Вопросы для подготовки к экзамену по математике

для подготовки к экзамену по математике

1. 
   Числовые последовательности. Способы задания числовых последовательностей.
   
2. 
   Пределы числовых последовательностей. Теорема о единственности предела. Теорема о переходе к пределу в неравенстве. Теорема о двух милиционерах. Ограниченность сходящейся последовательности.
   
3. 
   Бесконечно малые последовательности. Арифметические действия над последовательностями. Теоремы о пределах суммы, произведения и отношения сходящихся последовательностей.
   
4. 
   Бесконечно большие последовательности, их связь с бесконечно малыми.
   
5. 
   Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса. Число e.
   
6. 
   Принцип компактности. Признак сходимости Больцано-Коши для последовательностей.
   
7. 
   Предельная точка. Два определения предела функции в точке, теорема об их эквивалентности. Признак сходимости Больцано-Коши.
   
8. 
   Замечательные пределы.
   
9. 
   Односторонние пределы. Теорема об эквивалентности существования предела функции и существования односторонних ее пределов.
   
10. 
    Ограниченные функции. Достаточные условия ограниченности функций в окрестности точки.
    
11. 
    Бесконечно малые функции и их свойства. Теорема о связи предела функции с пределом бесконечно малой.
    
12. 
    Теоремы о пределах суммы, разности, произведения и частного функций. Теорема о двух милиционерах.
    
13. 
    Сравнение бесконечно малых. Основные эквивалентности. Теорема об эквивалентных бесконечно малых.
    
14. 
    Непрерывность функции в точке и на множестве. Классификация точек разрыва.
    
15. 
    Теорема о сумме, разности, произведении и частном непрерывных функций. Теорема о непрерывности сложной функции.
    
16. 
    Теорема об обращении непрерывной функции в нуль. Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции.
    
17. 
    Теорема об ограниченности непрерывной функции. Теорема о наименьшем и наибольшем значениях непрерывной функции.
    
18. 
    Монотонные функции. Обратные функции. Теорема о существовании и непрерывности обратной функции.
    
19. 
    Определение производной. Физический и геометрический смысл производной. Касательная к графику функции: определение и уравнение.
    
20. 
    Формула для приращения функции. Непрерывность функции, имеющей производную.
    
21. 
    Производные основных элементарных функций.
    
22. 
    Теорема о производной обратной функции.
    
23. 
    Алгебраические правила вычисления производных. Производная сложной функции.
    
24. 
    Дифференциал функции. Связь между дифференцируемостью и существованием производной. Формулы и правила дифференцирования. Приближенные вычисления с помощью дифференциалов.
    
25. 
    Понятие экстремума. Теорема Ферма о производной в точке экстремума. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа.
    
26. 
    Теорема Коши. Правило Лопиталя-Бернулли. Раскрытие неопределенностей с помощью правила Лопиталя-Бернулли.
    
27. 
    Достаточные условия монотонности функции на интервале. Необходимые и достаточные условия экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции.
    
28. 
    Интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба. Асимптоты. Исследование функций и построение графиков.
    
29. 
    Производные высших порядков. Формула Тейлора для многочленов. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и в форме Пеано. Применения формулы Тейлора.