Преподаватель: проф. И. Х. Сабитов



жүктеу 56.12 Kb.
Дата02.10.2018
өлшемі56.12 Kb.

ПРИЛОЖЕНИЕ

  1. Спецкурс программы специалитета, полугодовой: Анализ и алгебра в геометрии многоугольников и кривых.

  2. Преподаватель: проф. И.Х. Сабитов.

  3. Аннотация курса: общие определения для кривых и многоугольников, теоремы Жордана и Шенфлиса, индексы гладких кривых и многоугольников, теоремы Уитни, триангуляции многоугольных областей и формула Эйлера, производящие функции в анализе и дискретной математике, формула Каталана, алгебраическая площадь многоугольных областей, многочлены для вычисления площадей и диагоналей циклических многоугольников, леммы Лежандра-Коши о выпуклых ломаных и многоугольниках, изопериметрическая задача для кривых и многоугольников.

  4. Тематическое содержание курса:




Тема 1

Кривые и многоугольники на плоскости. Основные понятия и определения. Выпуклые многоугольники. Задание выпуклых многоугольных областей линейной системой неравенств.

Тема 2

Теорема Жордана о замкнутых кривых и многоугольниках без самопересечений в нескольких вариантах и ее применение для определения положения точки относительно замкнутого многоугольника.

Тема 3

Выпуклая оболочка конечной системы точек. Теорема Шенфлиса для жордановых многоугольников.

Тема 4

Триангуляции многоугольных областей. Выпуклые многоугольники. Формула Каталана и ее доказательство с помощью производящей функции.

Тема 5

Индекс гладкой замкнутой кривой. Теорема Уитни о кривых с равными индексами.

Тема 6

Векторные поля на плоскости. Индекс векторного поля. Индекс многоугольника. Сумма углов произвольного

замкнутого многоугольника.



Тема 7

Степень отображения кривой на окружность и ее применение для вычисления индекса многоугольника. Формула Эйлера для многоугольной области. Индекс жордановой кривой.

Тема 8

Формула Уитни для вычисления суммы углов многоугольника с самопересечениями.

Тема 9

Алгебраическая площадь для замкнутой кривой и замкнутого многоугольника. Независимость от выбора начала координат.

Тема 10

Случай циклического 4-х угольника. Классические формулы для диагоналей, площади и радиуса описанной окружности. Формула Брахмагупта и ее обобщение на случай невыпуклого циклического 4-х угольника.

Тема 11

Результанты и многочлены для нахождения диагоналей, радиуса описанной окружности и площади циклических многоугольников.

Тема 12

Изгибания многоугольников. Леммы Лежандра-Коши для выпуклых ломаных и многоугольников.

Тема 13

Графы и многоугольники на сфере. Формула Эйлера для графа на сфере и для многогранников.

Тема 14

Конфигурационное пространство многоугольника..

Тема 15

Наложимость изометричных выпуклых многоугольников с одинаковой ориентацией.

Тема 16

Изопериметричекая задача для кривых. Доказательства Штейнера и Гурвица (с использованием рядов Фурье).

Тема 17

Теорема Крамера в изопериметрической задаче для многоугольников с единственностью ее решения для данного набора длин сторон многоугольника.




  1. Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки результатов обучения, характеризующих этапы формирования компетенций.

Вопросы к экзамену:




  1. Теоремы Жордана. Доказательство для случая гладкой кривой и многоугольника.

  2. Теорема Шенфлиса для жордановых многоугольников.

  3. Индекс кривой и теорема Уитни о гомотопности кривых с равными индексами.

  4. Индекс многоугольника. Сумма углов произвольного замкнутого многоугольника.

  5. Степень отображения и вычисление индекса многоугольника.

  6. Формула Эйлера для графа на сфере и ее применение для вычисления индекса гладкой жордановой кривой.

  7. Формула Уитни для вычисления индекса гладкой кривой с самопересечениями.

  8. Алгебраическая площадь кривой и многоугольника.

  9. Формула Брахмагупта и ее вариант для циклического 4-х угольника с самопересечением.

  10. Многочлены для диагоналей, радиуса описанной окружности и алгебраической площади циклических многоугольников.

  11. Леммы Лежандра-Коши для выпуклых ломаных и многоугольников.

  12. Многоугольники на сфере и леммы Лежандра-Коши на сфере.

  13. Конфигурационное пространство многоугольника.

  14. Производящие функции последовательностей. Пример: нахождение чисел Фибоначчи.

  15. Триангуляция выпуклого многоугольника и формула Каталана.

  16. Изгибания многоугольников. Наложимость выпуклых многоугольников с одинаковой ориентацией.

  17. Изопериметрическая задача для кривых и ее решение по Штейнеру.

  18. Решение изопериметрической задачи с помощью рядов Фурье.

  19. Теорема Крамера в изопериметрической задаче для многоугольников. Единственность решения.

Текущий контроль успеваемости – задачи для самостоятельного решения, после 9-й недели.

Примеры предлагаемых задач:
1) Даны координаты вершин некоторого выпуклого многоугольника. Найти линейную систему неравенств, определяющих соответствующую многоугольную область на плоскости.

2) Даны точка и графическое изображение некоторого жорданового многоугольника сложного внешнего вида. Установить, находится ли точка внутри или вне многоугольника.

3) Установить гомеоморфное соответствие между правильными n- и m-угольниками при различных неравных n и m.

4) Привести примеры нежордановых кривых с индексами 1 и -1.

5) Привести примеры кривой с n самопересечениями и с индексом 1. Как зависит построение такой кривой от четности n?

6) Найти возможные минимальное m и максимальное M значения индекса n-угольника при данном n и показать, что для любого целого числа k между m и M существует n-угольник с индексом k.

7) Дается графическое изображение некоторого многоугольника. Найти его индекс и сумму его внутренних углов.

8) Дается некоторый многоугольник c известными координатами вершин. Нарисовать его графическое изображение и найти его алгебраическую площадь при выбранной ориентации.




  1. Перечень основной и дополнительной учебной литературы:

1. .М.А. Красносельский и др. Векторные поля на плоскости. М.: Физматгиз, 1963.

2. Р. Курант и Г. Роббинс. Что такое математика? М.: МЦНМО, 2001.

3. В.В. Варфоломеев. Вписанные многоугольники и полиномы Герона. Мат. Сборник (2003), т. 194, № 3, с. 3-24.

4. И.Х. Сабитов. Чему равна сумма углов многоугольника? Квант (2001), № 3, с. 6-12.

5. И.Х. Сабитов. Вокруг доказательства леммы Лежандра-Коши о выпуклых многоугольниках. Сиб. мат. журнал (2004), т. 45, № 4, с. 892-919.

6. И.Х. Сабитов. Решение циклических многоугольников. Математическое просвещение, третья серия (2010), вып. 14, с. 83-106.

7. I. Pak. The area on cyclic polygons: recent progress in Robins’ conjectures. Adv. Applied Math. (2005) v. 34. p. 690-696.

8. J.J. Stoker. Differential Geometry, Wiley-Interscience, New York, 1969, p. 43-45.




  1. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети «Интернет»: www.mathnet.ru

http://www.metricgeometry.ru/zaputryaeva/configuration-spaces
Программа утверждена на заседании кафедры математического анализа

Протокол № 6 от 17 декабря 2014 г.


Достарыңызбен бөлісу:


©kzref.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет