Решение логических задач



Дата26.06.2018
өлшемі181.59 Kb.
#34350
түріРешение

§2.Решение логических задач

с помощью кругов Эйлера-Венна.

Один из первых математиков, кто пользовался методом решения логических с помощью кругов Эйлера, был выдающийся немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716гг). В его черновых набросках были обнаружены рисунки с такими кругами.

Затем, распространению этого метода во многом способствовал знаменитый швейцарский математик Леонард Эйлер (1707-1783гг). Он долгие годы работал в Петербургской Академии наук. К этому времени относятся его знаменитые «письма к немецкой принцессе», написанные в период с 17 61 по 1768 год. В некоторых из этих «Писем…» Эйлер как раз и рассказал о своём методе.

После Эйлера этот же метод разрабатывал чешский математик Бернард Больцано (1781-1848гг). Только в отличие от Эйлера он рисовал не круговые, а прямоугольные схемы. Методом кругов Эйлера пользовался и немецкий математик Эрнест Шредер (1841-1902гг). Этот метод широко используется в его книге «Алгебра логики».

Но наибольшего расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна (1843-1923). С наибольшей полнотой этот метод изложен им в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году. В честь Венна вместо кругов Эйлера соответствующие рисунки называют иногда диаграммами Венна; в некоторых книгах их называют также диаграммами (или кругами) Эйлера-Венна.. Эти диаграммы могут быть построены по-разному. Рассмотрим четыре случая.

1. Дано некоторое множество и указано свойство А. Очевидно, элементы данного множества могут обладать или не обладать свойством А. Поэтому данное множество распадается на две части, которые мы обозначим через А и А. Эту ситуацию можно изобразить двумя способами (рис 1 ,2).


Рис 1. Рис 2.

На рис 1 большой круг изображает данное множество. Маленький круг А изображает ту часть элементов данного множества (подмножества), которые обладают свойством А, а кольцеобразная область, обозначенная через А, изображает ту часть элементов данного множества (подмножества), которые не обладают свойствам А.

На рис 2 те же подмножества А и А изображены по-другому.



2. Дано некоторое множество и указаны два свойства: А, В. Т.к. элементы данного множества могут обладать или не обладать каждый из этих свойств, то возможны четыре случая: АВ, АВ, АВ,АВ. Следовательно, данное множество распадается на четыре подмножества. Соответствующую диаграмму снова можно изобразить двумя способами, как на рис 3,4.

Рис 3. Рис 4.


На рис. 3 круг А - это подмножество тех элементов данного множества, которые обладают свойством А, а область вне круга, т.е. область А - это подмножество тех элементов, которые свойством А не обладают. Аналогично круг В и область вне его.

На рис. 4 подмножества А, А, В, В изображены по-другому. Подмножество А – это область слева от вертикальной черты (красная горизонтальная штриховка), а подмножество А – это область справа от этой черты. Аналогично изображены В иВ: область В – это верхний полукруг (зелёная вертикальная штриховка), а область В – это нижний полукруг.



3. Дано некоторое множество и указаны три свойства: А, В, С. В этом случае множество распадается на восемь частей. Это можно изобразить двумя способами (рис. 5,6).

Рис.5. Рис.6.



На рис5 объяснение аналогично сл2.рис3. На рис 6 подмножества А и В заштрихованы: А – горизонтально, В вертикально, а подмножество С – это маленький круг.



4. Дано некоторое множество и указаны четыре свойства: А, В, С, D. В этом случае множество распадается на 16 частей. Это можно изобразить с помощью диаграммы двумя способами (рис 7,8).
















Рис 7. Рис 8.

Если будет указано пять свойств, то множество распадается на 32 частей, диаграммы станут ещё более сложными.

Итак, увеличением свойств число частей каждый раз удваивается. Некоторые части могут оказаться пустыми: в них не попадает ни один элемент множества. Такие части называются пустыми множествами.

Решим несколько задач данным методом.

Задача 16. Кружки.

Ребята из класса посещают три кружка: математический, физический и химический.

Все списки членов кружков хранились у секретаря. Однажды завуч школы решила открыть ещё и кружок юных математиков. В этот кружок она решила пригласить только тех ребят, которые пока ни в какие кружки ещё не записаны. Чтобы узнать, сколько таких ребят, завуч решила обратиться к секретарю.

Секретарь сказал, что всего в классе 36 человек, а кружки посещают: математический – 18 человек, физический – 14 человек, химический – 10 человек.

Завуч удивилась: «Как же это так? Ведь 18+14+10=42, а в классе только 36 человек». Ей объяснили, что некоторое ребята ходят в два, а возможно, и в три кружка. В три кружка ходят 2 человека, математический и физический – 8, математический и химический – 5, физический и химический – 3.

Сколько человек из класса не ходят ни в один из кружков?




Решение:

Изобразим кругами Эйлера-Венна то, что нам дано.

Большой круг изображает множество всех учеников класса. Внутри этого круга расположены три круга меньшего диаметра: эти круги изображают соответственно множества членов математического, физического и химического кружков. Для ясности эти круги обозначены буквами М, Ф, Х.

О
МФХ


бщей частью всех трёх кругов соответствует множество ребят, посещающих все три кружка. Поэтому эту часть обозначим через МФХ.

Рис 9.


Через МФХ обозначим ту область, которая изображает множество ребят посещающих математический и физический кружки, но не посещающих химический кружок. Аналогичным образом обозначены и все остальные области (рис 9). Теперь обратимся к числовым данным и перейдём к рис 10.


В области МФХ впишем число 2, т.к. все три кружка посещают 2 человека. Далее известно, что ребят посещающих математический и физический кружки было 8. Значит, в область МФ надо вписать число 8. Но область МФ состоит из двух

частей: МФХ и МФХ, причём в МФХ входят 2 человека. Значит, на долю МФХ остаётся 6. Теперь рассмотрим область МХ, на которую приходится 5
человек. Эта область тоже состоит из двух частей. На МФХ приходится 2,значит на МФХ приходится 3.

Рассмотрим теперь область М, на которую приходится 18 человек. Эта область состоит из четырёх частей. Количественный состав трёх частей мы уже нашли: это соответственно 6,2 и 3. Значит, на четвёртую часть приходится 18-(6+2+3)=7 человек.

Аналогичным образом можно вычислить количественный состав всех остальных областей. Выполнив эти вычисления, получим рис 10. Теперь можно подсчитать число ребят, посещающих хотя бы один кружок. Для этого надо просто сложить все числа записанные внутри кругов М, Ф, Х. Получится 28. А всего ребят в нашем классе 36. Значит, на долю области МФХ приходится 8 человек. Следовательно, ребят, не посещающих никаких кружков, будет 8.

Задача 17. Кубики.

Дети изготовляли кубики для игры. Несколько кубиков они склеили из картона, а остальные сделали из дерева. Кубики были только двух размеров: большие и маленькие. Когда кубики были изготовлены, их покрасили: несколько кубиков - в зелёный цвет, а остальные – в красный. Получилось 16 зелёных кубиков. Зелёных кубиков большого размера было 6. Больших зелёных кубиков из картона было 4. Красных кубиков из картона было 8, а красных кубиков из дерева 9. Больших деревянных кубиков было 7, а маленьких деревянных кубиков было 11.

Сколько же всего получилось кубиков?

Решение:

Построим диаграмму Эйлера-Венна рис11.

Маленький круг – это красные кубики, кольцеобразная область – это зелёные. Левый большой полукруг – это деревянные, а правый – это картонные. Верхний большой полукруг – это большие кубики, А нижний – маленькие.

Каждая пара свойств: большие – маленькие, красные – зелёные, деревянные – картонные – представляет собой пару взаимно противоположных свойств, поэтому можно было бы

описать кубики и с помощью всего трёх свойств: быть или не быть красным (зелёные – это не красные), быть или не быть большим (маленькие - это не большие), быть или не быть деревянными (картонные – это не деревянные). Заполнение диаграммы следует начинать с того подмножества, для которого указаны все три свойства. Такое подмножество есть: это больших зелёных кубиков из картона – таких кубиков 4.

Теперь ищем подмножество, для которого указаны два свойства из перечисленных трёх. Это подмножество больших зелёных кубиков – таких кубиков 6. Но это подмножество состоит из картонных и деревянных кубиков. Картонных было 4. Значит, деревянных будет 6-4=2. Записываем в соответствующую клетку диаграммы цифру 2.

Больших деревянных кубиков 7 (это левая верхняя часть нашей диаграммы). Значит, красных будет 7-2=5. Записываем цифру 5 в соответствующую клетку.

Красных деревянных кубиков 9. А мы узнали, что из них 5 – это большие. Значит, маленьких красных кубиков из дерева будет 9-5=4. Записываем цифру 4 в соответствующую клетку.

Маленьких деревянных кубиков 11. Из них красных – 4, следовательно, маленьких зелёных кубиков из дерева будет 11-4=7. Записываем 7 в соответствующую клетку. Всего зелёных кубиков 16. Зелёные кубики помещены в кольцеобразную область, состоящую из четырёх частей. В трёх частях записаны цифры 4,2 и 7. Значит, на долю последней, четвёртой части приходится 16-(4+2+7)=3 следовательно, маленьких зелёных кубиков из картона было 3.

Осталось последнее условие: красных кубиков из картона было 8. Сколько из них больших и сколько маленьких, мы не знаем. Поэтому цифру 8 записываем так, чтобы было видно, что она обозначает те и другие вместе.

Теперь все клетки диаграммы заполнены, и мы можем сказать, сколько сортов кубиков получилось, и сколько было кубиков каждого сорта.

Всего же было изготовлено 33 кубика.



Задача 18. Спор, возникший после субботника.

Во дворе дома состоялся субботник. Собралось 29 человек. Их разделили на три бригады, которые должны были соответственно убрать двор, поливать сад и мыть подъезд дома. На уборку двора отправили только одних мужчин, а в саду и подъезде женщин было в два раза больше, чем мужчин. Получилось так, что женщин в саду было столько же, сколько было мужчин во дворе, а всего во дворе и в саду было 20 человек.

Н а следующий день между женщинами и мужчинами разгорелся спор. Мужчины утверждали, что на субботнике их было больше, чем женщин, и потому большую часть работы выполнили они - мужчины. Женщины же утверждали обратное: они были уверенны, что на субботнике их было больше, чем мужчин, и поэтому мужчины просто не могли сделать больше, чем они - женщины.

Кого же было больше?



Решение:

Составим диаграмму. Она получится несколько необычная. Особенность диаграммы состоит в том, что свойства – работать во дворе, работать в саду, работать в подъезде – разбивают множество всех ребят на три части, а не на две.

С остальными свойствами – быть мужчиной и быть женщиной – всё обстоит так, как это обычно бывает на диаграммах Эйлера–Венна, эти свойства взаимно противоположны, и поэтому множество, людей распадается на две части.

Начнём заполнять диаграмму.

Известно, что в саду женщин было в два раза больше чем мужчин. Поэтому мы можем обозначить число мужчин, работавших в саду за х, а женщин за . Известно также, что в подъезде женщин тоже было в два раза больше, чем мужчин. Значит, число мужчин, работающих в подъезде можно обозначить через у, а женщин – через . Известно ещё, что женщин в саду было столько же, сколько было мужчин во дворе. Но женщин в саду было . Значит, мальчиков во дворе тоже было .

Все эти данные запишем в соответствующих клетках диаграммы. Наконец, заметим, что во дворе работали только мужчины. Поэтому в клетке, обозначающей женщин, работающих во дворе, запишем нуль.

Всего во дворе и в саду было 20 человек. С помощью диаграммы составим ещё одно уравнение 2х+х+2х=20 следовательно х=4.

Всего на субботнике было 29 человек. С помощью диаграммы составим ещё одно уравнение 5х+5у=29. Т.к. х=4, то у=3.

Теперь подсчитаем, сколько было женщин. Их было 2х+2у т.е. 8+6=14.

А мужчин было 29-14=15. Значит, мужчин было больше.




Задача 19. История со сведениями о количестве выписываемых журналов.

На занятиях физического кружка, состоящего из 10 человек, учитель спросил, выписывают ли члены кружка такие специальные журналы, как «Квант» (К), «Техника молодёжи» (Т), « Юный техник» (Ю). Выяснилось, что 6 человек выписывают К, 5 человек –Т и Ю, 3 человека – К и Ю, а один человек не выписывает ни одного журнала, но читает все эти журналы в библиотеке. Учитель попросил старосту составить справку.

Староста составил справку со всеми этими сведениями. Но учитель был недоволен, так как в записке не было указано, сколько членов кружка выписывают все три журнала, сколько - два, а сколько – только один. Узнать это у самих членов кружка староста не мог, так как все ребята уже разошлись по домам.

Помогите старосте узнать интересующие его сведения.


Решение:

Изобразим данные задачи с помощью кругов Эйлера-Венна (рис 13).

Большой круг – это множество всех членов физического кружка. Он состоит из 10 человек. Внутри большого круга нарисуем три маленьких круга: К, Т, Ю, которые изображают ребят, подписавшихся на соответствующие журналы. Известно, что один человек не выписывает ни одно журнала. Значит, в области расположенной вне кругов К, Т, Ю запишем 1. В остальных ячейках, получившегося рисунка запишем буквы a, b, c, x, y, z, t, которые будут обозначать число рябят, подписавшихся на соответствующие наборы этих журналов.

С помощью этого рис. 13 исходные данные можно теперь записать следующим образом:



(1) (2)

Т. к. членов кружка было 10, то запишем ещё одно уравнение:



(x+y+z)+(a+b+c)+t+1=10 (3)

Сложив уравнения каждой из систем (1) и (2) и присоединив к ним уравнение (3), получим следующую систему:



Отсюда получим: x+y+z=3, a+b+c=5, t=1.

Заметим теперь, что x+y+z это число ребят подписавшихся только на один журнал, a+b+c – это число ребят, подписавшихся ровно на два журнала, а t=1 – это число ребят, подписавшихся на все три журнала.

Значит сведения, необходимые учителю, получены: на один журнал подписалось 3 человека, на два – 5 человек, на три – 1.



Задача 20. Спортивная команда.

На соревнования должна приехать спортивная команда. О составе команды известно следующее. В неё входят волейболисты, бегуны, прыгуны и метатели. Команда сильная. Все бегуны являются и прыгунами, а все прыгуны являются метателями, или бегунами. Одна из особенностей команды состоит в том, что среди тех метателей, которые являются ещё и прыгунами, нет бегунов. Метателей у нас в два раза меньше, чем прыгунов, и на два меньше, чем бегунов. Бегуны составляют третью часть всей команды, а волейболистов в два раза больше, чем тех ребят, которые являются одновременно и прыгунами, и метателями.

Сколько же человек в команде?

Решение:

Воспользуемся методом кругов Эйлера-Венна, и сделаем рис 14.

На этом рисунке круги Б, П, М изображают соответственно множество бегунов, прыгунов и метателей, а область вне кругов представляет множество волейболистов, обозначенных буквой В. Известно, что все бегуны являются прыгунами. Это значит, что область Б должна целиком находиться внутри круга П: никакая часть Б не должна выходить за пределы П. Следовательно, те части области Б, которые на нашем рисунке все же выходят за пределы П, должны быть пустыми. Чтобы это отметить, покроем эти части области Б штриховкой.

Известно также, что все прыгуны являются или метателями, или бегунами. Значит, круг П должен целиком находиться внутри области, состоящей из Б и М. Следовательно, ту часть области П, которая не входит в фигуру, состоящую из Б и М, надо заштриховать. (Штриховка означает, что там никаких элементов нет: это часть пустая).

Известно также, что среди тех метателей, которые были ещё и прыгунами, нет бегунов. Значит, общая часть кругов М и П, не должна находиться внутри круга Б. Поэтому ту частичку общей части М и П, которая на нашем рисунке все же находиться внутри Б, мы тоже покроем штриховкой.

Все заштрихованные ячейки пустые. В оставшихся, не заштрихованных ячейках запишем буквы x, y, z, t. Этими буквами мы обозначили число ребят, занимающихся соответствующими видами спорта.

Обратимся теперь к остальным условиям, указанным в письме. Число метателей в два раза меньше числа прыгунов. Из рисунка видно, что это условие можно записать так: 2(x+y)=y+x.

Число метателей на два меньше числа бегунов. Значит, x+y+2=z.

Бегуны составляют 1/3 всей команды. Значит, 3z=x+y+z+t.

Число волейболистов в два раза больше числа тех ребят, которые одновременно являются прыгунами и метателями. Значит: t=2y.

Итак, получилась система из четырёх уравнений с четырьмя неизвестными:

Решив эту систему найдём: x=2, y=6, z=10, t=12. Значит, всех ребят было: x+y+z+t=2+6+10+12=30 человек.



Задача 21. Олимпиадная задача.

В ящике лежат шары. Некоторые из них тяжёлые, металлические. Все остальные - лёгкие. Лёгкие шары отличаются друг от друга по целому ряду признаков, а все металлические шары одинаковые. Часть лёгких шаров изготовлена из дерева, а остальные из пластмассы. Некоторые из лёгких шаров покрашены в красный цвет, остальные в зелёный. Среди лёгких шаров есть большие и маленькие: все большие одинакового размера, все маленькие тоже одинакового размера. Больших красных шаров нет, нети больших деревянных шаров. Кроме того, известно следующее:



  1. Всего шаров 11.

  2. Маленьких зелёных шаров столько же, сколько деревянных.

  3. Деревянных и красных шаров вместе на 5 больше, чем всех остальных шаров (включая и металлические).

  4. Маленьких красных пластмассовых шаров и больших зелёных пластмассовых шаров, взятых вместе, в два раза больше, чем маленьких зелёных деревянных шаров.

  5. Сколько было деревянных шаров?

Решение:

Решим эту задачу с помощью кругов Эйлера-Венна (рис15).

Т.к. больших красных шаров не было и не было больших деревянных шаров, то соответствующие области заштриховываем. Число шаров в остальных ячейках обозначим буквами a, b, c, d, t. Теперь обратимся к остальным условиям задачи:

1. Всего шаров было 11. Значит a+b+c+d+t=11.

2. Маленьких зелёных шаров было столько же, сколько деревянных.
Но маленькие зелёные шары - это шары не красные и не большие. Значит, маленькие зелёные шары - это те шары, которые находятся вне кругов К и Б. Из рисунка видно, что таких шаров равно: a+t.

Число деревянных шаров равно a+b. Следовательно, a+t= a+b.

3. Деревянных и красных шаров в месте было a+b+c, всех остальных было d+t. Но деревянных и красных было на 5 больше, чем остальных. Значит, a+b+c= d+t+5.

4. Маленькие красные пластмассовые шары - это те шары из круга К, которые находятся вне кругов Д и Б. Число таких шаров равно с. Большие зелёные пластмассовые шары - это те шары из круга Б, которые находятся вне кругов К и Д. Число таких шаров равно d. Маленькие зелёные деревянные шары – это те шары из круга Д, которые находятся вне кругов Б и К. Число таких шаров равно а. Значит, последнее условие запишется так: c+d=2a.

Т.о., получилась система четырёх уравнений с пятью неизвестными. Чтобы решить эту неопределённую систему уравнений, поступим следующим образом. Примем неизвестное а за параметр, т.е. будем временно считать, что а -это какое-то конкретное число, и выразим все остальные неизвестные через этот параметр. Но сначала упростим систему: заметим, что из второго уравнения следует t=b. Поэтому, заменив в остальных уравнениях t через b, получим:

Из последних двух уравнений этой системы найдём:



с=(a+5)/2; d=(3a-5)/2.

Теперь, подставляя значения с и d во второе уравнение системы, найдём:



b=(11-3a)/2. А т.к. t=b, то t=(11-3a)/2.

Найденные значения для b, c, d, t представляют собой выражения, зависящие от параметра а. Поэтому, придавая а всевозможные значения, мы получим соответствующие различные значения для b, c, d, t.

Т.о., задача, вообще говоря, имеет бесчисленное множество решений. Но из этого бесконечного множества решений приемлемыми будут только те значения b, c, d, t, которые являются натуральными числами. (Число шаров не мажет быть ни отрицательным, ни дробным).

Значит, должны выполняться следующие условия:



Решив эту систему, получим 5/3<a<11/3



a- нечётное число.

Но в промежутке от 53 до 11/3 находится только одно нечетное натуральное число. Значит: а=3.Для остальных неизвестных получатся следующие значения: b=1, c=4, d=2, t=1.

Теперь мы можем ответить на вопрос задачи: деревянных шаров было a+b. Значит, таких шаров было 4.

Задача 22. Дежурство.

На пришкольном участке дежурили ученики одного из классов. В одно из дежурств им пришлось ремонтировать теплицу и поливать огурцы, помидоры и капусту. Через несколько дней ребят попросили предоставить сведения и том, сколько ребят было на дежурстве, но они этого сказать не смогли.

Удалось установить следующее. Ребята, ремонтировавшие теплицу, не занимались поливкой, а ребята, поливавшие овощи, не участвовали в ремонте теплицы. Никто из ребят не поливал одновременно огурцы и капусту. Не было и таких ребят, которые поливали бы только помидоры. Огурцы поливали 7 человек, а помидоры – 4. Число ребят, ремонтировавших теплицу, было на 2 меньше числа ребят, поливавших только огурцы. Удвоенное число ребят, поливавших капусту, было на 1 больше утроенного числа тех ребят, которые поливали только огурцы.

Сколько ребят было на дежурстве?



Решение:

Решим задачу с использованием кругов Эйлера-Венна (рис16).



Итак, никто из ребят не поливал одновременно огурцы и капусту. Поэтому общую часть кругов О и К можно заштриховать. Никто из ребят не поливал только помидоры. Значит, ту часть круга П, которая находится вне круга О и вне круг К, тоже нужно заштриховать. Численный состав остальных ячеек обозначим буквами a, b, c, d, t. Буква а, например, означает число ребят, поливавших только огурцы. Буква b означает число ребят, поливавших и огурцы, и помидоры. Смысл остальных букв тоже ясен из рисунка.

Теперь, по известным нам данным, можно составить следующую систему уравнений:

Получилась система четырёх уравнений с пятью неизвестными. Чтобы решить эту систему, примем а за параметр. Тогда нашу систему можно решить относительно оставшихся четырёх неизвестных. Выполнив соответствующие вычисления, получим:

b=7-a, c=a-3,

d=(3a+1)/2, t=a-2.

Так как значениями a, b, c, d, t должны быть только натуральные числа, то должны выполняться следующие условия:



Откуда 3<a<7, a – нечетное число.

Но между числами 3 и 7 находится только одно нечетное число, а именно 5. Значит, a=5. Для остальных получается теперь следующие значения: b=2, c=2, d=8, t=3. Осталось подсчитать общее число ребят, работавших на участке. Это число равно a+b+c+d+t=5+2+2+8+3=20.

Задача 23. Трудная задача.

Бригада строителей, ремонтировавшая школу, состояла из рабочих и учащихся ПТУ. В этой бригаде были штукатуры, маляры и разнорабочие (т.е. рабочие, выполнявшие подсобные работы). Некоторые члены бригады владели двумя специальностями, а некоторые владели только одной из этих профессий. Те же члены бригады, которые не были ни штукатурами, ни малярами, выполняли подсобные работы. Все подсобные работы выполняли учащиеся ПТУ. Среди учащихся ПТУ не было штукатуров. Все штукатуры были малярами.

Во время обеденного перерыва некоторые члены бригады питались в столовой, а остальные уходили обедать домой. Дома обедали только те члены бригады, которые являлись и штукатурами, и малярами. Кроме того, известно следующее:


  1. Число членов бригады, владевших двумя профессиями, было на 1 больше числа рабочих, владевших только одной из профессий.

  2. Рабочих было столько же, сколько было учащихся ПТУ.

  3. Рабочих, владевших двумя профессиями, было столько же, сколько было маляров среди учащихся ПТУ.

  4. Разность между числом 18 и учетверенным числом тех рабочих, которые владели только одной профессией, была такая же как разность между числом рабочих, обедавших дома, и числом тех членов бригады, которые владели двумя профессиями и обедали в столовой.

Сколько членов было в бригаде?

Решение:

Чтобы решить эту задачу, воспользуемся методом кругов Эйлера-Венна. Нарисуем соответствующую диаграмму (рис17).

На этом рисунке круг М изображает множество маляров. Эллипсовидный овал Ш изображает множество штукатуров. Общая часть фигур М и Ш изображает множество членов бригады, владевших обеими специальностями. Кольцеобразная область, находящаяся вне фигур М и Ш, изображает множество членов бригады, не являвшихся ни штукатурами, ни малярами. Эта область обозначена буквой П, так как по условию задачи соответствующее множество состояло только из людей, выполнявших подсобные работы.

Вертикальная черта делит множество всех членов бригады на рабочих и на учащихся ПТУ. Горизонтальная черта делит это же множество на людей, обедавших в столовой, и на людей, обедавших дома. По условию задачи все подсобные работы выполняли учащиеся ПТУ. Значит, кольцеобразной области П надо оставить только правую часть. Поэтому левую часть области П надо заштриховать, отмечая этим, что эта часть области П пустая.

Среди учащихся ПТУ не было штукатуров. Значит, правую часть фигуры Ш надо заштриховать. Все штукатуры были малярами. Значит, те части фигуры Ш, которые выходят за пределы круга М. Надо заштриховать.

Дома обедали только члены бригады, которые являлись и штукатурами, и малярами. Значит, из нижней части нашей диаграммы должна остаться только та часть, которая находится внутри общей части фигур М и Ш; остальные надо заштриховать.

Теперь все пустые области заштрихованы. Обозначив численный состав остальных, не заштрихованных областей буквами a, b, c, x, y, мы можем приступить к составлению системы уравнений. Система этих уравнений получится из условий 1-4:

Из первого и третьего уравнений следует, что x=c+1. Из второго и третьего уравнений следует, что c=y. Первое и четвёртое уравнения перепишем без изменения. Таким образом, мы получим более простую систему:



Приняв за параметр с, получим следующее решение:



a=(19-3c)/2, b=(5c-17)/2, x=c+1, y=c.

Так как a, b, c, x, y должны быть натуральные числа, то запишем:




17/5
с – нечетное число

Это условия можно записать и так: 4с6, с - нечетное число.

Очевидно, этим условиям удовлетворяет только число 5. Значит с=5. Вычислив значения остальных неизвестных, получим a=2, b=4, x=6, y=5.

Теперь можно ответить на вопрос задачи: число членов бригады равно a+b+c+x+y=2+4+5+6+5=22.

Задача решена. Но в заключение надо сделать одно замечание, касающееся выбора параметра. Этот выбор может быть осуществлён произвольно. Я, например, выбрала в качестве параметра неизвестное с. Я поступила так только потому, что такой выбор казался мне наиболее удобным, наиболее естественным. Но можно было выбрать параметр по-другому.

Рассмотрим, например, случай, когда в качестве параметра выбрано неизвестное а. Тогда мы получим следующее решение:



b=(22-5a)3, c=(19-2a)/3, x=(22-2a)/3, y=(19-2a)/3.

Так как значениями неизвестных должны быть натуральные числа, то должны выполняться ещё следующие условия:



Числа 22-a, 19-2a, 22-2a должны быть кратны 3.

Первые три неравенства сводятся к условию а4. Значит, из четырех чисел 1,2, 3, 4(которые могут быть значениями а) надо выбрать то, при котором будет выполнено и четвертое из вышеуказанных условий. Проверка показывает, что подходит только число 2. Значит, а=2; и теперь нетрудно вычислить значения всех остальных неизвестных. Ответ, конечно, получится такой же, как и в первоначальном решении.

На примерах этих задач, можно убедиться в эффективности метода кругов Эйлера-Венна.






Каталог: uploads -> doc
doc -> Английские слова и выражения в оригинальном написании a horse! a horse! MY KINGDOM FOR a horse! англ букв. «Коня! Коня! Мое царство за коня!»
doc -> Викторина по пьесе В. Шекспира «Гамлет, принц Датский»
doc -> Тест сынып Ұлы Отан соғысы нұсқа
doc -> Пєн атауы: Математика
doc -> Сабаќтыњ тарихы: ХІХ ѓасырдыњ 60-70 жылдарындаѓы ќазаќ халќыныњ отарлыќ езгіге ќарсы азаттыќ к‰ресі
doc -> 1 -сынып, аптасына сағат, барлығы 34 сағат Кіріспе (1 сағат)
doc -> Сабақтың тақырыбы: XVIII ғасырдың бірінші ширегіндегі Қазақ хандығының ішкі және сыртқы жағдайы Сабақтың мақсаты
doc -> Сабақтың тақырыбы: XVIII ғасырдың бірінші ширегіндегі Қазақ хандығының ішкі және сыртқы жағдайы


Достарыңызбен бөлісу:




©kzref.org 2022
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет