Найважливіші результати з математики

Розроблено алгоритм та комп'ютерну фортран-програму чисельного роз­в'язування задачі Коші для нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь типу Га­мільтона з динаміки обмеженого об'єму рідини (випадок прямокутної порож­нини). Сформульовано умови та побудовано приклад існування розв'язку загаль­ної нелінійної задачі гідродинамічного типу для рівняння Лапласа у змінній обла­сті з невідомими межами ліпшицевого типу.

Розвинуто нові напрямки в теорії стійкості систем лінійних і спеціальних нелінійних диференціальних, різницевих та диференціально-різницевих стохасти­чних рівнянь. Узагальнено методи функцій Ляпунова, функціоналів Ляпунова-Красовського та матричних рівнянь Сільвестра.

В ІПММ НАН України розроблено метод орієнтованих многовидів, що до­зволяє розв’язувати проблему керованості систем загального вигляду.

Виконано системне дослідження обернених задач теорії керування: спосте­реження, ідентифікації, оберненості, функціональної керованості.

Отримано розв‘язок двоточкової задачі для нелінійних керованих систем методом оберненої системи з використанням множини траєкторій, на основі якого розроблено узагальнений флет-алгоритм розв‘язку прямих задач керування.

Визначено форми динамічної рівноваги системи n тіл, сполучених пруж­ними сферичними шарнірами і утворюючих напівзамкнений ланцюг у припу­щенні їх симетричного розташування відносно центрального тіла, або централь­ного шарніра. Обчислено основні топологічні характеристики спільних інтеграль­них рівней і вивчено траєкторну структуру фазового простору в околі точних розв‘язків рівнянь Ейлера-Пуассона. Отримано достатні умови асимптотичної стійкості нульового розв‘язку періодичної системи з імпульсною дією.

Одержано аналітичний розв‘язок змішаної задачі теорії пружності для ізо­тропного півпростору на пружній основі, який моделює масив гірничих порід при розробці пластів корисних копалин.

В ІППММ НАН України на основі теорії потенціалів здійснено гранично-інтегральне формулювання тривимірних статичних та динамічних задач теорії пружності для тіл з тріщинами.

Узагальнено метод граничних інтегральних рівнянь на дослідження триви­мірних статичних та динамічних задач теорії пружності для тіл із тріщинами та тонкими включеннями неканонічної форми. Проаналізовано статичну та динамі­чну концентрацію напружень в околі тріщин зі змінними кривинами контурів. Вивчено інерційні ефекти у тілах із тунельними криволінійними пружними тон­кими включеннями. Досліджено контактні явища в кусково-однорідних структу­рах із заповненими дефектами на границі контакту при термомеханічному нава­нтаженні.

На основі енергетичного підходу та розкладу за тензорним базисом побудо­вана математична модель та система рівнянь для кількісного опису динамічних процесів в тонкостінних оболонках обертання з врахуванням інерційності посту­пальної і обертальної форм руху. Досліджено спектр частот вільних коливань для обох форм руху та виявлено ефекти їх взаємозв'язку.

Записані загальні співвідношення механіки і термодинаміки для багатоком­понентних твердих тіл в зовнішньому електромагнітному полі. На основі мікро­скопічного підходу до розгляду електродинаміки і взаємодії електромагнітного поля з твердим тілом шляхом статистичного усереднення (з врахуванням багато­компонентності) мікрорівнянь. отримано макроскопічні рівняння електродина­міки і механіки. Обгрунтовано використання нерелятивістського набли­ження. Сформульовано системи рівнянь Максвелла в інтегральній формі і в ма­теріальному описанні.

Розроблена математична модель для обчислювальної томографії неосесиме­тричних залишкових напружень у циліндричних оболонках, сформульована обер­нена задача томографії та запропоновано варіаційний метод її розв'язування.

Запропоновано і обгрунтовано варіант уточненої теорії мінімального по­рядку нелінійної динаміки композитних оболонок і пластин з трансверсальними деформаціями зсуву та стисненням і досліджено вплив цих факторів на напру­жено-деформований стан і амплітудно-частотні характеристики прямокутних пластин.

Побудовано уточнену некласичну математичну модель для розрахунку та прогнозування довговічності лакофарбових та полімерних покрить в морській воді та в інших хімічно активних середовищах з врахуванням взаємозв'язку дифузій­них, корозійних осмотичних процесів та деформації без попередніх спрощуваль­них припущень про зміну за часом швидкості корозії під покриттям та про вели­чину прогинів покриттів над джерелом корозії. На основі побудованої моделі сформульовано і розв'язано відповідні задачі багатопараметричної оптимізації па­раметрів системи для збільшення довговічності покрить.

Досліджено принципи організації архітектоніки судин та побудовано мате­матичну теорію для вивчення дисипації енергії в ієрархічних живих системах. Побудовано математичну модель та досліджено ефекти саморегуляції перфузії крові в живих тканинах. Вивчено механізми нелокального постачання крові ткани­нам під дією зовнішніх сил.

В Київському національному університеті імені Тараса Шевченка для до­слідження граничних задач контактної механіки розвинуто метод побудови розв’язків узагальненої крайової задачі Рімана зі зсувом на випадки, коли грани­чні значення аналітичної функції пов’язані зі значеннями на розімкнених конту­рах в області її визначення.

У Львівському національному університеті запропоновано математичні мо­делі взаємодії фізико-механічних полів у гетерогенних суцільних середовищах, поведінка яких описується рівняннями з частинними похідними з різною кількістю просторових змінних. Доведено теореми існування та єдності розв'язків відповід­них варіаційних задач.

В Таврійському національному університеті виконані дослідження з розви­тку теорії операторних блок-матриць з необмеженими операторними коефіцієн­тами із застосуванням до механіки суцільного середовища.

В Дніпропетровському національному університеті одержані точні аналіти­чні розв'язки задач для міжфазної тріщини із зонами контакту берегів в компонен­тних та п'єзоелектричних матеріалах.

В Одеському державному університеті розроблено математичну теорію не­однорідних структур в консервативних та дисипативних нелінійних динамічних системах.

В Запорізькому державному університеті розроблено теорію багатошарових основ, в яких група шарів періодично чергується; розроблено метод розв'язку плоских задач теорії пружності для багатошарових основ з отворами в шарах, тріщинами, включеннями). Розроблено нові підходи до розв'язування багатови­мірних інтегральних рівнянь з особливостями та їх застосування до розв'язання просторових змішаних задач контактної взаємодії та теорії тріщин. Побудовані обчислювальні схеми наближеного розв'язання сингулярних інтегральних рів­нянь.

В Українському транспортному університеті розроблено математичне за­безпечення та виконане дослідження динамічної взаємодії криволінійних фронтів ударних хвиль з криволінійними поверхнями розділу пружних анізотропних сере­довищ.

В Київському міжнародному університеті цивільної авіації побудовані ма­тематичні моделі турбулентних примежевих шарів і пристінних струменів та створені розрахункові чисельні методи розв'язування задач авіаційно-космічної техніки.

В Запорізькій державній інженерній академії та Луцькому державному тех­нічному університеті одержані нові варіанти дифференціальних рівнянь динаміки пластин і оболонок, на основі яких розв'язано задачі розповсюдження нестаціона­рних хвиль в пластинах і оболонках.