Решение. Проверим два свойства линейности оператора



жүктеу 52.42 Kb.
Дата08.02.2018
өлшемі52.42 Kb.
түріРешение

  1. Показать, что оператор A, действующий на векторы пространства следующим образом: , линеен, и найти матрицы оператора в базисах


Решение.

Проверим два свойства линейности оператора

1)


2)


Так как эти два свойства выполняются, то оператор А линеен.
Базис

Найдем, как действует оператор на каждый базисный вектор.


, ,

Тогда матрица оператора А в базисе имеет вид


Базис

Матрица перехода от базиса к базису имеет вид

Обратная матрица

Матрица оператора A в базисе вычисляется по формуле:






  1. Построить в естественном базисе квадрики

А)


Решение. Приведем уравнение квадрики к каноническому виду в другом ортонормированном базисе.

Квадратичная форма уравнения квадрики имеет вид (отбросили линейную часть)



Выписываем ее матрицу



Находим собственные числа матрицы. Для этого запишем характеристическое уравнение





Получим


Находим два корня характеристического уравнения .

Находим собственные векторы.

Для собственного числа для координат собственного вектора получим систему уравнений




Решим систему методом Гаусса, запишем коэффициенты системы в матрицу и приведем ее к ступенчатому виду.

Получаем общее решение системы

Находим, что фундаментальная система решений содержит только одно решение, и в качестве собственного вектора можно взять .

Для собственного числа для координат собственного вектора получим систему уравнений



Аналогично первой системе отсюда находим собственный вектор .

Легко проверить, что скалярное произведение , то есть собственные векторы ортогональны.

Их длины равны соответственно .

Поэтому векторы нового ортонормированного базиса будут иметь координаты

Матрица перехода имеет вид



Старые координаты связаны с новыми уравнением , то есть



(*)
Подставим эти выражения в исходное уравнение. Квадратичная форма примет вид, в котором произведения переменных будут отсутствовать, а коэффициентами при квадратах будут служить собственные числа 17 и -17.


Выделим полные квадраты.

Разделим на 17



Выполняем параллельный перенос осей координат



Новое начало системы координат имеет координаты



Найдем координаты нового начала в исходной системе координат, подставим значения в формулы перехода (*).



В новой системе координат уравнение принимает канонический вид



Это уравнение является каноническим уравнением двух пересекающихся прямых. Точка пересечения прямых находится в точке , Изображение прямых приведено на рисунке.


Б)



Решение. Приведем уравнение квадрики к каноническому виду в другом ортонормированном базисе.

Квадратичная форма уравнения квадрики имеет вид (отбросили линейную часть)



Выписываем ее матрицу



Находим собственные числа матрицы. Для этого запишем характеристическое уравнение





Получим


Подбором находим один корень . Преобразуем уравнение, выделяя множитель



или


откуда


Находим два других корня характеристического уравнения и .

Находим собственные векторы.

Для собственного числа для координат собственного вектора получим систему уравнений




Решим систему методом Гаусса, запишем коэффициенты системы в матрицу и приведем ее к ступенчатому виду.

Получаем общее решение системы

Находим, что фундаментальная система решений содержит только одно решение, и в качестве собственного вектора можно взять .

Для собственного числа для координат собственного вектора получим систему уравнений



Аналогично первой системе отсюда находим собственный вектор .

Для собственного числа для координат собственного вектора получим систему уравнений

Отсюда находим собственный вектор .

Легко проверить, что скалярные произведения , то есть собственные векторы попарно ортогональны.

Их длины равны соответственно .

Поэтому векторы нового ортонормированного базиса будут иметь координаты

Матрица перехода имеет вид



Старые координаты связаны с новыми уравнением , то есть



(*)

Подставим эти выражения в исходное уравнение. Квадратичная форма примет вид, в котором произведения переменных будут отсутствовать, а коэффициентами при квадратах будут служить собственные числа



Приводим подобные члены



Выделим полные квадраты



или


Выполняем параллельный перенос осей координат



Новое начало системы координат имеет координаты



Найдем координаты нового начала в исходной системе координат, подставим значения в формулы перехода (*).




На рисунке представлены исходная и новая системы координат


В новой системе координат уравнение принимает канонический вид

Это уравнение является каноническим уравнением однополостного гиперболоида. Его центр находится в точке , две вещественные оси параллельны векторам , , вещественные полуоси равны , . Мнимая ось параллельна вектору , мнимая полуось равна . Изображение гиперболоида приведено на рисунке.






Достарыңызбен бөлісу:


©kzref.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет