Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы



жүктеу 24.5 Kb.
Дата05.08.2018
өлшемі24.5 Kb.
түріПрограмма

ПРОГРАММА

II часть кандидатского экзамена по специальности 01.01.02

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ



  1. Фазовое пространство, фазовый поток, действие диффеоморфизма на векторное поле. [1]

  2. Теорема о выпрямлении векторного поля. [1]

  3. Симметрии векторных полей и полей направлений, применения однопараметрических групп симметрий к понижению порядка. [2]

  4. Векторные поля и фазовые потоки на многообразиях [1]

  5. Индексы особых точек векторных полей, теорема о сумме индексов.[1]

  6. Теорема Пуанкаре-Бендиксона.[4,5]

  7. Дифференциальные уравнения на торе. Повороты окружности. Теорема о равномерном распределении для иррационального поворота окружности. [2,5]

  8. Число вращения. Классификация Пуанкаре.[2,3,4,5]

  9. Теорема Данжуа. Пример Данжуа.[5]

  10. Динамические системы с дискретным и непрерывным временем. Связь между ними (сдвиг за единичное время, отображение Пуанкаре, надстройка, специальный поток). Основные свойства (транзитивность, минимальность, топологическое перемешивание). Примеры (потоки на торе, гиперболический автоморфизм тора).[2,3,5]

  11. Символическая динамика. Подкова Смейла. Растягивающие отображения окружности.[3,5,6]

  12. Гиперболичность особых точек и замкнутых траекторий векторных полей, неподвижных и периодических точек диффеоморфизмов. Теорема Гробмана-Хартмана. Теорема Адамара- Перрона.[2,4,5]

  13. Понятие структурной устойчивости. Теорема о структурно устойчивых диффеоморфизмах окружности.

Критерий Андронова-Понтрягина структурной устойчивости вкторных полей на плоскости. Структурная устойчивость линейных гиперболических автоморфизмов тора. Пример Смейла (области в пространстве С1 -диффеоморфизмов, свободной от структурно- устойчивых систем). [2]

  1. Усреднение в одночастотных системах. [2]

  2. Аналитическая теория нормальных форм. Теорема Пуанкаре-Дюлака. Области Пуанкаре и Зигеля. Теоремы Пуанкаре и Зигеля (без доказательств). [2].

  3. Гладкая теория нормальных форм. Теория Фробениуса и гомотопический метод . Теорема Стернберга о нормальной форме нерезонансного гиперболического седла [6]

  4. Основные понятия теории бифуркаций. Лемма Сарда, слабая теорема трансверсальности. Бифуркации особых точек векторных полей в типичных однопараметрических семействах. Принцип сведения Шошитайшвили

(без доказательства). [2,6]

  1. Бифуркация Андронова-Хопфа. Мягкая и жесткая потеря устойчивости. [2]

  2. Нелокальные бифуркации. Бифуркация гомоклинической петли плоского седла. Бифуркация гомоклинической траектории седлоузла. [6]

ЛИТЕРАТУРА

    1. В.И.Арнольд, Обыкновенные дифференциальные уравнения, М., «Наука», 1984.

    2. В.И.Арнольд, Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, М., «Наука», 1978.

    3. З.Нитецки, Введение в дифференциальную динамику, «Мир», 1975.

    4. Ж.Палис, В.Ди Мелу, Геометрическая теория динамических систем, М., «Мир», 1986.

    5. А.Каток, Б.Хассельбладт, Введение в современную теорию динамических систем, М., «Факториал», 1999.

    6. Ю.С.Ильяшенко, Ли Вейгу, Нелокальные бифуркации, МЦНМО, 1999.



Достарыңызбен бөлісу:


©kzref.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет