському державному технічному університеті показана можливість виникнення у в'язкій та ідеальній рідині, що обертається, неосиметричних спіра­льних хвиль. Побудована математична модель сферичних вихороутворень з ядром і оболонкою. Досліджено витікання закрученого потоку рідини через круговий отвір у дні напівнескінченного циліндра (модифікація задачі Стєклова). Розв‘язані задачі обтікання зворотнього виступу ідеальною нестисливою рі­диною, течії в плоскому затопленому та імпульсному струмені, струмені в за­мкненому просторі в нестаціонарній нелінійній постановці. Розроблена методика чисельної візуалізації даних течій, розрахунку нелінійних нестаціонарних харак­теристик

В Національній металургійній академії України розроблено математичне моделювання процесів виплавки феросплавів, методи нечіткого управління, гене­тичних алгоритмів настройки нейромережевих і адаптивних моделей металургій­них процесів. Одержані оцінки коефіцієнтів Фур‘є функцій багатьох змінних в залежності від поведінки часткових найкращих наближень в , а також оцінки для деяких сум із коефіцієнтів Фур‘є функцій класів . Одержані асимптоти­чно точні оцінки квадратурних формул типу Гаусса, які відповідають деяким ваговим функціям на класі .

Провідне місце в цих дослідженнях займають відомі школи, засновані Б.М.Пшеничним і які зараз працюють в Інституті кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України під керівництвом чл.-кор. НАН України А.О.Чикрія, в Інституті прикладного системного аналізу НАН України і Міносвіти і науки України під керівництвом чл.-кор. НАН України В.С.Мельника, в Інституті космічних дослі­джень НАН України під керівництвом академіка НАН України В.М.Кунцевича.

Дослідження в цій галузі проводились в Київському і Чернівецькому національних університетах, Дніпропетровському державному технічному університеті залізничного транспорту, Одеському і Харківському національних університетах.

ІК НАН України і в ІПСА НАН та Міносвіти України отримала подальший розвиток теорія нелінійного програмування, оптимального управління, диференціальних ігор і чисельних методів оптимізації. На основі математичного апарата опуклого аналізу описана задача оберненоопуклого програмування, яка виникає в задачах пакування. Побудований алгоритм її чисельного розв’язання, який є модифікацією метода лінеаризації Б.М.Пшеничного, розроблено відповідне програмне забезпечення, яке дозволило отримати розв’язок деяких класичних задач математики.

Розроблений оптимізаційний підхід до чисельного розв’язання нелінійних варіаційних нерівностей, що включає у себе нелінійні задачі оптимізації, задачі доповняності, пошук точок рівноваги багатьох економічних моделей. Цей підхід дозволив використати для розв’язання варіаційних нерівностей розвинутий математичний аппарат чисельних методів оптимізації. Досліджені різні форми еквівалентних оптимізаційних задач і побудовані модифікації відомих методів першого й другого порядків, які враховують специфіку варіаційних нерівностей. Отримані оцінки швидкості збіжності, які є непокращуваними в класі методіввідповідного порядку. Головна увага була приділена побудові нелокальних алгоритмів ньютонівського типу, що асимптотично збігаються зі зверхлінійною швидкістю. Для задач нелінійної оптимізації розроблена загальна схема ефективних чисельних методів послідовного квадратичного й лінійного програмування, які мають нелокальну й прискорену швидкість (в т.ч. методи лінеаризації, Гріффіта-Стюарта, Ньютона, модифікованих фуекцій Лагранжа та ін.).

Розроблені ефективні методи розв’язання лінійних диференціальних ігор зближення-ухилення та утримання з обмеженнями на ресурси.

Розвинута теорія оптимізації функціонування розподілюючих мереж та створені обчислювальні алгоритми, що базуються на методах нелінійного програмування. Розроблені методи розрахунку потоків у мережах з узагальненим законом Кірхгофа, в основу яких покладені методи виключення одного чи групи невідомих із систем лінійних нерівностей

Розвинута спектральна теорія якобієвих полів і на її основі побудоване узагальнення хаотич­ного представлення для Гамма-поля операторів і відповідного стохастичного про­цесу. Було відомо, що для Гамма-процесу безпосереднє узагальнення хаотичного представлення неможливе. В запропонованому підході відповідні компоненти розкладу виражаються через багатовимірні стохастичні інтеграли, а деякі з них мають вигляд кратних стохастичних інтегралів, як у класичному випадку броунів­ського руху.

Поряд з цим, в ІПСА НАН та Міносвіти України проводилися систематичні дослідження в галузі нелінійного аналізу і теорії керування нескінченновимір­ними динамічними системами. Розроблено підхід до дослідження сингулярно збурених самоспряжених операторів на основі збурення білінійних форм. Отри­мано умови виникнення власних значень в спектральних лакунах основного опе­ратора. Розглянуто оператор Шредінгера із загальним потенціалом нульового ра­діуса.

В ІК НАН України досліджені і встановлені властивості спеціальних багато­значних відображень, що виникають в теорії ігор, стосовно їх вимірності за Боре­лем, за Лебегом, -вимірності, напівнеперервності; розвинутий аналітичний апарат застосовано до вивчення нелінійних та квазілінійних диференціальних ігор зближення та втечі.

ІКД НАН та НКА України вперше була запропонована і розроблена мето­дика отримання (і застосування в задачах керування та оцінювання) гарантованих оцінок параметрів об‘єкта у вигляді многогранників у просторі параметрів.

Отримані нові теоретичні результати з визначення інваріантних і стаціонар­них множиннелінійних дискретних динамічних систем.

В Чернівецькому державному університеті одержано критерії керованості, спостережності, мінімаксного керування та мінімаксного спостереження для сис­тем зі зміною вимірності фазового простору.

В Харківському державному університеті проводились дослідження по min-проблемі моментів на основі теорії лінійної швидкодії, розроблено метод функції керованості для розв‘язання задачі синтезу обмежених керувань.

В Одеському державному університеті розроблені алгоритми розв‘язання задач оптимального керування, отримані нові необхідні умови оптимального ке­рування високих порядків.
14. МАТЕМАТИЧНІ ПРОБЛЕМИ МЕХАНІКИ
В дослідженнях з математичних проблем механіки брали участь 39 до­кторів і 87 кандидатів наук.

Провідне місце в цих дослідженнях займають відомі наукові школи, які були засновані О.Ю,Ішлінським, В.М.Кошляковим, Я.С.Підстригачем, П.В.Харламовим і які зараз працюють в Інституті математики НАН України під керівництвом академіків НАН України В.М.Кошлякова, І.О.Луковського, Інсти­туті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН Укра­їни під керівництвом чл.-кор. НАН України Г.С.Кіта, Інституті прикладної мате­матики і механіки НАН України під керівництвом професора О.М.Ковальова, Київському національному університеті ім.. Тараса Шевченка під керівництвом чл.-кор. НАН України А.Ф.Улітка.

Дослідження з математичних проблем механіки проводилися також в Львів­ському, Таврійському, Одеському, Запорізькому національних універ­ситетах, Луцькому, Приазовському державних технічних університетах, Запорізь­кій державній інженерній академії, Київському міжнародному університеті циві­льної авіації, Державному аерокосмічному університеті "ХАІ", Українському транспортному університеті.

В ІМ НАН України розроблено методи структурних перетворень нелінійних динамічних систем з гіроскопічними і неконсервативними силами.

Проведені якісні дослідження динамічних систем, які описують матричним рівнянням другого порядку та містять, крім дисипативних, гіроскопічних і потен­ціальних сил, неконсервативні структури з кососиметричною матрицею позицій­них сил.

За допомогою перетворень Ляпунова сформульовано необхідні та достатні умови звідності вихідного матричного рівняння до матричного рівняння другого порядку з симетричною матрицею позиційних сил, яке не містить неконсервативні позиційні структури. Вказані умови виражаються безпосередньо через матричні коефіцієнти вихідного рівняння. Використання даної методики, що розглядається в аспекті обґрунтованого застосування прецесійної теорії гіроскопічних систем, дозволяє подолати труднощі, пов’язані з наявністю у вихідних рівняннях неконсер­вативних позиційних структур і, зокрема, забезпечує пряме застосування теорем Томсона-Тета-Четаєва. Розглянуті ілюстраційні приклади.

Побудовано прямі методи аналізу та розв’язку нелінійних крайових задач з вільною границею для рівнянь гідродинамічного типу, які базуються на варіацій­них підходах.

Проведено аналітичне дослідження вимушених нелінійних коливань' рідини у баках в формі оберненого кругового конуса на основі модального методу, що грунтується на варіаційних принципах механіки. При дослід­женні лінійної спе­ктральної задачі запропоновано варіаційний метод її розв'язування з використан­ням ефективної системи координатних функцій, побудованої на основі неконфор­много перетворення конуса на область прямого кругового циліндра. Ця координа­тна система функцій задовольняє частині граничних умов спектральної задачі з параметром в граничній умові на вільній поверхні, що позначилось на швидкості збіжності варіаційного алгоритму. Частоти вільних коливань рідини і відповідні їм форми коливань (включаючи і вищі гармоніки) знаходяться цим методом з ве­ликою точністю (до шести значущих цифр) при невеликому числі координатних функцій в усьому діапазоні кутів напіврозхилу конуса.