Закон больших чисел. Центральная предельная теорема



жүктеу 42.05 Kb.
Дата01.09.2018
өлшемі42.05 Kb.
түріЗакон
    Навигация по данной странице:
  • Задачи

(ТВиМС, 4.10.03) Семинар 5


Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.

Пусть 1, 2,… n–независимые одинаково распределенные случайные величины, причем Ej=a, Dj==2<. Тогда



для любого >0, (1)

Соотношение (1) называется законом больших чисел.



Центральная предельная теорема. Если 1, 2,…–независимые одинаково распределенные случайные величины, En=a, Dn=2< (n=1,2,…), то для любых –<x1< x2<,

.

Задачи


1. Пусть 1, 2,… n–независимые одинаково распределенные случайные величины, причем

Применим ли к этой последовательности закон больших чисел? (Ответ: применим)

2. Пусть 1, 2,… n–независимые одинаково распределенные случайные величины, имеющие плотность . Применим ли к этой последовательности закон больших чисел? (Ответ: применим)

3. Пусть 1, 2,… n–независимые одинаково распределенные случайные величины, причем P{j=1}= P{j=–1}=1/2. Применим ли к этой последовательности закон больших чисел? (Ответ: применим)

4. Пусть 1, 2,… n–независимые одинаково распределенные случайные величины, причем P{j=–n}=P{j= n}=1/2n, P{j= 0}=1–1/2n–1. Применим ли к этой последовательности закон больших чисел? (Указание. Найти максимум функции f(x)=x2/2x–1) (Ответ: применим)

5. Складываются n=12104 чисел, каждое из которых округлено с точностью до 10m. Предполагая, что ошибки округления независимы и равномерно распределены в интервале (–0,510m, 0,510m), найти, пределы в которых с вероятностью не меньшей 0,98 лежит суммарная ошибка.

Указание. а) Пусть k–ошибка округления k-го числа, k=1,…,n. Найти плотность k, Ek, Dk.

б) Применяя центральную предельную теорему получить



.

в) Выбрать x1, x2 так, чтобы длина [x1, x2] была наименьшей и воспользоваться равенством 2Ф(2,33)=0,98. Ответ.[– 2,3310m+2, 2,3310m+2].

6. Случайная величина n имеет распределение Пуассона с параметром n (P{=k}= , k=0, 1,…). Доказать, что для любого x(–, +)

Указание. Представить n=1+2+…+n, где случайные величины j независимы и имеют распределение Пуассона с параметром 1, а затем применить центральную предельную теорему.



7. Пусть 1, 2,… n–независимые случайные величины, равномерно распределенные на отрезке [0,1], и sn=1+2+…+n. Показать, что с вероятностью приблизительно 0,98 значение s1200 будет лежать в пределах (60023,3).
Дополнительные задачи для желающих. Делать необязательно!
1. Клара выписала текст сообщения в таблицу, а затем некоторым образом переставила столбцы этой таблицы. Получилось вот что:

Т

Ф

З

Е

А

О

Р

Н

И

Т

Т

С

Я

Ш

Э

В

А

Ы

В

Е

К

Ь

П

С

Я

И

Н

А

Л

Т

Т

А

Н

А

Р

Р

Е

Е

О

В

С

С

Б

В

Л

Е

Т

О

И

А

М

А

Л

Л

К

К

О

И

О

Т

О

Щ

Е

Н

И

С

Е

Н

Б

О

О

П

Р

О

Т

О

Ж

М

О

Ч

Ь

Ж

З

П

Е

Т

Е

Н

А

С

Р

А

В

Д

Е

А

Я

Н

И

Л

Р

Т

В

Т

О

Е

А

Н

С

П

О

Л

Б

Е

А

И

С

К

Ц

О

Б

Ц

 

 

 

А

Ы

 

И

Т

 

 

 

Л

В

 

 

 

 

 

Этот текст она послала Карлу, а письмо с правилом перестановки столбцов отправить забыла. Помогите Карлу прочитать сообщение.
2. Плохая электронная почта

Клара получила от Карла письмо по электронной почте. Из-за неправильной настройки компьютера то ли у Клары, то ли у Карла текст письма выглядел так:




Помогите Кларе прочитать письмо Карла.


Достарыңызбен бөлісу:


©kzref.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет