Реферат по математике «Циклоидальные кривые» Учащаяся 10а класса Шарапова Мария Дмитриевна



Дата15.08.2018
өлшемі112.16 Kb.
#40654
түріРеферат


Министерство образования и науки Российской Федерации

Муниципальное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 37

РЕФЕРАТ


по математике

«Циклоидальные кривые»

Выполнила:

Учащаяся 10а класса

Шарапова Мария Дмитриевна

Научный руководитель:

Форсова Ольга Борисовна

2015 г.


Содержание

Введение……………………………………………………………….………....3

1. Исторические сведения о циклоидальных кривых………….……………....4

2. Циклоида…………………………………….…...…………………..………...5

3. Замечательные свойства циклоиды…………………….…………….………8

4. Разновидность циклоидальных кривых……………………………………….11

Заключение……………………………………………………………………..….14

Список литературы………………………………………………………….…….15



Введение.

Кривая циклоида очень интересна для изучения, однако не так просто найти литературу ей посвященную, доступную для изучения школьником. В большинстве таких источников циклоида упоминается только в скользь или рассматривается не достаточно полно. Однако она используется при решении различных задач. В ввиду того, что в школах задачи связанные с циклоидой встречаются и в физике и в химии, я посчитала данную тему актуальной и интересной для изучения.

Цели работы:

1. Обобщить и систематизировать знания по теме «Циклоидальные кривые».

2. Изложить результаты научных исследований, посвященных циклоидальным кривым.

3. Представить точки зрения разных ученых на циклоидальные кривые.

Задачи:

1. Рассмотреть виды циклоидальных кривых.



2. Ознакомиться с применением циклоидальных кривых.

3. Систематизировать знания в области применения циклоидальных кривых.



Исторические сведения о теории кривых.

Многие ученые занимались исследованием, применением и изучением свойств данных прямых. Узнаем подробнее об этих первооткрывателях.

Первыми из ученых обратили внимание на циклоиду Николай Кузнецкий в XI веке и Шарль де Бовель в труде 1501 года. Но серьезное исследование этой кривой началось только в XVII веке. Название кривой дал Галилео Галилей (во Франции эту кривую называли рулеттой), впервые обративший на нее внимание. Сравнивая вес двух металлических пластинок равной толщины, одна из которых была вырезана по циклоиде, а другая по окружности, порождающей эту циклоиду, Галилей обнаружил, что площадь сегмента циклоиды в три раза больше площади соответствующего круга. Но уже содержательное исследование циклоиды провел современник Галилея Мерсенн. Сам Галилей о циклоиде ничего не писал, но о его работах в этом направлении упоминают ученики и последователи Галилея: Вивиани, Торичелли и другие. Торичелли - известный физик, изобретатель барометра - уделял немало времени и математике и всюду получал интересные результаты и делал крупные открытия.

Немного позже итальянцев за циклоиду принялись французы, назвавшие её «рулеттой» или «трохоидой». В 1634 году Роберваль – изобретатель известной системы весов – вычислил площадь, ограниченную аркой циклоиды и её основанием.



Опыты Галилея дали толчок строгим математическим исследованиям циклоиды. Сначала его ученик Торичелли, а затем Роберваль, Декарт и Ферма не только обосновали зависимость, открытую Галилеем, но и установили ряд других свойств циклоиды. Простота и изящество определения циклоиды привлекли к ней многих математиков 17-18 веков. Ею занимались Паскаль, Лейбниц, Гюйгенс, Даниил Бернулли. Причем в начале циклоида сама была предметом пристального изучения, а впоследствии на ней проверялись мощные методы зарождающегося математического анализа.

Построение циклоиды

Паскаль писал о циклоиде: «Рулетта является линией столь обычной, что после прямой и окружности нет более часто встречающейся линии; она так часто вычерчивается перед глазами каждого, что надо удивляться тому, как не рассмотрели ее древние… ибо это не что иное, как путь, описываемый в воздухе гвоздем колеса».

Одним из древнейших способов образования кривых является кинематический способ, при котором кривая получается как траектория движении точки, закрепленной на окружности, катящейся без скольжения по прямой, по окружности или другой кривой, называется циклоидальной, что в переводе с греческого языка означает «кругообразная, напоминающая о круге».

Рассмотрим случай, когда окружность катиться по прямой. Кривая, которую описывает точка, закрепленная на окружности, катящейся без скольжения по прямой линии, называется циклоидой. (Рис 1)



рис 1

Циклоидальными кривыми называют траекторию точки круга, перекатывающегося без скольжения по прямой или неподвижному кругу.

Точка, описывающая при своем движении циклоидальную кривую, называется производящей. Окружность или прямая, по которым происходит перекатывание, называется направляющей. (рис 2)

рис 2

Построение циклоиды на рисунке 3 производится в следующей последовательности:

На направляющей горизонтальной прямой откладывают отрезокАА12, равный длине производящей окружности радиуса r, (2pr);

Строят производящую окружность радиуса r, так чтобы направляющая прямая была касательной к неё в точке А;

Окружность и отрезок АА12 делят на несколько равных частей, например на 12;

Из точек  делений 11, 21, ...121 восстанавливают перпендикуляры до пересечения с продолжением горизонтальной оси окружности в точках 01, 02, ...01;

Из точек деления окружности 1, 2, ...12 проводят горизонтальные прямые, на которых делают засечки дугами окружности радиуса r;

Полученные точки А1, А2, ...А12 принадлежат циклоиде. рис 3



Касательная и нормаль к циклоиде.

Наиболее естественным определением окружности будет следующее: «окружностью называется путь частицы твердого тела вращающегося вокруг неподвижной оси». Это определение наглядно, из него легко вывести все свойства окружности, а главное, оно сразу рисует нам окружность, как непрерывную кривую, чего вовсе не видно из классического определения окружности, как геометрического места точек плоскости, равноудаленных от одной точки.

Определение циклоиды, как механическом понятии (скорости, сложения движений и т.д.), никогда не удовлетворяло ученых. Поэтому геометры всегда стремились дать циклоиде чисто геометрическое определение. Но для того, чтобы дать такое определение, нужно прежде всего изучить основные свойства циклоиды, пользуясь её механическим определением. Выбрав наиболее простое и характерное из этих свойств можно положить его в основу геометрического определения.

Прямая, пересекающая кривую линию в одной, двух и более точках, называется секущей (прямая m на рис 4). Касательной к кривой называется предел, к которому стремится секущая.

рис 4

Нормалью называется перпендикуляр к касательной, восстановленный в точке касания (рис 5).



Рис 5

Циклоида обладает целым рядом замечательных свойств, упомянем о некоторых из них.



Замечательные свойства циклоиды.

Свойство 1.(Ледяная гора).

рисунок 6, а рисунок 6, б

В 1696 году И.Бернулли поставил задачу о нахождении кривой наискорейшего спуска, или, иначе говоря, задачу о том, какова должна быть форма ледяной горки, чтобы скатываясь по ней, совершить путь из начальной точки А в конечную точку В за кратчайшее время(рисунок 6, а). Искомую кривую назвали «брахистохроной», т.е. кривой кратчайшего времени.

Ясно, что кратчайшим путем из точки А в точку В является отрезок АВ. Однако при таком прямолинейном движении скорость набирается медленно и затраченное на спуск время оказывается большим(рисунок 6,б).

Скорость набирается тем быстрее, чем круче спуск. Однако при прямом спуске удлиняется путь по кривой и тем самым увеличивается время его прохождения.

Среди математиков, решавших эту задачу, были: Г.Лейбниц, И.Ньютон, Г.Лопиталь и Я.Бернулли. Они доказали, что искомой кривой является перевернутая циклоида (рис 6, а). Методы, развитые этими учеными при решении задачи о брахистохроме, положили начало новому направлению математики - вариационному исчислению.



Свойство 2(Часы с маятником) Часы с обычным маятником не могут идти точно, поскольку период колебаний маятника зависит от его амплитуды: чем больше амплитуда, тем больше период. Голландский ученый Христиан Гюйгенс(1629-1695) задался вопросом, по какой кривой должен двигаться шарик на нитке маятника, чтобы период его колебаний не зависел от амплитуды. Нужно отметить, что в обычном маятнике кривой, по которой движется шарик, является окружность рис 7

Искомой кривой оказалась перевернутая циклоида. Если, например, в форме перевернутой циклоиды изготовить желоб и пустить по нему шарик, то период движения шарика под действием силы тяжести не будет зависеть от начального его положения и амплитуды (рис 8).



рис 8

За это свойство циклоиду называют также «таутохрона» - кривая равных времен.Гюйгенс изготовил две деревянные дощечки с краями в форме циклоиды, ограничивающие движение нити слева и справа



рис 9

При этом сам шарик будет двигаться по перевернутой циклоиде и, таким образом, период его колебаний не будет зависеть от амплитуды. Из этого свойства циклоиды, в частности, следует, что независимо от того, с какого места ледяной горки в форме перевернутой циклоиды мы начнем спуск, на весь путь до конечной точки мы затратим одно и то же время.

Пусть теперь точка закреплена не на окружности, а на продолжении ее радиуса.

Если окружность катится по прямой, то эта

точка будет описывать кривую, называемую

удлиненной циклоидой. Ее построение

аналогично построению циклоиды (рис.10).

Удлиненную циклоиду описывает, например, точка обода колеса рис 10

железнодорожного вагона.

Отметим, что когда окружность начинает катиться вправо, то закрепленная на продолжении радиуса точка начинает двигаться влево. Поэтому, с какой бы большой скоростью ни ехал поезд, в нем в каждый момент времени имеются точки, вектор скорости в которых направлен в противоположную направлению движения сторону.

Траектория движения точки, закрепленной на радиусе внутри окружности, катящей по прямой, называется укороченной циклоидой

(рис.11). рис 11

Отметим еще одно, совершенно очевидное свойство циклоиды: ее

арка симметрична относительно

перпендикуляра, восставленного в

середине основания арки. А затем

перейдем ненадолго к другой

замечательной кривой, которую

изучал Роберваль; он назвал эту кривую спутницей циклоиды рис 12



Разновидность кривых.

Все кривые, которые вычерчивает точка на окружности, катящейся внутри другой окружности, принадлежат семейству гипоциклоид (от греч.«гипо»- «под», «внизу» и «киклоидес»- «кругообразный»). Рассматривая аналогичные «пируэты» окружности, которая катится по внешней стороне опорного круга, мы перенесемся в не менее разнообразный мир эпициклоид(от греч. «эпи»- «на», «над»).

Выделяют три типа циклоидальных кривых:

Трохоида (частный случай-циклоида)– окружность катится по прямой;

Рис.13

Гипоциклоида (дельтоида, астроида)- окружность катится по внутренней

стороне другой окружности - дельтоида астроида

Астроида.

Рассмотрим теперь случай, когда окружность катится по окружности с внутренней стороны и радиус неподвижной окружности в 4 раза больше радиуса катящейся окружности. Получаемая при этом траектория движения точки, закрепленной на катящейся окружности, называется астроидой(от греч. «астрон»-«звезда»)-кривая, внешне напоминающая стилизованное изображение звезды (рисунок 14). Хотя астроида получила свое название в 19 веке, она была известна Лейбницу в 1715 году.

Эпициклоида (кардиоида, улитка Паскаля)- окружность катится по внешней

стороне другой окружности - кардиоида и «улитки»





Кардиоида.

Кардиоида-это кривая, которая получается, как траектория движения точки, закрепленной на окружности, которая катиться без скольжения с внешней стороны по другой окружности того же радиуса. Слово «кардиоида» значит по-гречески «сердцевидная». Кардиоида изображена на рисунке 12.



рисунок 14

Построим некоторые точки этой кривой. Пусть С- точка закрепленная на окружности - в начальный момент времени находилась в положении А(рисунок 13). Разделим неподвижную окружность на 8 равных частей точками А1, А2…,А8=А

Ясно, что кода окружность сделает один оборот, т.е. повернется на 360 градусов, она займет исходное положение вместе с точкой С.

Если окружность сделает половину полного оборота, т.е. повернется на 180 градусов, то она займет положение (4), а точка С переместится в положение С4.

Если окружность повернется на угол 45 градусов, то окружность переместиться в положение (1), а точка С переместится в положение С1.

Соединяя плавной кривой построенные точки, получим кривую, соответствующую полному обороту окружности. При следующих оборотах окружности точка С будет описывать рис 15 ту же самую кривую.( Рис 15)

Все кривые, которые вычерчивает точка на окружности, катящейся внутри другой окружности, принадлежат семейству гипоциклоид(от греч. «гипо»-«под, внизу» и «киклоидес»-«кругообразный»).(Рис 16)

рис 16


Заключение.

Подведем итоги. Циклоидальная кривая имеет много разнообразных свойств. Она и след точки обода, катящегося колеса, она же -таутохронная кривая(кривая колебаний постоянного периода). Но этого мало. В наше время циклоидальные кривые применяются при многих технических расчетах, и знание этих кривых облегчает изучение деталей машин. Свойствами циклоидальных кривых пользуются при построении профилей зубьев шестерен и во многих других технических вопросах. Кардиоида имеет различные применения в технике. В форме кардиоиды делают эксцентрики, кулачки у машин. Ею пользуются иногда при вычерчивании зубчатых колес. Кроме того, она применяется в оптической технике.Но у циклоиды есть и другие заслуги. Ею пользовались ученые 17 века при разработке приемов исследования кривых линий, - тех приемов, которые привели, в конце концов, к изобретению дифференциального и интегрального исчислений. Она же была одним из «пробных камней», на которых Ньютон, Лейбниц и их первые исследователи испытывали силу новых мощных математических методов. Таким образом, циклоида оказалась неразрывно связанной с одним из самых интересных периодов в истории математике. Мне понравилось работать над рефератом, потому что я узнала новые факты и понятия по теме «Циклоидальные кривые» и изучила ранне не известный мне материал. Надеюсь, что мне пригодятся знания о рассматриваемых кривых при дальнейшем изучении геометрии в высшем учебном заведении.

Литература.

Берман Г.Н. Циклоида. – М.:Наука,1980.



.


Каталог: files -> file
file -> 14 қараша 2012 жылы нормативтік құқықтық кесімдерді
file -> Конкурсты ұйымдастыратын «Лисаков Жоғарғы Тобыл тарихы мен мәдениеті мұражайы» кмм. Ең үздік жұмыстар «Тәуелсіздік Қазақстан: бейбітшілік пен жасампаздықтың 25 жылы»
file -> Маоу «Давыдовская гимназия»
file -> Аннотация
file -> Сергей Эйзенштейн Неравнодушная природа. II. Пафос сепаратор и чаша грааля. Разбирая композицию
file -> 9 класс Теоретический тур
file -> Отчет на расширенном заседании коллегии Минобороны России об итогах деятельности за 2014 г.


Достарыңызбен бөлісу:




©kzref.org 2022
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет