Определенный интеграл. Введение



Дата24.04.2019
өлшемі336.5 Kb.
#114646




Определенный интеграл.
Введение.
Понятие определённого интеграла наряду с понятием неопределённого интеграла также является основным и даже более фундаментальным понятием математического анализа.

Впервые строгое аналитическое определение определённого интеграла, было дано для непрерывной функции в 1823 году французским математиком О.Коши (1789 – 1857). При этом Коши дал первое аналитическое доказательство существования определённого интеграла от непрерывной функции. Позднее немецкий математик Б.Риман (1826 – 1866) показал, что определение, данное Коши, применимо к более широкому классу функций.

Это позволило ему впервые высказать в общей форме определение интеграла и установить условия его существования.

Понятие определённого интеграла довольно сложное. К этому понятию приводят самые разнообразные вопросы и задачи из области геометрии, механики, физики и техники.

Из всего многообразия задач мы рассмотрим только две задачи, взятые из двух, совершенно различных областей: одну – из геометрии, другую – из механики, к решению которых, как мы увидим, будет применён один и тот же метод.

1. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла.
К понятию определённого интеграла приводят самые разнообразные задачи: определение площади плоской фигуры, отыскание работы переменной силы, нахождение пути по заданной переменной скорости и многие другие. Рассмотрим некоторые из них.
1) Площадь криволинейной трапеции.
Теория площадей исходит из двух положений: 1) площадь фигуры, составленной из нескольких фигур, равна сумме площадей этих фигур; 2) площадь прямоугольника равна произведению его измерений.

Поставим задачу о вычислении площади криволинейной трапеции.



Определение: Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной функции прямыми х=а, х=в и отрезком оси Ох.
y

M
m


0 х0=а х1 х2 х3 ….xi-1 хi хn-1 xn=b x
Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что >0 на и a<b.

Для решения задачи поступим следующим образом:

1)разобьём отрезок на n-частичных отрезков , ,…,,…,, где <<…<< и .

2)проведя в точках деления х01,…,хn прямые параллельные оси ординат, разобьём криволинейную трапецию на n-частичных трапеций. Ясно, что



(1)

где - площадь i-той частичной трапеции.

3)вычислим приближённо площадь . Для этого в каждом частичном отрезке выберем произвольную точку и вычислим в ней значение функции . Заменим площади частичных трапеций площадями прямоугольников, построенных на частичных отрезках как на сторонах с высотами равными соответственно значениям функции в точках . Получим n-ступенчатую фигуру.

Тогда = (2)

и или обозначив, = получим

(3)

где - площадь n-ступенчатой фигуры. Точность формулы (3) увеличивается с увеличением числа n и уменьшением .

Поэтому за точное значение площади примем предел площадей n-ступенчатых фигур при условии, что .

Таким образом (4)

Задача о нахождении площади криволинейной трапеции решена.

2) Задача о работе переменной силы.

Пусть точка М под действием переменной силы , направленной по оси Ох, перемещается из точки х=а в точку х=в (а<в).

Если бы сила была постоянна, то работа А была бы равна произведению на длину пути перемещения, т.е на длину отрезка . Но в условиях данной задачи сила меняет свое значение в процессе движения точки М, она является функцией от х.

Чтобы вычислить работу А, произвольным образом разобьем отрезок на n-частей точками ,,…,,.

Пусть , ,…,,…,.

На каждом из n отрезков выберем произвольную точку и определим значение силы .

Предположим, что на каждом из n отрезков сила сохраняет постоянную величину . Тогда работа А на отрезке может быть приближенно выражена суммой



++…++

или (5)

Очевидно, чем больше число n, тем точнее сумма (5) будет выражать работу А.

Обозначим через наибольшую из длин отрезков . Тогда



.
2. Определенный интеграл как предел интегральных сумм.
Из рассмотренных задач видно, что решение разных задач геометрии и физики приводит к одной и той же последовательности действий над известными функциями и их аргументами. Установим эту последовательность действий математики, независимо от конкретных условий той или иной задачи. Тогда и применение её в каждом отдельном

подходящем случае будет заранее узаконено и не будет требовать специальных рассуждений.

Если отвлечься от физического смысла переменных и от их обозначений, то указанная последовательность действий состоит в следующем:
1) Пусть функция определена на отрезке оси Ох. Произвольным образом разобьем отрезок на n-частей точками ,,…,,, где <<…<<.

Полученные в результате разделения отрезки , ,…,,…, назовем элементарными, а их длины обозначим соответственно через , ,…,,…,.

2) Выберем произвольным образом точку на отрезке , точку на отрезке ,…, точку на отрезке и вычислим соответствующие значения функции в этих точках, т. е найдем ,,…,.

3) Составим сумму парных произведений найденных значений функции на длины соответствующих элементарных отрезков, т. е сумму вида:



++…+ +…+==In (6)

Определение: Сумма (6) называется интегральной суммой для функции составленной на отрезке , которая является переменной величиной.
Интегральная сумма (6) зависит от способа разбиения данного отрезка на элементарные отрезки и от выбора точек на каждом из полученных элементарных отрезков. Следовательно, для данной функции на данном отрезке можно составить бесчисленное множество интегральных сумм.

Обозначим через наибольшую из длин элементарных отрезков.

4) Находим предел суммы In при и, следовательно, , если он существует и не зависит от способа разбиения на , ни от выбора , т. е



Определение: Если интегральная сумма (6) при имеет конечный

предел, не зависящий от способа разбиения отрезка на элементарные отрезки, ни от выбора точек на этих

элементарных отрезках, то этот предел называется

определенным интегралом функции на отрезке и обозначается символом .

Таким образом, по определению имеем: = (7)

В равенстве (7) числа а и в называют соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок - отрезком интегрирования,

подынтегральная функция, - подынтегральное выражение, х- переменная интегрирования.

Функция , для которой на отрезке существует определенный интеграл, называется интегрируемой на этом отрезке.

Сам процесс образования определенного интеграла показывает, что зависит только от вида 1) подынтегральной функции 2) от чисел а и в и не зависит от переменной интегрирования, т. е ==.

Очевидно, что =в-а, т.к. = и =-.


3. Теорема существования, геометрический и механический смысл определенного интеграла.
Возвращаясь к задачам 1 и 2 можно сказать:

1) Геометрический смысл определенного интеграла: площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой прямыми , и отрезком оси Ох численно равна определенному интегралу на ,

т. е

.

2) Механический смысл определенного интеграла: Работа переменной силы, равна определенному интегралу от силы, т. е .

На вопрос о том, для каких функций существует определенный интеграл, отвечает следующая теорема.

Теорема (существования): Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

Функция , для которой на существует определенный интеграл, называется интегрируемой на .


4. Основные свойства определенного интеграла


  1. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т. е



  1. Определенный интеграл от суммы нескольких функций равен сумме интегралов


3) Свойство аддитивности.

Если отрезок разбит на две части и , то

4) Если подынтегральная функция в интервале интегрирования не меняет знака, то интеграл представляет собой число того же знака, что и функция.



=0 =-

5) Если на интервале две функции и удовлетворяют неравенству

f(x)  (x) , то
6) Теорема об оценке интеграла.

Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения

непрерывной на отрезке [a, b] функции f(x), то справедливо неравенство:

С геометрической точки зрения теорема говорит о том, что площадь

криволинейной трапеции заключена между площадями двух

прямоугольников, имеющих тоже основание, что и трапеция, а высоты

соответственно m и M.
7) Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то внутри его найдется хотя бы одна точка , что будет выполняться равенство:



Доказательство: В соответствии со свойством 6:


т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она принимает на этом отрезке все значения от m до М. Другими словами, существует такое число  [a, b], что если



и  = f(с), а a  с  b, тогда . Теорема доказана.

Понятие среднего значения функции часто применяется в технике. Многие величины, например, давление пара, мощность переменного тока и др. характеризуются своими средними значениями.

Геометрический смысл теоремы заключается в следующем: криволинейная трапеция равновелика прямоугольнику с тем же основанием и высотой, равной ординате кривой в некоторой промежуточной точке основания.
Заключение.

Метод интегрального исчисления развивался вначале совершенно независимо от дифференциального исчисления, и только к концу 17 века удалось вскрыть между ними глубокую внутреннюю связь.



Открытие этой внутренней связи между дифференциальным и интегральным исчислением имело решающее значение для развития математики и естествознания. Это открытие Лейбница и Ньютона позволило не только значительно расширить область применения математики, глубже проникнуть в изучение закономерностей окружающей нас природы, но, что особенно важно позволило решать с единой точки зрения многочисленные задачи естествознания.


Достарыңызбен бөлісу:




©kzref.org 2022
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет