Упражнение 1



жүктеу 45.42 Kb.
Дата08.11.2017
өлшемі45.42 Kb.

Перов Юра, к 04 октября

Упражнение 1. Доказать, что в группе порядка , где p и q — простые числа, а p делит q – 1, есть подгруппа порядка pq.
При выполнении данного упражнения использовались следующие источники:

  1. Отто Гёльдер, Die Gruppen der Ordnungen p3, pq2, pqr, p4, Math. Ann. 43 (нем. яз., 1893 год).

  2. Simon R. Blackburn, Peter M. Neumann, Geetha Venkataraman, Enumeration of Finite Groups, Cambridge University Press, (англ. яз., 2007 год).

  3. Александр Геннадьевич Курош, «Теория групп» (М. : Наука, 1967 г.).

  4. Эрнест Борисович Винберг, Алгебра (М. : Факториал Пресс, 2001 г.).

  5. Маршалл Холл младший, «Теория групп» (М. : Издательство иностранной литературы, 1962).

В данной группе G есть подгруппы порядка q2 по первой теореме Силова. По третьей теореме число силовских подгрупп данного порядка равно 1 + nq и делит порядок группы.


По условию .

Значит, существует только одна силовская подгруппа порядка q2. Из второй теоремы Силова, как следствие, которым мы уже неоднократно пользовались, эта подгруппа будет нормальной.
Мы уже знаем, что группа H порядка q2 либо циклическая, либо распадается в прямое произведение двух циклических групп порядка q. Эти подгруппы группы H являются также нормальными в G.1 Если H — циклическая порядка q2, то возьмем группу . Если .
Также, пусть — одна из силовских подгрупп порядка p.
T является нормальной в G, T и J — подгруппы G. Тогда мы имеем право говорить о полупрямом произведении T на J.
Операция задается следующим правилом:

Очевидно, что она замкнутая.


Три аксиомы группы (ассоциативность, существование единицы и обратного элемента) выполняются:
Ассоциативность:


Единица:


Обратный элемент:


Очевидно, что для каждого элемента можно составить q различных элементов полупрямого произведения: , и наоборот. Других элементов нет.
Следовательно, порядок данной группы равен .
Упражнение 2. Пусть G — конечная группа порядка , где m и p — взаимно просты. По 1-й теореме Силова в G существует подгруппы порядков pi для i = 1, … . Доказать, что всякая подгруппа порядка pi нормальна в некоторой подгруппе порядка pi+1 (i = 1, …, – 1).
При подготовке данного упражнения была использована книга «Теория групп» Маршалла Холла младшего (М. : Издательство иностранной литературы, 1962). (Доказательство приведено из одного из разделов.)
Доказательство 1-й теоремы Силова проводится индукцией по i. Мы знаем из теоремы Коши, что G содержит подгруппу порядка p. Пусть P — подгруппа порядка pi, . Запишем G как сумму двойных смежных классов по P: . Пусть PxjP состоит из aj левых смежных классов по P. Тогда , где , и . Поэтому aj равно или 1, или есть степень числа p. Так как p делит [G : P], число слагаемых aj, равных единице, должно быть кратно p. Если aj = 1, то , а поэтому и xj, и смежный класс принадлежит нормализатору K подгруппы P. Обратно, если . Таким образом, [K : P] равно числу слагаемых aj, равных единице, а поэтому p делит [K : P]. Следовательно, фактор группа K/P имеет порядок [K : P], кратный p. Поэтому K/P содержит подгруппу J* порядка p. По теореме …

Пусть T — нормальная подгруппа в G. Тогда существует взаимно однозначное соответствие между подгруппами K* группы H = G/T и подгруппами K группы G, содержащими T, причем K состоит из всех тех элементов, которые отображаются в K*. Если K* нормальна в H, то подгруппа K нормальна в G, и обратно. Кроме того, [G : K] = [H : K*].

… J* = J/P, где , следовательно, J — подгруппа порядка pi+1, содержащая P в качестве нормального делителя.


Упражнение 3. Пусть — вращение вокруг точки A на угол , r — параллельный перенос на вектор . Доказать, что также является параллельным переносом.

Упражнение 4. — вращение вокруг точки A на угол , — вращение вокруг точки B на угол . Доказать, что также является вращением. Пусть C — центр данного вращения. Доказать, что углы в два раза меньше, чем углы , где — угол вращения (значения углов берутся по модулю).

Так как мы рассматриваем обратную функцию от композиции двух биекций, то мы можем утверждать, что:


Это можно доказать и по-другому:


Пусть — вращение на угол . Тогда .
Докажем, что представимо в таком виде:


По условию .
Докажем, что искомое вращение есть вращение на угол :


Сдвинем систему координат таким образом, чтобы точка A стала точкой начала координат, а точка B лежала на оси абсцисс.


Тогда в новой системе координат .
Вращение
Найдем C — центр вращения, обратного к композиции.

Представим в «каноничном виде»:




Для других углов доказывается аналогично. Отмечу, что представленная на рисунке ситуация, где C лежит именно в I четверти, не обязательно является истинной. Но сути алгебраического доказательства это не меняет, насколько видится.
Геометрическое доказательство последнего факта приведено в книге Исаака Моисеевича Яглома «Геометрические преобразования и преобразования подобия», 1955 год, I том, стр. 35—37.

1 А точно ли это так? Можно ли ссылаться на то, что это будут вполне характеристические подгруппы подгруппы H (то есть такие подгруппы, которая является допустимыми относительно всех эндоморфизмов группы, так как все эти группы абелевые)? Каким образом это можно легче доказать, если это точно так?





Достарыңызбен бөлісу:


©kzref.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет